2020版 选修4-5 第1节 绝对值不等式

选修4－5 不等式选讲
第一节绝对值不等式
[考纲传真] 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b －c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
(2)|ax＋
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图象求解．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( ) (2)不等式|a |－|b |≤|a ＋b |等号成立的条件是ab ≤0. ( ) (3)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0. ( ) (4)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |成立． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |＞|a －b | B ．|a ＋b |＜|a －b | C ．|a －b |＜||a |－|b ||
D ．|a －b |＜|a |＋|b |
B [∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |.] 3．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4)
C ．(－4,0)
D ．(－4，－2)∪(0,2)
D [原不等式等价于1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，
∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D.] 4．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．10
A [由|x －4|＋|x －6|的几何意义可知|x －4|＋|x －6|≥2，故选A.]
5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． [－2,4] [利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4
1[解] 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜－32，
－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥－32，3x ＋3≥2.
解得x ≤－5或x ≥－1
3.
综上，原不等式的解集是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－5或x ≥－1
3
.
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．
[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －4，x ≤－1，
3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞3
2，
故y ＝f (x )的图象如图所示．
(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1
3或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1
的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜1
3或x ＞5
. 所以|f (x )|＞1
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜1
3或1＜x ＜3或x ＞5.
【例1】(1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．
[解]因为|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，
所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.
(2)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.
[证明]因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，
又a≥2，故|2a－1|≥3，
所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．
已知实数x，y满足：|x＋y|＜1
3，|2x－y|＜
1
6.求证：|y|＜
5
18.
[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|＜1
3，|2x－y|＜
1
6，
从而3|y|＜2
3＋
1
6＝
5
6，所以|y|＜
5
18.
【例2】 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；
(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 所以f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．
(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，
所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．
(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；
(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |. 两边平方整理，得3x 2＋4x ＋1≥0， 解得x ≤－1或x ≥－1
3.
所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－13，＋∞.
(2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，
则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x －1，x ≤－1
2，
3x ＋1，－12<x <0，x ＋1，x ≥0.
由分段函数图象可知 h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝－12，
从而所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－12，＋∞
.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；
(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．
[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝
⎩⎨⎧
－2，x ≤－1，
2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.
故不等式f (x )＞1
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；
若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ，所以2
a ≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
2．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，
f (x )＝⎩⎨⎧
2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，
－2x ＋6，x ＞2.
可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．。