人教版高三数学第二学期数列多选题单元达标提高题检测试卷

人教版高三数学第二学期数列多选题单元达标提高题检测试卷
一、数列多选题
1．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且
满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a << B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
【答案】ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-，
当n =1
时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k
时，21)2k k ->
21)k k ->， 则当n=k +1
1121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
2．已知数列{} n a 满足11a =，1
21++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
【答案】CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122
S =+=，而 111
22S =，故错误；
C. 当1n =时， 213122
S =+
=，而 3113
2222-+=，成立，当2n ≥时，
211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以
11212
n n >-，所以
111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111
...1232n n S S n n n n
-=
+++++++，令()1111...1232f n n n n n
=
+++++++，因为()11111
1()021*******f n f n n n n n n +-=
+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()1
12
f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是（ ） A ．若2
1,n S n =-则{}n a 是等差数列
B ．若21,n
n S =-则{}n a 是等比数列
C ．若{}n a 是等差数列，则995099S a =
D ．若{}n a 是等比数列，且10,0,a q >>则2
21212n n n S S S -+⋅>
【答案】BC 【分析】
由n S 求n a ，根据通项公式可判断AB 是否正确，由等差数列的性质可判断C ，取1n =时，结合等比数列求和公式作差比较13S S ⋅与2
2S 大小即可判断D. 【详解】
对于A 选项，若2
1n S n =-，当2n ≥时，21n a n =-，10a =不满足21n a n =-，故A
错误；
对于B 选项，若21n
n S =-，则1112,2
1,1
n n n n S S n a S n --⎧-=≥=⎨==⎩，由于11a =满足
12n n a -=，所以{}n a 是等比数列，故B 正确；
对于C 选项，若{}n a 是等差数列，则()
199995099992
a a S a +=
=，故C 正确. 对于D 选项，当1n =时，(
)()2
2
2
2
22132111110S S S a q q
a q a q ⋅-=++-+=-<，故当
1n =时不等式不等式，故2
21212n n n S S S -+⋅>不成立，所以D 错误.
故选：BC
本题考查数列的前n 项和为n S 与n a 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前n 项和为n S 的公式等，考查运算求解能力.本题D 选项解题的关键将问题特殊化，讨论1n =时，
13S S ⋅与22S 大小情况.此外还需注意一下公式：11,2
,1
n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩；若{}n a 是等差数
列，则()2121n n S n a -=-.
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列
B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
【答案】BC 【分析】
对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得
11
2n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12
的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】
由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22
p
a =，则2112a a =，
当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即11
2
n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；
当1p =时，441111521812S ⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=-，故B 正确； 当12p =时，12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则12m n
m n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；
当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭，而56451112
+22128
a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误；
5．（多选题）数列{}n a 满足()
2*
1n n n
a a a n N +=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则以下说法正确的为（ ） A ．10n n a a +<<
B ．2222
1231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<
C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．1
1
n a n <
+ 【答案】ABCD 【分析】
对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；
对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111
111n
n a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；
对于D ，利用数学归纳法可证得结论. 【详解】
对于A ，2
2
11124n n n n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又110,
2a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
，可知0n a >，10n a +>， 又2
10n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：2
1n n n a a a +=-，
()()()222
1212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；
对于C ，由110,
2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭及A 中结论得：1112
n
a <-<，1121n a <<-， 12111
111n
n a a a ∴
++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时
1231111
1111m
b a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：11
2
a <
成立，
（ii ）假设当(
)n k k N
*
=∈时，1
1
n
a
n <
+成立， 则2
2
2111112411
n n
n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()
()()2
21
111012121n n n n n -
+
-=-<+++++，即()
2
111
121n n n -+<+++， 11
2
n a n +∴<
+， 综上所述：当n *∈N 时，11
2
n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.
6．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n a
C ．22222123
21
3
n n
a a a a -++++= D ．
122334
1
1111
1n n b b b b b b b b +++++
< 【答案】BCD 【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11
122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B
选项正确；
()
2
211
2
4
n n n
a --==，所以，2222123
1441
143
n
n n a a a a --==
-+++
+，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，
()11111
11
n n b b n n n n +==-++， 所以，
122334
1111111111
111
11122334
11
n n b b b b b b b b n n n +++++
=-+-+-++
-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
7．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是
012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．6016a =
B ．18128S =
C ．2
1
2
2k k k a -+=
D ．2
2
21k
k k
S k +=-- 【答案】AC 【分析】
对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()
12
k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C
由C 得到9
552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得
22
k k
S +，即前k 组数之和
18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由2
1
2
22k k k S k ++=--结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组：02 第二组：012,2, 第三组：012
2,2,2, 则前k 组一共有12++…()
12
k k k ++=个数 第k 组第k 个数即1
2
k -，故2
1
2
2k k k a -+=，C 对
又
()10101552+=，故9
552a = 又
()
11111662
+=， 60a 则为第11组第5个数
第11组有数：0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故4
60216a ==，A 对
对于D. 每一组的和为0
1
22++ (1)
212
2121
k k k --+==-- 故前k 组之和为1
2
22++…()122122221
k k k k k k +-+-=
-=---
212
22
k k k S k ++=--
故D 错. 对于B.
由D 可知，6
15252S =--
()551152
+=，()
661212+=
01261815222252764S S =+++=--+=
故B 错 故选：AC 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
8．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2
n n n a +=
B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为2020
2021
C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项的和为4040
2021
D ．数列{}n a 的第50项为2550
【答案】AC 【分析】
用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的和即可得． 【详解】
因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，
121321(1)
()()()1232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
， 11a =也适合此式，所以(1)
2
n n n a +=
， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前2020项和为2020111114040
21223202020212021
S ⎛⎫=-+-+
+
-=
⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】
本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
9．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等
差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21
1n n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所
以B 选项说法正确； 若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；
若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.
故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
10．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
【答案】BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对;
故选：BCD
【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.。