高中数学苏教版5教案：基本不等式的证明(2)

基本不等式的证明（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步掌握基本不等式；
2.学会推导并掌握均值不等式定理；
3。

会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最
小值问题;基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法
通过几个例题的研究，进一步掌握基本不等式
2
a b
+≤
，并会
用此定理求某些函数的最大、最小值.
三、情感、态度与价值观
引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神,培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：
重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：
1。

学法：
2。

教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景,揭示课题
1．重要不等式：如果)""(2R,,22
号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．基本不等式:如果a ,b 是正数,那么).""(2
号时取当且仅当==≥
+b a ab b a 我
们称
b a b
a ,2
为+的算术平均数,称
b
a a
b ,为的几何平均数，
ab b a ab b a ≥+≥+2
222和
成立的条件是不同的：前者只要求a ,b 都是实数,
而后者要求a ，b 都是正数。

二、研探新知
最值定理：已知y x ,都是正数， ①如果积xy 是定值p ，那么当y
x =时，和y x +有最小值p 2；②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy
有最大值2
4
1s ．
证明：∵+
∈R y x ,, ∴
xy y
x ≥+2
，
①当xy p = （定值）时,p y x ≥
+2
∴y x +p 2
≥,∵上式当y x =时取“="，
∴当y x =时有=+min
)(y x p 2;
②当s y x =+ （定值）时，
2
s
xy ≤
∴2
4
1s xy ≤,∵上式当y x =时取“="∴
当y x =时有2
max
4
1)(s xy =
． 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
①最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件:一“正”、二“定"、三“相等"。

③函数式中各项必须都是正数；
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
三、质疑答辩，排难解惑,发展思维 例1 (1）求 lg log 10x x +)1(>x 的最值，并求取最值时的x 的值.
解：∵1>x ∴0lg >x
010log >x ，于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ,
当且仅当lg log
10x
x =，即10x =时，等号成立，∴lg log 10x x +)1(>x 的最小值
是2，此时10x =．
(2）若上题改成10<<x ，结果将如何？ 解:∵10<<x 0lg <x
010log <x ，于是2)10log ()lg (≥-+-x x ，
从而210log
lg -≤+x x ，∴lg log 10x x +(01)x <<的最大值是2-，此时1
10
x =
． 例2 （1）求(4)(04)y x x x =-<<的最大值，并求取时的x 的值. （2）求)20(42<<-=x x x
y 的最大值，并求取最大值时x 的值
解：∵04x <<,∴0,40x x >->
422
x x
+-≤
=则(4)4y x x =-≤,当且仅当4x x =-，即2(0,4)x =∈时取等号.∴当2x =时，(4)(04)y x x x =-<<取得最
大值4。

例3 若21x y +=，求11x
y
+的最小值。

解：∵21x y +=，∴1122x y x y
x
y
x
y
+++=
+22123()3y x y x
x y x y
=+
++=++≥+ 当且仅当221
y x
x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，即1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,
∴当1,x y =
-=
11x
y
+
取最小值3+例4 求下列函数的值域:(1）2
2213x x y +
=;(2）x
x y 1+=
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1）先理解题意，设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值
的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案.
四、巩固深化，反馈矫正
1．已知101,01,9x y xy <<<<=，求113
3
log
log x y ⋅的最大值,并求相应的,x y 值。

2．已知0x >，求423x x
--的最大值,并求相应的x 值。

3．已知
02x <<，求函数()f x =
x 值。

4．已知0,0,31,x y x y >>+=求11x
y
+的最小值，并求相应的,x y 值
五、归纳整理,整体认识
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正"、二“定”、三“相等”,当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解;
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；(2）配凑出和为定值； （3）配凑出积为定值;（4)将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数;积的形式存在最大值，凑和为常数,要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：。