高中数学抛物线课件

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抛物线 结 束
3. [考点一]已知抛物线 y2＝2x 的弦 AB 的中点的横坐标为32，则
|AB|的最大值为
()
A．1
B．2 C．3
D．4
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2
＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋
|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋ |BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线
()
A．n＋10 B．n＋20 C．2n＋10 D．2n＋20
解析：由题意得，抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为
x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋
1，…，|PnF|＝xn＋1，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋x2
＋…＋xn＋n＝n＋10，选A.
[答案] (2)5 (3)2
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焦点弦问题
焦点弦的常用结论：
以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的
一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2， y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：
(1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2；
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能力练通
抛物线
抓应用体验的“得”与“失”
结束
1. [考点一] (2016·广州一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：
y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F
是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋
|P2F|＋…＋|PnF|＝
则该抛物线焦点坐标为
()
A.12，0
B．(1,0)
C.14，0
D．(0,1)
[解析] 抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p2且过点(－1,1)，
故－p2＝－1，解得 p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
[答案] B
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(2)若抛物线 y2＝m4 x 的准线经过椭圆x72＋y32＝1 的左焦点，
最小值是 5. (3)由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设抛物线
的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直 线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值，即焦点 F 到直线 l1：4x－3y ＋6＝0 的距离，所以最小值是|4－05＋6|＝2.
[解] 由(1)得 4x2－5px＋p2＝0，即 x2－5x＋4＝0，则 x1 ＝1，x2＝4，于是 y1＝－2 2，y2＝4 2，从而 A(1，－2 2)， B(4,4 2)．设 C(x3，y3)，则OC ＝(x3，y3)＝OA＋λOB＝(1，－ 2 2)＋λ(4，4 2)＝(4λ＋1,4 2λ－2 2)．
＝2px 联立，消去 y 有 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝54p＋p＝9，所以 p＝4， 从而该抛物线的方程为 y2＝8x.
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(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA＋λOB， 求 λ 的值．
AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
答案：D
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4. [考点二] 若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交
抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△
PAB的面积的最小值为________．
解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由
2．待定系数法 (1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形 式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从 而写出抛物线的标准方程．
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(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情 况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点 在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝ 2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝ mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有 两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上 的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐 标轴，应考虑上述两种情况设方程．
(3)已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是________．
[解析] (2)依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝
－1 引垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1，5)到 y＝－1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝
p 1－cos
θ
，|BF|＝
p 1＋cos
； θ
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(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝
2p sin2θ
(其中θ为直线AB的倾斜角)，
抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；
(4)S△AOB＝2spin2 θ(其中θ为直线AB的倾斜角)；
答案：A
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2. [考点二] 已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2 ＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两 曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列 关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是( ) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4 解析：设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝ 0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋ 1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2 ＝y421·y422＝y11y622.而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1. 答案：A
C．(1， 2) D．(2,2)
[解析] 过 M 点作准线的垂线，垂足是 N(图略)，则|MF|＋
|MA|＝|MN|＋|MA|，当 A，M，N 三点共线时，|MF|＋|MA|取得
最小值，此时 M(2,2)．
[答案] D
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(2)已知 M 是抛物线 x2＝4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C： (x＋1)2＋(y－5)2＝1 上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
(5)|A1F|＋|B1F|＝2p为定值；
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠ A1FB1＝90°；
(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．
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则实数 m 的值为________． [解析] 抛物线 y2＝m4 x 的准线方程为 x＝－m1 ，椭圆x72
＋y32＝1 的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－m1 ＝－2，所以
实数 m＝12.
[答案]
1 2
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[方法技巧] 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过 图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向 等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
y＝x－1， y2＝4x，
得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1
＋x2＋p＝8.设P －y420，y0 (y0≥0)，则点P到直线AB的距离d＝
y420＋y0＋1 2
，∴△PAB的面积S＝
1 2
|AB|·d＝
|y20＋4y0＋4| 2
＝
y0＋22 2
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当焦点坐标为(4,0)时， 设方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4， 所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
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抛物线的几何性质
[例 2] (1)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，
又 y23＝8x3，所以[2 2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2 ＝4λ＋1，解得 λ＝0 或 λ＝2.
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[方法技巧] 焦点弦问题的求解策略
解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应 用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据 抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件 求解．
[例 2] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直
线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA＋λOB，
求 λ 的值． [解] (1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·x－p2，与 y2
图形
标准 方程
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
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焦点坐标 __p2_，__0_
－p2，0
0，p2 __0_，__－__p2_ _
准线方程 x＝－p2
_x_＝__p2__
_y_＝__－__p2_
y＝p2
离心率
e＝1
焦半径
|PF|＝x0＋
p 2
|PF|＝ _－__x_0_＋__p2__
|PF|＝ _y_0_＋__p2_
|PF|＝－y0 ＋p2
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考点贯通
抛物线
抓高考命题的“形”与“神”
结束
求抛物线的标准方程 1．定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的 距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种 形式，要注意选择．
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[例1] 若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x－4y－12＝0 与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程．
[解] 对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4,0)． 当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)， 则p2＝3， 所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－ypA2.
∵BC∥x轴，且C在准线x＝－p2上， ∴C－p2，yB.
则kOC＝－yBp2＝2ypA＝xyAA＝kOA. ∴直线AC经过原点O.
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突破点(二) 抛物线的标准方程及性质
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
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抓高考命题的“形”与“神”
结束
利用抛物线的定义求解距离问题
[例 1] (1)(2017·赣州模拟)若点 A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线
y2＝2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小
值的 M 的坐标为
()
A．(0,0)
B.12，1
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第六节 抛物线
本节主要包括2个知识点： 1.抛物线的定义及其应用； 2.抛物线的标准方程及性质.
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பைடு நூலகம்
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突破点(一) 抛物线的定义及其应用
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_距__离__ _相__等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_焦__点__，直 线l叫做抛物线的_准__线__.
≥2 2，即△PAB的面积的最小值是2 2.
答案：2 2
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5. [考点二] 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直
线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC
∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
证明：设直线AB的方程为x＝my＋
p 2
，代入y2＝2px，得y2－