高三数学第二次模拟考试题理试题_2
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D．2021年以来我国实际利用外资同比增速最大
4．[2021·一模]数列 是等比数列，其前 项和为 ， ，那么 〔〕
A． B． C．2D．4
5．[2021·名校联考]函数 的图象的对称中心为 ，且 的图象在点 处的切线过点 ，那么 〔〕
A．1B．2C．3D．4
6．[2021·统测] 的边 上有一点 满足 ，那么 可表示为〔〕
〔1〕求 的直角坐标方程；
〔2〕假设 与 有四个公一共点，求 的取值范围．
23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】
[2021·毕业]函数 ．
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2021届高三第二次模拟考试卷
理科数学答案
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
∵ 为 的中点，∴ ， 面 ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角的补角
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，∴ ，
∴二面角 的余弦值为 ．
19．【答案】〔1〕分布列见解析，期望为1；〔2〕 ， ， ．
【解析】〔1〕 一共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购置价格为2500．
此时，三角形 的面积最小，最小值为 ，
应选C．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13．【答案】
【解析】作出变量 ， 满足约束条件： 可行域如图，
由 知 ，
∴动直线 的纵截距 获得最大值时，目的函数获得最大值．
由 得 ．
结合可行域可知当动直线经过点 时，目的函数获得最大值 ．故答案为 ．
【解析】〔1〕连接 交 于 ，并连接 ， ，
∵ ， ， 为 中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 为 中点，又 为 中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
〔2〕〖解法1〗〔向量法〕连接 ，
由 为 的中点及 ，得 ，那么 ，
∵侧面 底面 ，且交于 ，∴ 面 ，
如下图，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔12分〕[2021·期末]在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设 ， 的面积为 ，求边 ．
18．〔12分〕[2021·调研]在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点．
那么 ， ， ， ， ．
∵ 为 的中点，∴ ，∴ ， ，
设平面 法向量为 ，那么 ，
取 ，平面 法向量可取 ，
设二面角 的大小为 ，显然 为钝角，
∴ ，∴二面角 的余弦值为 ．
〔2〕〖解法2〗〔几何法1〕连接 ，由 为 的中点及 ，得 ，
∵ ，∴ ，取 中点 ，连 ， ， ，
∵侧面 底面 ，且交于 ， ，∴ 面 ，
一共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，
故 的可能取值为0，1，2．
， ， ．
∴分布列为
∴数学期望 ．
〔2〕三个城按小麦价格差异性从大到小排序为 ， ， ．
20．【答案】〔1〕 ；〔2〕过定点 ．
【解析】〔1〕由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，
可得 ，可解得 ，故椭圆 的HY方程为 ．
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1．[2021·统测]假设复数 满足 ，那么 〔〕
∴ ，即 ，解得 ，应选A．
6．【答案】A
【解析】画出图像如下列图所示，
故 ，应选A．
7．【答案】C
【解析】∵根据三视图得出：几何体为下列图 ， ， 互相垂直，
面 面 ， ， ， ，
根据几何体的性质得出： ， ， ，
， ， ， ，
故最长的为 ．应选C．
8．【答案】B
【解析】设 到 的间隔为 ，那么由抛物线的定义可得 ，
∵ 面 ， 面 ，∴ ， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点， ， ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角，
在 中， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴在 中，由余弦定理得 ，
∴二面角 的余弦值为 ．
〔2〕〖解法3〗〔几何法2〕连接 ，由 为 的中点及 ，得 ，
∵侧面 底面 ，∴ 面 ，
∵ ，∴ ，
连 交 于点 ，那么 为 中点，连 ， ， ，
11．【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为 ，由题意点 与点 关于原点对称，因此 ，
又 ，∴ ；
由椭圆与双曲线定义可得 ， ，
∴ ， ，
根据余弦定理可得 ，
即 ，
化简得 ，
∴离心率乘积为 ，当且仅当 〔1〕时，去等号;
由 ，∴ ，∴ 〔2〕，
再将〔1〕〔2〕代入 可得 ，
∴双曲线的渐近线方程为 或者 ，应选C．
从而可知 ，故答案为 ．
三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．【答案】〔1〕 ；〔2〕 ．
【解析】〔1〕由 及余弦定理得：
，整理得 ，
∴由余弦定理得 ．
〔2〕∵在 中， ，
又∵ ，∴ ，
由 得 ，即 ，
由 可得 ，
由余弦定理得 ，
∴ ．
18．【答案】〔1〕见证明；〔2〕 ．
1．【答案】C
【解析】依题意 ，∴ ，应选C．
2．【答案】A
【解析】集合 ，集合 ，
那么 ．应选A．
3．【答案】C
【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模根本上是逐年上升的，
因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；
我国实际利用外资规模2021年比2021年少，∴选项B错误；
∵ ，∴ ， ，
∴直线 的斜率为 ，
∵抛物线方程为 ，∴ ，准线 ，
∴直线 的方程为 ，与 联立可得 或者 〔舍去〕，
∴ ，应选B．
9．【答案】A
【解析】绘制出 的图像， 有3个零点，
令 与 有三个交点，那么 介于1号和2号之间，
2号过原点，那么 ，
1号与 相切，那么 ， ， ，代入 中，计算出 ，
A． B． C． D．
2．[2021·HY]设集合 ，集合 ，那么 〔〕
A． B． C． D．
3．[2021·海淀八模]如图给出的是2000年至2021年我国实际利用外资情况，以下结论正确的选项是〔〕
A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
B．2021年以来我国实际利用外资规模逐年增大
C．2021年以来我国实际利用外资同比增速最大
14．[2021·调研]数列 满足 ， ，那么数列 的通项公式 ____．
15．[2021·一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 ， ， ， ， ， 六门选修课程，规定每个学生必须从这 门课程中选 门，且 ， 两门课程至少要选 门，那么学生甲一共有__________种不同的选法．
16．[2021·八校联考]不等式 对 恒成立，那么实数 的取值范围是________．
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19．〔12分〕[2021·期末]某日A，B，C三个城18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城
小麦价格〔元/吨〕
销售点序号
所属城
小麦价格〔元/吨〕
1
A
2420
10
B
2500
2
C
2580
11
A
2460
3
C
2470
12
A
2460
4
C
2540
13
A
2500
从图表中的折线可以看出，2021年实际利用外资同比增速最大，∴选项C正确；
2021年实际利用外资同比增速最大，∴选项D错误；应选C．
4．【答案】A
【解析】由题意得， ， ，公比 ，那么 ，应选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数 的图象的对称中心为 ，∴ ，
∴ ，即 ，得 ，
∴ ， ，
又∵ 的图象在点 处的切线过点 ，
12．【答案】C
【解析】延展平面 ，可得截面 ，其中 、 、 分别是所在棱的中点，
直线 与平面 不存在公一共点，∴ 平面 ，
由中位线定理可得 ， 在平面 内， 在平面 外，
∴ 平面 ，
∵ 与 在平面 内相交，
∴平面 平面 ，
∴ 在 上时，直线 与平面 不存在公一共点，
∵ 与 垂直，∴ 与 重合时 最小，
A． B．
C． D．
7．[2021·联考]如图为一个几何体的三视图，那么该几何体中任意两个顶点间的间隔的最大值为〔〕
A． B． C． D．
8．[2021·期末]抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是 直线与抛物线 的一个交点，假设 ，那么 〔〕
A．3B． C．4或者 D．3或者4
9．[2021·期末]函数 ，假设函数 有3个零点，那么实数 的取值范围是〔〕
四中2021届高三数学第二次模拟考试题理
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
考前须知：
1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．
12．[2021·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是底面 内一动点，假设直线 与平面 不存在公一共点，那么三角形 的面积的最小值为〔〕
A． B．1C． D．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13．[2021·期中]设变量 ， 满足约束条件： ，那么目的函数 的最大值为_____．
〔2〕设点 ， 的坐标分别为 ， ，
〔i〕当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得 ， ，
〔ii〕当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由 ，有 ，
由韦达定理得： ， ，
故 ，可得 ，
5
A
2430
14
B
2500
6
C
2400
15
B
2450
7
A
2440
16
B
2460
8
B
2500
17
A
2460
9
A
2440
18
A
2540
〔1〕甲以 5个销售点小麦价格的中位数作为购置价格，乙从 4个销售点中随机挑选2个理解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购置价格高的个数为 ，求 的分布列及数学期望；
21．〔12分〕[2021·质检]函数 ．
〔1〕当 时，证明 在 单调递减；
〔2〕当 时，讨论 的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．
22．〔10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2021·三中]在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔2〕假如一个城的销售点小麦价格方差越大，那么称其价格差异性越大．请你对 ， ， 三个城按照小麦价格差异性从大到小进展排序〔只写出结果〕．
20．〔12分〕[2021·期末]椭圆 ，点 在椭圆 上，椭圆 的离心率是 ．
〔1〕求椭圆 的HY方程；
〔2〕设点 为椭圆长轴的左端点， ， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 ， 斜率分别为 ， ，假设 ，请判断直线 是否过定点？假设过定点，求该定点坐标，假设不过定点，请说明理由．
A． B． C． D．
10．[2021·中学]如图在圆 中， ， 是圆 互相垂直的两条直径，现分别以 ， ， ， 为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是〔〕
A． B． C． D．
11．[2021·联考]椭圆 ： 与双曲线 ： 焦点一样， 为左焦点，曲线 与 在第一象限、第三象限的交点分别为 、 ，且 ，那么当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是〔〕
14．【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ， ， ，…， ，
等式两边分别累加得： ，
故答案为 ．
15．【答案】
【解析】总体种数有 ， ， 都不选的个数有 ，∴一一共有16种．
16．【答案】
【解析】令 ， ，
那么原函数化为 ，即 ，
由 ， ，
及 知， ，即 ，〔1〕
当 ， 时〔1〕总成立，
对 ， ， ；
对 ， ， ，
∴ 的范围为 ，应选A．
10．【答案】C
【解析】如下列图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形 ，易知四边形 为正方形，
设圆 的半径为Βιβλιοθήκη ，那么正方形 的边长也为 ，∴正方形的 的面积为 ，阴影局部的面积为 ，
∴阴影局部占总面积的比值为 ，
即在圆 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是 ，应选C．
4．[2021·一模]数列 是等比数列，其前 项和为 ， ，那么 〔〕
A． B． C．2D．4
5．[2021·名校联考]函数 的图象的对称中心为 ，且 的图象在点 处的切线过点 ，那么 〔〕
A．1B．2C．3D．4
6．[2021·统测] 的边 上有一点 满足 ，那么 可表示为〔〕
〔1〕求 的直角坐标方程；
〔2〕假设 与 有四个公一共点，求 的取值范围．
23．〔10分〕【选修4-5：不等式选讲】
[2021·毕业]函数 ．
〔1〕当 时，求不等式 的解集；
〔2〕当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2021届高三第二次模拟考试卷
理科数学答案
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
∵ 为 的中点，∴ ， 面 ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角的补角
在 中， ， ，
由勾股定理得 ，∴ ，
∴二面角 的余弦值为 ．
19．【答案】〔1〕分布列见解析，期望为1；〔2〕 ， ， ．
【解析】〔1〕 一共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．∴中位数为2500，∴甲的购置价格为2500．
此时，三角形 的面积最小，最小值为 ，
应选C．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13．【答案】
【解析】作出变量 ， 满足约束条件： 可行域如图，
由 知 ，
∴动直线 的纵截距 获得最大值时，目的函数获得最大值．
由 得 ．
结合可行域可知当动直线经过点 时，目的函数获得最大值 ．故答案为 ．
【解析】〔1〕连接 交 于 ，并连接 ， ，
∵ ， ， 为 中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 为 中点，又 为 中点，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
〔2〕〖解法1〗〔向量法〕连接 ，
由 为 的中点及 ，得 ，那么 ，
∵侧面 底面 ，且交于 ，∴ 面 ，
如下图，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔12分〕[2021·期末]在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
〔1〕求 的值；
〔2〕假设 ， 的面积为 ，求边 ．
18．〔12分〕[2021·调研]在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点．
那么 ， ， ， ， ．
∵ 为 的中点，∴ ，∴ ， ，
设平面 法向量为 ，那么 ，
取 ，平面 法向量可取 ，
设二面角 的大小为 ，显然 为钝角，
∴ ，∴二面角 的余弦值为 ．
〔2〕〖解法2〗〔几何法1〕连接 ，由 为 的中点及 ，得 ，
∵ ，∴ ，取 中点 ，连 ， ， ，
∵侧面 底面 ，且交于 ， ，∴ 面 ，
一共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，
故 的可能取值为0，1，2．
， ， ．
∴分布列为
∴数学期望 ．
〔2〕三个城按小麦价格差异性从大到小排序为 ， ， ．
20．【答案】〔1〕 ；〔2〕过定点 ．
【解析】〔1〕由点 在椭圆 上，且椭圆 的离心率是 ，
可得 ，可解得 ，故椭圆 的HY方程为 ．
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1．[2021·统测]假设复数 满足 ，那么 〔〕
∴ ，即 ，解得 ，应选A．
6．【答案】A
【解析】画出图像如下列图所示，
故 ，应选A．
7．【答案】C
【解析】∵根据三视图得出：几何体为下列图 ， ， 互相垂直，
面 面 ， ， ， ，
根据几何体的性质得出： ， ， ，
， ， ， ，
故最长的为 ．应选C．
8．【答案】B
【解析】设 到 的间隔为 ，那么由抛物线的定义可得 ，
∵ 面 ， 面 ，∴ ， ，
∵ 为 的中点， 为 的中点， ， ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角，
在 中， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴在 中，由余弦定理得 ，
∴二面角 的余弦值为 ．
〔2〕〖解法3〗〔几何法2〕连接 ，由 为 的中点及 ，得 ，
∵侧面 底面 ，∴ 面 ，
∵ ，∴ ，
连 交 于点 ，那么 为 中点，连 ， ， ，
11．【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为 ，由题意点 与点 关于原点对称，因此 ，
又 ，∴ ；
由椭圆与双曲线定义可得 ， ，
∴ ， ，
根据余弦定理可得 ，
即 ，
化简得 ，
∴离心率乘积为 ，当且仅当 〔1〕时，去等号;
由 ，∴ ，∴ 〔2〕，
再将〔1〕〔2〕代入 可得 ，
∴双曲线的渐近线方程为 或者 ，应选C．
从而可知 ，故答案为 ．
三、解答题：本大题一一共6大题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．【答案】〔1〕 ；〔2〕 ．
【解析】〔1〕由 及余弦定理得：
，整理得 ，
∴由余弦定理得 ．
〔2〕∵在 中， ，
又∵ ，∴ ，
由 得 ，即 ，
由 可得 ，
由余弦定理得 ，
∴ ．
18．【答案】〔1〕见证明；〔2〕 ．
1．【答案】C
【解析】依题意 ，∴ ，应选C．
2．【答案】A
【解析】集合 ，集合 ，
那么 ．应选A．
3．【答案】C
【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模根本上是逐年上升的，
因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；
我国实际利用外资规模2021年比2021年少，∴选项B错误；
∵ ，∴ ， ，
∴直线 的斜率为 ，
∵抛物线方程为 ，∴ ，准线 ，
∴直线 的方程为 ，与 联立可得 或者 〔舍去〕，
∴ ，应选B．
9．【答案】A
【解析】绘制出 的图像， 有3个零点，
令 与 有三个交点，那么 介于1号和2号之间，
2号过原点，那么 ，
1号与 相切，那么 ， ， ，代入 中，计算出 ，
A． B． C． D．
2．[2021·HY]设集合 ，集合 ，那么 〔〕
A． B． C． D．
3．[2021·海淀八模]如图给出的是2000年至2021年我国实际利用外资情况，以下结论正确的选项是〔〕
A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
B．2021年以来我国实际利用外资规模逐年增大
C．2021年以来我国实际利用外资同比增速最大
14．[2021·调研]数列 满足 ， ，那么数列 的通项公式 ____．
15．[2021·一模]为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 ， ， ， ， ， 六门选修课程，规定每个学生必须从这 门课程中选 门，且 ， 两门课程至少要选 门，那么学生甲一共有__________种不同的选法．
16．[2021·八校联考]不等式 对 恒成立，那么实数 的取值范围是________．
〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值．
19．〔12分〕[2021·期末]某日A，B，C三个城18个销售点的小麦价格如下表：
销售点序号
所属城
小麦价格〔元/吨〕
销售点序号
所属城
小麦价格〔元/吨〕
1
A
2420
10
B
2500
2
C
2580
11
A
2460
3
C
2470
12
A
2460
4
C
2540
13
A
2500
从图表中的折线可以看出，2021年实际利用外资同比增速最大，∴选项C正确；
2021年实际利用外资同比增速最大，∴选项D错误；应选C．
4．【答案】A
【解析】由题意得， ， ，公比 ，那么 ，应选A．
5．【答案】A
【解析】∵函数 的图象的对称中心为 ，∴ ，
∴ ，即 ，得 ，
∴ ， ，
又∵ 的图象在点 处的切线过点 ，
12．【答案】C
【解析】延展平面 ，可得截面 ，其中 、 、 分别是所在棱的中点，
直线 与平面 不存在公一共点，∴ 平面 ，
由中位线定理可得 ， 在平面 内， 在平面 外，
∴ 平面 ，
∵ 与 在平面 内相交，
∴平面 平面 ，
∴ 在 上时，直线 与平面 不存在公一共点，
∵ 与 垂直，∴ 与 重合时 最小，
A． B．
C． D．
7．[2021·联考]如图为一个几何体的三视图，那么该几何体中任意两个顶点间的间隔的最大值为〔〕
A． B． C． D．
8．[2021·期末]抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是 直线与抛物线 的一个交点，假设 ，那么 〔〕
A．3B． C．4或者 D．3或者4
9．[2021·期末]函数 ，假设函数 有3个零点，那么实数 的取值范围是〔〕
四中2021届高三数学第二次模拟考试题理
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日
考前须知：
1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
A． B． C． D．
12．[2021·丰台期末]如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， 是底面 内一动点，假设直线 与平面 不存在公一共点，那么三角形 的面积的最小值为〔〕
A． B．1C． D．
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．
13．[2021·期中]设变量 ， 满足约束条件： ，那么目的函数 的最大值为_____．
〔2〕设点 ， 的坐标分别为 ， ，
〔i〕当直线 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得 ， ，
〔ii〕当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
由 ，有 ，
由韦达定理得： ， ，
故 ，可得 ，
5
A
2430
14
B
2500
6
C
2400
15
B
2450
7
A
2440
16
B
2460
8
B
2500
17
A
2460
9
A
2440
18
A
2540
〔1〕甲以 5个销售点小麦价格的中位数作为购置价格，乙从 4个销售点中随机挑选2个理解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购置价格高的个数为 ，求 的分布列及数学期望；
21．〔12分〕[2021·质检]函数 ．
〔1〕当 时，证明 在 单调递减；
〔2〕当 时，讨论 的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．
22．〔10分〕【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2021·三中]在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔2〕假如一个城的销售点小麦价格方差越大，那么称其价格差异性越大．请你对 ， ， 三个城按照小麦价格差异性从大到小进展排序〔只写出结果〕．
20．〔12分〕[2021·期末]椭圆 ，点 在椭圆 上，椭圆 的离心率是 ．
〔1〕求椭圆 的HY方程；
〔2〕设点 为椭圆长轴的左端点， ， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 ， 斜率分别为 ， ，假设 ，请判断直线 是否过定点？假设过定点，求该定点坐标，假设不过定点，请说明理由．
A． B． C． D．
10．[2021·中学]如图在圆 中， ， 是圆 互相垂直的两条直径，现分别以 ， ， ， 为直径作四个圆，在圆 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是〔〕
A． B． C． D．
11．[2021·联考]椭圆 ： 与双曲线 ： 焦点一样， 为左焦点，曲线 与 在第一象限、第三象限的交点分别为 、 ，且 ，那么当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是〔〕
14．【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ， ， ，…， ，
等式两边分别累加得： ，
故答案为 ．
15．【答案】
【解析】总体种数有 ， ， 都不选的个数有 ，∴一一共有16种．
16．【答案】
【解析】令 ， ，
那么原函数化为 ，即 ，
由 ， ，
及 知， ，即 ，〔1〕
当 ， 时〔1〕总成立，
对 ， ， ；
对 ， ， ，
∴ 的范围为 ，应选A．
10．【答案】C
【解析】如下列图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形 ，易知四边形 为正方形，
设圆 的半径为Βιβλιοθήκη ，那么正方形 的边长也为 ，∴正方形的 的面积为 ，阴影局部的面积为 ，
∴阴影局部占总面积的比值为 ，
即在圆 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率是 ，应选C．