高考数学总复习 第七章第2课时 空间几何体的表面积和体积课时闯关(含解析)1

2013年高考数学总复习（山东专用）第七章第2课时 空间几何
体的表面积和体积 课时闯关（含解析）
一、选择题
1．圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形，则该圆柱的底面积是( )
A ．24π2
B ．36π2
C ．36π2或16π2
D ．9π或4π
解析：选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π，故底面圆的半径为3或2，所以底面圆的面积是9π或4π.
2．(2011·高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )
A ．4
B ．2 3
C ．2 D. 3
解析：选B.设底面边长为x ，则V ＝34x 3
＝23，∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的左
视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3.
3．(2011·高考湖南卷)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.9
2π＋12 B.9
2
π＋18 C ．9π＋12 D ．36π＋18
解析：选B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体，故体积为V ＝32
×2＋43π⎝ ⎛⎭
⎪
⎫323＝18＋92
π.
4．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的( )
A.116
B.316
C.112
D.18
解析：选B.由题意可得截面圆半径为
32R (R 为球的半径)，所以截面面积为π(3
2
R )2＝34πR 2，又球的表面积为4πR 2
，则34πR 2
4πR 2＝316
，故选B. 5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
A ．8
B ．6 2
C ．10
D ．8 2
解析：选C.将三视图还原成几何体的直观图如图所示．
它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10. 二、填空题
6．(2012·洛阳质检)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．
解析：由正视图知该圆锥的底面半径r ＝1，母线长l ＝3，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π.
答案：3π
7. 如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥B 1－BCO 的体积为________．
解析：V ＝13S △BOC ·B 1B ＝13×12BO ·BC ·sin45°·B 1B ＝16×2×2×22×2＝2
3.
答案：23
8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π
3
，则这个三棱柱的体积是________．
解析：由43πR 3
＝32π3
，得R ＝2，∴正三棱柱的高h ＝4.
设这个三棱柱的底面边长为a ，则13·3
2a ＝2，∴a ＝43，
∴V ＝12·a ·3
2a ·h ＝48 3.
答案：48 3 三、解答题
9．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的1
2
，
求这个圆台的侧面积．
解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面， 由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，
O 1C ＝1
2
OA ，
设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ，
又
O 1C SC ＝OA
SA
＝sin30°， ∴SC ＝2r ，SA ＝4r ，
∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm ， ∴r ＝2 cm.
所以圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2
.
10．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，
A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×2×2＋2×1
2
×(2)2
＝22＋42(cm 2
)，
体积V ＝23＋12
×(2)2×2＝10(cm 3
)．
11．(2012·广州调研)如图，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D —ABC ，如图所示．
(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D —ABC 的体积．
解：(1)证明：在图中，可得AC ＝BC ＝22，
从而AC 2＋BC 2＝AB 2
，故AC ⊥BC ，
取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ， 从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， 又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面ACD .
(2)由(1)可知BC 为三棱锥B —ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，
∴V B —ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝42
3，
由等体积性可知，几何体D —ABC 的体积为42
3.。