直线与平面垂直的判定 课件

方法归纳 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是 找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意 分析几何图形，寻找隐含条件．
类型二 证明线线垂直 [例 2]
如图，已知四棱锥 S－ABCD 中 ABCD 为矩形，SA⊥平面 ABCD， AE⊥SB 于点 E，EF⊥SC 于点 F.
(2)连接 A1B. 由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB， ∵BD1⊂平面 B1D1DB，∴AC⊥BD1. ∵A1D1⊥平面 A1B1BA，AB1⊂平面 A1B1BA， ∴A1D1⊥AB1. 又∵A1B⊥AB1 且 A1B∩A1D1＝A1， ∴AB1⊥平面 A1D1B. ∵BD1⊂平面 A1D1B，∴BD1⊥AB1， 又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面 ACB1.
A．SG⊥平面 EFG B．SD⊥平面 EFG C．GF⊥平面 SEF D．GD⊥平面 SEF
解析：折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如 SG⊥GF， SG⊥GE.所以 SG⊥平面 GEF.
答案：A
3．下列表述错误的为________． ①若直线 a∥平面 α，直线 a⊥b，则 b⊥α；②若直线 a⊄平面 α， b⊂α，且 a⊥b，则 a⊥α；③若直线 a 平行于平面 α 内的两条直线， 则 a∥α；④若直线 a 垂直于平面 α 内的两条直线，则 a⊥α.
直线与平面垂直的判定
知识点一 直线与平面垂直
直线与平面垂直
定义
如果直线 l 与平面α内的所有直线都垂直，就说直线 l 与平面α互相垂直， 记作 l⊥α.直线 l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面
垂直时，它们唯一的公共点 P 叫作垂足 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图
课堂探究 互动讲练 类型一 证明线面垂直 [例 1] 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1.
(1)求证：AC⊥平面 B1D1DB； (2)求证：BD1⊥平面 ACB1.
【证明】 (1)∵BB1⊥平面 ABCD，且 AC 平面 ABCD， ∴BB1⊥AC. 又 AC⊥BD，BD∩BB1＝B， ∴AC⊥平面 B1D1DB.
画法
文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此
判定定理Biblioteka 平面垂直. 符号表述：l⊥a l⊥b
a∩b＝A⇒l⊥α
a⊂α
b⊂α
知识点二 直线与平面所成的角
直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直
定义
线和这个平面所成的角. 当直线与平面垂直时，它们所成的角是 90°.当直线与平面平
解析：过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，而过 这条直线可作无数个平面与已知直线平行，所以命题①错误；过直 线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，又过此点且在该平面 内的直线有无数条，所以有无数条直线与已知直线垂直，命题②错 误；易知命题③正确．
答案：B
2.如图所示，正方形 SG1G2G3 中，E、F 分别是 G1G2、G2G3 的 中点，D 是 EF 的中点，现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一 个四面体，使 G1、G2、G3 三点重合，重合后的点记为 G，则在四 面体 S－EFG 中必有( )
方法归纳
线线垂直的证明方法 (1)由线面垂直的定义，即 l⊥α，a⊂α⇒l⊥a. (2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底 边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．
类型三 线面垂直判定的综合应用 [例 3]
三棱锥 P－ABC 中，PO⊥平面 ABC，PA⊥BC，PB⊥AC.求证： (1)O 是△ABC 的垂心； (2)PC⊥AB.
行或在平面内时，它们所成的角是 0°
范围
0°≤θ≤90°
如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角
画法
[化解疑难] 1．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词 语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于 平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直． 2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平 面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否 与已知直线有交点，这是无关紧要的．
(1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AG⊥SD.
【证明】 (1)∵SA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD， ∴SA⊥BC.∵四边形 ABCD 为矩形，∴AB⊥BC. 又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB. ∵AE⊂平面 SAB，∴BC⊥AE.又 SB⊥AE，BC∩SB＝B， ∴AE⊥平面 SBC. 又∵SC⊂平面 SBC，∴AE⊥SC.又 EF⊥SC，EF∩AE＝E， ∴SC⊥平面 AEF. ∵AF⊂平面 AEF，∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面 ABCD，DC⊂平面 ABCD，∴SA⊥DC. 又 AD⊥DC，AD∩SA＝A， ∴DC⊥平面 SAD. 又 AG⊂平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG.又 SC∩DC＝C，∴AG⊥平面 SDC. ∵SD⊂平面 SDC，∴AG⊥SD.
【解析】 (1)证明：连接 OA，OB. ∵PO⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC ∴PO⊥BC. 又 PA⊥BC，PO∩PA＝P， ∴BC⊥平面 PAO. 又 AO⊂平面 PAO， ∴BC⊥AO，即 O 在△ABC 的 BC 边的高线上． 同理，由 PB⊥AC 可得 O 在 AC 边的高线上． ∴O 是△ABC 的垂心． (2)连接 OC，由(1)可知 OC⊥AB. 又由 PO⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC，得 PO⊥AB， 又 OC∩PO＝O，∴AB⊥平面 PCO.又 PC⊂平面 PCO， ∴AB⊥PC.
方法归纳 根据直线和平面垂直的定义，可由线面垂直证明线线垂直；根 据直线和平面垂直的判定定理可由线线垂直证明线面垂直．本题的 证明过程体现了线线垂直与线面垂直的相互转化．
|巩固提升|
1．给出下列命题： ①过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；②过直线 外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且仅 有一条直线与已知平面垂直． 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
解析：①中 b 与 α 还可能平行、在平面内或斜交；②同①；③ 中 a 还可能在平面 α 内；由直线与平面垂直的判定定理知④错．
答案：①②③④