2021_2022学年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时课后篇巩

第一章计数原理
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时
课后篇巩固探究
根底巩固
1.假如x∈{1,2,3},y∈{5,7,9},如此x·y的不同取值的个数是()
A.2
B.6
C.9
D.8
x·y需分两步.第1步,x的取值有3种;第2步,y的取值有3种,故共有3×3=9(个)不同的值.
2.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球,假如从中取出2个几何体,使多面体和旋转体各一个,如此不同的取法种数是()
A.14
B.23
C.48
D.120
:第1步,取多面体,有5+3=8(种)不同的取法;第2步,取旋转体,有4+2=6(种)不同的取法.
所以不同的取法种数是8×6=48.
3.假如x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,如此满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是()
A.15
B.12
C.5
D.4
.
当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;
当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;
当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.
根据分类加法计数原理可得,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.
4.从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为()
A.2
B.4
C.6
D.8
:
第一类,公差大于0,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个等差数列;
第二类,公差小于0,也有4个等差数列,即①3,2,1,②4,3,2,③5,4,3,④5,3,1.
根据分类加法计数原理可知,共有4+4=8(个)不同的等差数列.
5.火车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有()
A.510种
B.105种
C.50种
D.500种
10步.第1步:考虑第1名乘客下车的所有可能有5种, 第2步:考虑第2名乘客下车的所有可能有5种,
……
第10步:考虑第10名乘客下车的所有可能有5种.
故乘客下车的可能共有5×5×5×…×5
⏟
10个
=510种.
6.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有个.
.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=
32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).
7.有一项活动,需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)假如只需1人参加,如此有多少种不同的选法?
(2)假如需教师、男同学、女同学各1人参加,如此有多少种不同的选法?
选1人,可分三类.第1类,从教师中选1人,有3种不同的选法;第2类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第3类,从女同学中选1人,有5种不同的选法,共有3+8+5=16(种)不同的选法.
(2)选教师、男同学、女同学各1人,分三步进展.第1步,选教师,有3种不同的选法;第2步,选男同学,有8种不同的选法;第3步,选女同学,有5种不同的选法,共有3×8×5=120(种)不同的选法.
8.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,如此有多少种不同的播放方式?
1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,如此完成这件事有3类方法.
第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式;
第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.
由分类加法计数原理,得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).
能力提升
1.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为(每处只接通一条线路)()
A.8
B.6
C.5
D.3
A处到B处的电路接通可分两步.第1步,前一个并联电路接通有2条线路;第2步,后一个并联电路接通有3条线路.由分步乘法计数原理,知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为2×3=6.
2.某班小X等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小X 不能报A小组,如此不同的报名方法有()
A.27种
B.36种
C.54种
D.81种
X的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,应当选C.
3.两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,如此这13个点可以确定不同的平面个数为()
A.40
B.16
C.13
D.10
:第1类,直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13(个)不同的平面.
4.如右图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,如此单位时间内传递的最大信息量为()
A.26
B.24
C.20
D.19
,由分类加法计数原理,完成从A 向B 传递有四种方法:12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和:3+4+6+6=19,应当选D .
5.设m ∈{1,2,3,4},n ∈{-12,-8,-4,-2},如此函数f (x )=x 3+mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是
()
A.1
2B .916
C .1116
D .1316
,f'(x )=3x 2+m ,又因为m>0,所以f'(x )=3x 2+m>0;
故f (x )=x 3+mx+n 在R 上单调递增,
假如函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点,
如此只需满足条件f(1)≤0且f(2)≥0.
所以m+n≤-1且2m+n≥-8,
所以-2m-8≤n≤-m-1,
当m=1时,n取-2,-4,-8;
m=2时,n取-4,-8,-12;
m=3时,n取-4,-8,-12;
m=4时,n取-8,-12;
共11种取法,而m有4种选法,n有4种选法,如此函数f(x)=x3+mx+n有4×4=16(种)情况,
,应当选C.
故函数f(x)=x3+mx+n在区间[1,2]上有零点的概率是11
16
6.有10种不同的玩具汽车,9种不同的洋娃娃,8种不同的闪光球,从中任取两种不同类的玩具,共有种不同的取法.
,有三类.第1类,取玩具汽车、洋娃娃各一种;第2类,取洋娃娃、闪光球各一种;第3类,取玩具汽车、闪光球各一种.
第1类中根据分步乘法计数原理知,有10×9=90(种)不同的取法;
第2类中有9×8=72(种)不同的取法;
第3类中有10×8=80(种)不同的取法.
由分类加法计数原理知,共有90+72+80=242(种)不同的取法.
7.某体育彩票规定:从01至36个号中抽出7个号为一注,每注2元,某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,此人想把这种特殊要求的号买全,需要花.
,第一步:从01至10中选3个连续的有01,02,03;02,03,04;…;08,09,10,共8种不同的选法;
第二步:同理,从11至20中选2个连续的有9种不同的选法;
第三步:从21至30中选一个有10种不同的选法;
第四步:从31至36中选一个有6种不同的选法.
共可组成8×9×10×6=4320(注),所以需要花费2×4320=8640(元).
元
8.从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,如此可以组成个不同的对数值.
,确定它的底数和真数即可,分两步完成:
第1步,从这8个数中任取1个作为对数的底数,有8种不同取法;
第2步,从剩下的7个数中任取1个作为对数的真数,有7种不同取法.
根据分步乘法计数原理,可以组成8×7=56(个)对数值.
在上述56个对数值中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以满足条件的对数值共有56-4=52(个).
9.集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},设P(x,y),x∈M,y∈N,假如点P在直线y=2x的下方,如此这样的点P共有多少个?
P在直线y=2x的下方,所以y<2x.
又x∈M,y∈N,可按x的取值分类考虑.
当x=1时,不存在符合条件的点P;
当x=2时,y=2,3,如此符合条件的点P有2个;
当x=3时,y=2,3,4,5,如此符合条件的点P有4个.
根据分类加法计数原理,知这样的点P共有2+4=6(个).
10.设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.
(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?
(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?
利用分类加法计数原理,知共有5+2+7=14(种)不同的选法.
(2)国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法.由分步乘法计数原理,知共有5×2×7=70(种)不同的选法.
(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类加法计数原理和分步乘法计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59(种)不同的选法.
11.集合A={2,4,6,8},B={1,3,5,7,9},从A中取一个数作为十位数字,从B中取一个数作为个位数字,问:
(1)能组成多少个不同的两位数?
(2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?
从A中取一个数作为十位数字,有4种不同的取法,从B中取一个数作为个位数字,有5种不同的取法.由分步乘法计数原理可知,能组成4×5=20(个)不同的两位数.
(2)要组成十位数字小于个位数字的两位数,可分如下情况:
当个位数字为9时,十位上的数字有4种取法,能组成4个十位数字小于个位数字的两位数;
当个位数字为7时,十位上的数字有3种取法,能组成3个十位数字小于个位数字的两位数;
当个位数字为5时,十位上的数字有2种取法,能组成2个十位数字小于个位数字的两位数;
当个位数字为3时,十位上的数字有1种取法,能组成1个十位数字小于个位数字的两位数.
所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1+2+3+4=10(个).。