高中数学第2章平面解析几何初步第一节直线的方程1直线的斜率与倾斜角学案苏教版必修2

直线的斜率与倾斜角
二、重难点提示
重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式。

难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程。

考点一：直线的斜率
1. 已知两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝21
21
y y x x -- （x 1≠x 2），
如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在。

2. 直线斜率的实际意义：坡度＝高度/宽度，即坡度指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值。

考点二：直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°。

倾斜角α的范围为0°≤α<180°。

【核心归纳】直线的斜率与倾斜角的关系
当直线的斜率为正时，其倾斜角α的范围为（0°＜α＜90°）；当直线的斜率为负时，其倾斜角α的范围为（90°＜α＜180°）。

1. 从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α（α≠90°），则直线l 的斜率
k ＝tan α。

例题1 （求直线的斜率）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。

（1）A （－1,0），B （0，－2）；
（2）A ，B ； （3）A （a ，a ＋b ），B （c
，b ＋c ）；
（4）A （2，－1），B （
m ，－2）。

思路分析：当x 1≠x 2时，利用1
2
12
y y x x --求解直线的斜率，否则斜率不存在。

答案：（1）∵－1≠0，
∴斜率存在，且k
＝
20
0(1)
----＝－2
；
（2 ∴斜率存在，且k 1； （3）∵a ≠c （否则A ，B 两点重合为一点）， ∴斜率存在，且k ＝
()
a b b c a c +-+-＝1；
（4）当m ＝2时，斜率不存在； 当m ≠2时，斜率k ＝2(1)2m ----＝1
2m
-。

技巧点拨：
1. 本题（4）因m 与2的关系不确定而分m ＝2和m ≠2两种情况求解。

2. 注意事项：
（1）运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点
P 1、P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置。

例题2 （求直线的斜率或倾斜角的范围）
已知两点A （－3,4），B （3,2），过点P （1,0）的直线l 与线段AB 有公共点。

（1）求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）求直线l 的倾斜角α的取值范围。

思路分析：画图
斜率k 的范围
倾斜角α的范围。

答案：如图所示，由题意可知
k PA ＝
40
31---＝－1， k PB ＝2031
--＝1。

（1）要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1。

（2）由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°。

技巧点拨：
1. 本题在求解过程中应用了数形结合思想，求解的关键是分析边界点的斜率同其他点斜率间的关系。

2. 数形结合是解决数学问题的常用思想方法。

当直线绕定点由与x 轴平行（或重合）的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行（或重合）的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行（或重合）的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞。

这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，又可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围。

数形结合求函数的值域
【满分训练】求函数y ＝
31
2
x x -+（x ≥0）的值域。

思路分析：先把函数式变形，再利用过两点的直线斜率公式求解。

答案：y ＝
31
(2)
x x ---，可看成点A （－2，1）与函数y ＝3x 上动点M （x ，3x ）连线的斜
率（如图所示）。

由函数y ＝3x （x ≥0）的图象易知k AM ≥－1
2
，
又因为312x x -+＜3x x
＝3，
所以已知函数的值域为[－1
2，3）。

技巧点拨：
本题利用数形结合思想求值域，主要是利用了过两点的直线斜率公式，注意这一方法在求值域问题中的应用。