2020学年新教材高中数学章末综合检测(三)平面向量初步新人教B版必修第二册(最新整理)

2019-2020学年新教材高中数学章末综合检测（三）平面向量初步新人教B 版必修第二册
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章末综合检测（三）平面向量初步
A卷——学业水平考试达标练
(时间：60分钟满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中，正确的是（）
A．若向量|a|＝｜b｜，则a＝b或a＝－b
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若｜a|〉|b|，则a〉b
解析:选C 向量是既有大小又有方向的量,大小相等，但方向不一定相同或相反，故A不正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故B不正确；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的,故D也不正确;由平行向量的定义知选C。

2．已知错误!＝(3，4),A(－2，－1）,则B点的坐标为( ）
A．(5，5）B．(－5,－5)
C．(1,3) D．（－5,5)
解析：选C 错误!＝(3,4）＝（x B＋2，y B＋1），所以x B＋2＝3，y B＋1＝4，故x B＝1，y B＝3，即B（1，3）．故选C。

3．下列向量与a＝（1，2）共线的是( )
A．（2，1）B．（－1，2）
C．（－1，－2) D．(2，－1）
解析：选C ∵1×(－2）－（－1）×2＝0，∴向量(－1，－2)与a＝(1,2)共线．
4.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则错误!＝（)
A.错误!错误!＋错误!错误!
B.错误!错误!＋错误!错误!
C.错误!错误!＋错误!
D。

错误!错误!＋错误!错误!
解析:选D 根据题意得错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!错误!,所以错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!。

故选D.
5．已知错误!＝（2,8），错误!＝（－7，2），则错误!错误!＝( ）
A．（3，2）B。

错误!
C．(－3,－2) D。

错误!
解析:选C ∵错误!＝错误!－错误!＝（－7，2)－(2，8）＝(－9,－6)，∴错误!错误!＝错误! (－9，－6）＝（－3，－2)．
6.如图所示，下列结论正确的是( )
①错误!＝错误!a＋错误!b；
②错误!＝错误!a－b；
③错误!＝错误!a－错误!b；
④错误!＝错误!a＋b.
A．①②B．③④
C．①③D．②④
解析:选C ①根据向量的加法法则，得错误!＝错误!a＋错误!b，故①正确；②根据向量的减法法则，得错误!＝错误!a－错误!b，故②错误；③错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b－2b＝错误!a－错误!b，故③正确；④错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b－b＝错误!a＋错误!b，故④错误，故选C。

7．一船从某河一岸驶向另一岸,航速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则( ) A．｜v1｜＜|v2｜B．｜v1｜＞｜v2｜
C．｜v1|≤｜v2｜D．｜v1｜≥|v2|
解析：选B 速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等、方向相反，由此即得｜v1｜＞｜v2｜。

8。

如图，已知△OAB，若点C满足错误!＝2错误!,错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），则错误!＋错误!＝( )
A。

错误!B。

错误!
C。

2
9
D。

错误!
解析：选D ∵错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!
错误!＋错误!错误!，∴λ＝错误!,μ＝错误!，∴错误!＋错误!＝3＋错误!＝错误!。

故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
9．若C 是线段AB 的中点,则错误!＋错误!＝________。

解析：∵C 是线段AB 的中点，∴AC ＝CB ，∴错误!与错误!方向相反，模相等，∴错误!＋错误!＝0.
答案：0
10．已知a ＝（－6，y ），b ＝（－2,1）,且a 与b 共线，则y ＝________.
解析：由于a ∥b ，所以－6×1＝－2y ，解得y ＝3。

答案：3
11．已知向量a ＝(1，2）,｜b ｜＝2错误!，b ＝λa ，且λ〉0，则λ＝__________；b ＝__________。

解析：由已知得，λ＝错误!＝错误!＝2，所以b ＝(2,4）．
答案：2 (2,4)
12。

如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个
顶点A ,B ,C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，则错误!＝__________.（用r 1,r 2，r 3
表示) 解析:错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!
－错误!＝r 3＋r 1
－r 2.
答案：r 3＋r 1－r 2
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
13.(8分)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,且AB ＝2CD ，M ,N 分别是DC 和
AB 的中点，若错误!＝a ，错误!＝b ，试用a ，b 表示错误!，错误!，
错误!。

解：如图所示，连接CN ,则四边形ANCD 是平行四边形．
则错误!＝错误!＝错误!错误!＝错误!a ，错误!＝错误!－错误!＝
错误!－错误!AB ―→＝b －错误!a ，
错误!＝错误!－错误!＝－错误!－错误!错误!＝－错误!－错误!错误!＝错误!a －b 。

14．(10分）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ，B ，C 三点满足错误!＝错误!错误!＋错误!错误!。

(1)求证：A ,B ，C 三点共线；
(2)求错误!的值．
解：（1）证明：∵错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，
∴错误!－错误!＝错误!（错误!－错误!)，即错误!＝错误!错误!,
∴错误!∥错误!。

又AC ,AB 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．
(2)由（1)得错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!），
∴错误!错误!＝错误!错误!，
∴错误!＝2错误!，∴错误!＝2.
15。

(10分)如图，在▱OADB 中，设错误!＝a,错误!＝b,错误!＝错误!BC ，―→，错误!＝错误!错误!。

试用a ，b 表示错误!，错误!及MN ―→.
解:由题意知，在▱OADB 中,错误!＝错误!错误!＝错误!
错误!
＝错误!（OA ―→－错误!）＝错误!(a －b)＝错误!a －错误!b ，
则错误!＝错误!＋错误!＝b ＋错误!a －错误!b ＝错误!a ＋错误!b,
错误!＝错误!错误!＝错误!(错误!＋错误!）＝错误!(a ＋b), 则错误!＝错误!－错误!＝错误!（a ＋b ）－错误!a －错误!b ＝错误!a －错误!b.
16．（12分）如图，已知AC ，BD 是梯形ABCD 的对角线，E ，F 分别是BD ，AC 的中点．求证:EF ∥BC .
证明：设错误!＝a ，错误!＝b ，则错误!＝错误!－错误!＝b －a 。

∵错误!∥错误!，∴错误!＝λ错误!＝λb（λ∈R，λ≠0，且λ≠1）．
∵E为BD的中点，∴错误!＝错误!错误!＝错误!(b－a）．
∵F为AC的中点，
∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!(错误!－错误!）＝错误!（λb－a)，
∴错误!＝错误!－错误!＝错误!（λb－a）－错误!(b－a)＝错误!b＝错误!错误!错误!。

∴EF∥BC。

B卷--高考应试能力标准练
（时间:90分钟满分：120分）
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1。

在五边形ABCDE中（如图），错误!＋错误!－错误!＝( )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析：选B ∵错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!.
2．已知平面向量a＝（2，－1)，b＝(1,3)，那么｜a＋b|等于( )
A．5 B.错误!
C.错误!D．13
解析:选B 因为a＋b＝(3,2)，所以｜a＋b|＝错误!＝错误!，故选B。

3．正方形ABCD中，错误!＝a,错误!＝b，错误!＝c,则a－b＋c表示的向量等于( )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析：选C ∵a与c是一对相反向量,∴a－b＋c＝－b＝错误!.
4．设O，A，M，B为平面上四点，错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!,且λ∈（1，2）,则( ) A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上D．O,A,B,M四点共线
解析:选B 由题意可知错误!－错误!＝λ(错误!－错误!）,即错误!＝λ错误!，∴A，M，B三点共线．又λ∈(1,2)，∴|错误!｜〉｜错误!｜，∴点B在线段AM上．
5。

如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!,则λ＋μ的值为( )
A.错误!B．－错误!
C．1 D．－1
解析：选 A 由题意得错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!－错误!错误!＝错误!－错误!错误!，∴λ＝－错误!，μ＝1,∴λ＋μ＝错误!，故选A.
6．设点A（－1，2），B(2,3)，C（3,－1），且错误!＝2错误!－3错误!,则点D的坐标为( ）A．(2,16）B．（－2，－16)
C．(4,16）D．（2,0）
解析：选A 设D (x ，y ）,由题意可知AD ，―→＝（x ＋1,y －2），错误!＝(3,1)，错误!＝（1,
－4），∴2错误!－3错误!＝2(3，1)－3（1,－4)＝(3，14）．∴错误!∴错误!故选A.
7．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h,水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（ )
A ．90°
B ．30°
C ．45°
D ．60° 解析：选D 如图，用OA ，―→表示水速，OB ―→表示某人垂直游向对岸的速
度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC 。

于是tan ∠AOC ＝错误!
＝错误!＝错误!＝3，∴∠AOC ＝60°，故选D.
8．设a ，b ，c 为非零向量，若p ＝错误!＋错误!＋错误!，则
|p ｜的取值范
围为( ）
A ．[0，1］
B ．［1,2］
C ．[0,3]
D ．[1，3] 解析：选C 错误!，错误!，错误!分别为a ，b ，c 方向上的单位向量，∴当a ，b,c 同向时，|p|取得最大值3，且｜p|的最小值为0,故选C.
9．（2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则错误!＝( ） A 。

错误!错误!－错误!错误!
B.错误!错误!－错误!错误!
C.错误!错误!＋错误!错误!
D.错误!错误!＋错误!错误!
解析：选A 作出示意图如图所示．错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋
＝34错误!－错误!错误!错误!＝错误!×错误!(错误!＋错误!）＋错误!(错误!－错误!)
错误!。

故选A.
10．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝（m,3m －4)，b ＝(1，2），且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数），则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．（4,＋∞）
C ．（－∞，4)∪（4,＋∞)
D ．(－∞，＋∞）
解析:选C 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb,由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝（m,3m －4),b ＝(1,2），则m ×2－（3m －4）×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为（－∞,4)
∪(4，＋∞）．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．已知点A （0,1)，B （3，2），向量AC ―→＝(－4，－3)，则向量错误!＝________。

解析：设C (x ，y )，则错误!＝（x ，y －1）＝(－4,－3)，所以错误!解得错误!从而错误!＝(－4，－2)－(3，2）＝(－7，－4）．
答案：（－7，－4）
12．若三点A (1，－5)，B (a ，－2），C (－2，－1)共线,则实数a 的值为________． 解析:错误!＝（a －1,3），错误!＝（－3，4），根据题意知错误!∥错误!，∴4（a －1）＝3×（－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－错误!。

答案：－54
13．若｜错误!｜＝｜错误!｜＝｜错误!－错误!｜＝2，则｜错误!＋错误!|＝_______。

解析：因为|错误!|＝|错误!｜＝｜错误!－错误!|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以｜错误!＋错误!｜为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|错误!＋错误!｜＝2错误!.
答案：2错误!
14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D （点O 与点D 不重合），若错误!＝λ错误!＋μ错误! (λ，μ∈R ），则λ＋μ的取值范围是__________．
解析：设错误!＝m 错误!，则m 〉1，因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以m 错误!＝λ错误!＋μ错误!，即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，又知A ，B ,D 三点共线,所以错误!＋错误!＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ〉1。

答案：(1,＋∞）
三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（8分)平面内给定三个向量a ＝(3,2）,b ＝（－1,2)，c ＝（4,1),
（1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .
(2)若(a ＋k c ）∥(2b －a ），求实数k .
解：(1)因为a＝mb＋nc，所以（3，2)＝m(－1,2）＋n（4,1）＝（－m＋4n,2m＋n）．所以错误!解得错误!
(2)因为（a＋k c)∥（2b－a）,
又a＋k c＝（3＋4k，2＋k）,2b－a＝（－5，2），
所以2×(3＋4k）－(－5）×（2＋k)＝0，
所以k＝－错误!.
16．（10分）已知O，A，B是平面上不共线的三点,直线AB上有一点C，满足2错误!＋错误!＝0，
(1）用错误!，错误!表示错误!；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：（1）因为2错误!＋错误!＝0，所以2（错误!－错误!)＋（错误!－错误!)＝0，
2错误!－2错误!＋错误!－错误!＝0，所以错误!＝2错误!－错误!。

（2)证明:如图，错误!＝错误!＋错误!＝－错误!错误!＋错误!＝错误!（2错误!－错误!)．故错误!＝错误!错误!，即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD是梯形．
17．（10分)已知a＝（1，0）,b＝(2，1）．
(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线？
（2）若错误!＝2a＋3b，错误!＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．
解：（1)k a－b＝k(1,0)－(2，1)＝(k－2，－1），
a＋2b＝(1,0)＋2（2，1）＝（5,2)．
因为k a－b与a＋2b共线,
所以2(k－2）－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，
得k＝－错误!.
(2)错误!＝2a＋3b＝2（1，0）＋3(2,1)＝(8,3）,
错误!＝a ＋m b ＝（1，0)＋m (2，1)＝（2m ＋1，m )．
因为A ,B ，C 三点共线，
所以错误!∥错误!.
所以8m －3(2m ＋1)＝0，
即2m －3＝0，所以m ＝错误!。

18．(10分）设错误!＝（2,－1)，错误!＝（3，0），错误!＝(m,3）．
(1）当m ＝8时，将错误!用错误!和错误!表示．
(2）若A ，B ,C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．
解：（1）当m ＝8时，OC ―→＝（8,3），设错误!＝x 错误!＋y 错误!，
则(8，3）＝x （2，－1）＋y (3,0)＝(2x ＋3y ，－x ），
所以错误!所以错误!
所以错误!＝－3错误!＋错误!错误!.
(2）因为A ,B ，C 三点能构成三角形,
所以AB ，―→，错误!不共线,
因为错误!＝(1,1),错误!＝（m －2,4)，
所以1×4－1×(m －2）≠0，所以m ≠6。

19。

(12分）如图，用两根分别长5错误!米和10米的绳
子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为
5米，求A 处所受力的大小（绳子的重量忽略不计)．
解：如图，图中G 点距屋顶的距离恰好为5米，故左边绳
子与竖直方向成45°，右边绳子与竖直方向成60°，即AG 与竖直方向成
45°角，BG 与竖直方向成60°角．
设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ,
∠EGC ＝60°，
∠EGD ＝45°，
则有|F a ｜cos 45°＋｜F b ｜cos 60°＝｜G ｜＝100，①
且｜F a |sin 45°＝|F b ｜sin 60°.②
由①②解得｜F a ｜＝1502－50错误!，
所以A 处所受力的大小为(150错误!－50错误!）N.。