第二届“南方杯”数学邀请赛第二试高二试卷与答案

第二届“南方杯”数学邀请赛
十一年级(高二) 第2试
2007年5月13日 上午8：30至10：30
一、选择题：以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内（每小题6分，共36分）. 1．若角α满足sin cos αα>，且
2
α
位于第二象限，则角α位于( ).
A ．第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. 从正方体的8个顶点中随机地取三个两两不同的点，这三个点恰好构成一个正三角形的概率为( ).
A ．
16
B .
17
C .
18
D .
19
3．若k 、a 是实数，则关于x 的不等式|||1|k x x a -+-<的解集为空集的充分必要条件是( ).
A ．|1|a k ≤+
B . |||1|a k ≤-
C . |1|a k <-
D . |1|a k ≤-
4．函数()(1)(2)(3)()f x x x x x x R =-⋅⋅+⋅+∈的最小值等于( ).
A ．95
-
B . 94
-
C . 2-
D . 32
-
5．设n a 是以-1为首项，以7为公差的等差数列的第n 项，n b 是该等差数列的第2
n 项，定义1n n n b b b +∆=-（{}n b ∆叫做数列{}n b 的“一阶差分”），则n b ∆与1n a +之间的关系是1n n b x a y +∆=⋅+（x 、y 是常数）
，且x y +等于( ). A ．11
B . 12
C . 13
D . 14
6．如图1，在平面凸四边形ABCD 中，点E 、F 分别在直线AD 、BC 上，且DE EA α=⋅，
BF FC β=⋅（,R αβ∈，且均不等于-1）。

若1
()2
EF AB DC =⋅+，则αβ+等于( ).
A ．
12 B . 1 C . 32
D . 2
二、填空题（每题9分，共54分）
7．设等比数列{}n a 的前n 项之和为n S . 若77S =，142014S =，则72114()S S S ⋅-等于_ ______.
8．如图2，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，AB // CD // EF ，CD ⊥平面BCF ，△FBC 是边长为1的正三角形.
A
B
E F
D
C
图1
A
B
C
D
F E
图2
若EF = CD = 1，AB = 2，则该多面体的体积等于_________.
9．若a 为实数，关于,αβ的方程组⎩⎨⎧=+=+2
sin 2cos ,
1sin cos βαβαa 有实数解，则a 的取值范围为
_________.
10．不等式8244230x
x
x
-⋅-⋅+<的解集为 . 11．在1、2、3、4、…、100中共有_________个正整数n ，使得2232
1n
n
++能被7整除.
12. 对于N m ∈，*
N n ∈，组合数（二项式系数）的定义为
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧>≤≤-==)(.
0)1(,)!(!!)0(,1n m n m m n m n m C m
n .
其中阶乘n n ⨯⨯⨯⨯= 321!.
另外，“二项式定理”指出：11
()n n n i n i i
n n n a b a C a b C a b b --+=++
++
+.
由此，可求得：212222424222222999991n n n n n n n n n
n n C C C C C ----⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+等于
_________（用关于n 的最简式子表示）.
三、解答题（每题15分，共60分） 13. (本题满分为15分)
已知数列{}n a 中，12a =，前n 项之和为n S .
若24321(1)(21)2322n n n a n S n n n n ++⋅=+⋅+++++，试求n S 及n a 的表达式（用关于n 的最简式子表示）.
14. （本题满分为15分）
设0{|,0}R x x R x =∈≠，R 为全体实数的集合，函数0:f R R →对于任意的0
,x y R ∈都有()()()x f f x f y y
=-，且对任意的(1,)x ∈+∞有()0f x >.
(1) 比较()f x 与0的大小；
(2) 解关于实数t 的不等式2
(32)(2)f t f t t -<++.
15. （本题满分为15分）
如图3，在凸四边形ABCD 中，AD = AC ，DAC ABC ∠=∠，过点D 作经过△ABC 的内心I 的直线交直线AB 于点E .
求证：AE = AD .
C
A
B
D
E
I
图3
16. （本题满分为15分）
设a 、b 是两个给定的正实数，实数x 、y 满足221ax bxy ay -+=，试求22f x y =+的取值范围（值域）.
第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案
十一年级(高二)第2试 2007年5月13日上午8：30至10：
30
一、选择题：
二、填空题：
三、解答题：
13．解：因为!1(1)n n n a S S n ++=-≥，……………………………………………………………………………………3分
所以有24321(1)()(21)2322n n n n S S n S n n n n ++⋅-=+⋅+++++，
224321(1)(22)2322n n n S n n S n n n n ++⋅-++⋅=++++，
22221(1)[(1)1](1)[(1)1]n n n S n S n n ++⋅-++⋅=+⋅++，
…………………………………………… 5分
所
以
1221(1)11
n n
S S n n +-=+++，…………………………………………………………………………………………6分
即2
1n S n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
是一个公差为1的等差数列。

………………………………………………………………………7分
由112S a ==及等差数列的通项公式得：1
22
(1)1111
n S S n n n =+-⋅=++，…………………10分
所
以
2
(1
n S n =
⋅。

…………………………………………………………………………11分
当2n ≥时，2221(1)(1)[(1)1]332n n n a S S n n n n n n -=-=⋅+--⋅-+=-+。

…………14分
当1n =时，21231312a ==⨯-⨯+。

总之，所求的2332(1,2,3,)n a n n n =-+=。

………………………………………………………15分
14．解：(1)依题意有：
(1)(1)(1)0,(1)0;
1
(1)()(1)(1)(1),2(1)0,(1)0.1
f f f f f f f f f f f =-==⎧⎪
⎨-==--=--⋅-=-=⎪⎩-即即………………………2分
下证：()f x 为偶函数。

对于任何的0x R ∈，有()(
)()(1)()1
x
f x f f x f f x -==--=-， 所以()f x 为偶函数。

………………………………………………………………………………………………………4分
再证：()f x 在(0,)+∞上是（严格）递增函数。

对任意的120x x >>，有12
1x x >，
所以11220()()()x
f f x f x x <=-，即12()()f x f x >，这
说
明
()
f x 在
(0,)
+∞上
是
（
严
格
）
递
增
函
数。

…………………………………………………………………………7分
再由()f x 为偶函数知：()f x 在(0,)+∞上是（严格）递减函数。

………………………………9分
再由(1)0,(1)0f f =-=知：
对于任何的(0,1)x ∈，有()0f x <；对于任何的(1,)x ∈+∞，有()0f x >；对于任何的(,1)x ∈-∞-，有()0f x >；对于任何的(1,0)x ∈-，有()0f x <。

另外，(1)0f =，
(1)0f -=。

……………………………………………………………………………………………………………………………
10分
(2)显然2
2
1
3
2()112
4
t t t ++=++
+>，
C A
B
D
E
I
图3
由()f x 为偶函数及()f x 在(0,)+∞上是（严格）递增函数知： 不
等
式
22(32)(2)(|32|)(2)f t f t t f t f t t -<++⇔-<++……………………………………11分
20|32|2t t t ⇔<-<++ (1)
2分
22222223333
(4)024040(1)30t t t t t t t t t t t ⎧⎧⎧⎧<<><
⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⋅+>-+>+>++>⎩⎩⎩⎩或或 2222(0,(,)(,4)
3333
40t t t t t t t ⎧<⎪⇔>⇔∈∈+∞∈-∞-⎨⎪<->⎩
或或或或 (1)
5分
15．解：如图，连结AI ，CI 。

本题的关键在于发现并证明：I 、C 、D 、A 四点共圆。

由AC = AD 得：(90)ACD ADC αα∠=∠=< 又1802ABC CAD α∠=∠=- 记BAI CAI β∠=∠=，则
180180(1802)222
ABC CAB ACI BCI αβ
αβ-∠-∠---∠=∠=
==-。

（由180BAD ∠<得：21802180βα+-<，从而0αβ->）……………………….6分
由上可知：
()()
()(1802)180
ICD IAD ICA ACD IAC CAD αβαβα∠+∠=∠+∠+∠+∠=-+++-=
于是I 、C 、D 、A 四点共圆，……………………………9分 所以ADI ACI αβ∠=∠=-，………………………11分
在△ADE 中，由内角和为180得：
180()180()
180(21802)AED EAD ADE EAC CAD ADE ACI
βααβαβ∠=-∠+∠=-∠+∠+∠=-+-+-=-=∠ (14)
分
因此AE = AD 。

……………………………………………………………………………………………………15分
16．解：令x y
=
=
………………………………………………………………………………3分 则由题给等式得：2222
()()1m n m n m n a b a a a a
+--⋅
-⋅+⋅=， 化简为22(2)(2)a b m a b n a -⋅++⋅=………①…………………………………………………………4分
这时，222
2
22()()2
()m n m n f x y m n a a
++-=+=
=⋅+………②……………………………5分 (1) 若20a b ->，即2b a <，则由①得：
222(2)()2a b m n a bm a +⋅+=+≥， 222(2)()2a b m n a bn a -⋅+=-≤，
因为20a b ->，所以有2222a a m n a b a b
≤+≤+-，………③………………………………7分
从而22222
()22f m n a b a a b
≤=⋅+≤+-，
即f 的值域为2
2,22a b a b ⎡⎤⎢
⎥+-⎣⎦。

………………………………………………………………………………9分 (2) 若20a b -≤，即2b a ≥，则由①得：
22(2)(2)a b n a b a m a +=+-⋅≥，……④
即2
2a
n a b
≥+，……⑤
再由
④
可
知
：
2
m 可取任意的非负实数
（
20b a -≥），…………………………………………………11分
所
以
22
2
22
()2222a b a m b f m n m m a a a b a b a a b
a b ⎡⎤+-⋅⎛⎫=⋅+=⋅+=+⋅⋅≥ ⎪⎢⎥++++⎝⎭
⎣⎦， …13分 故
f
的
值
域
为
2,2a b ⎡⎤
+∞⎢⎥+⎣⎦。

………………………………………………………………………………………………14分 综合(1)和(2)得：
当2b a <时，2
2
f x y =+的值域为22,22a b a b ⎡⎤
⎢⎥+-⎣⎦
；
当
2b a
≥时，
22
f x y =+的值域为
2,2a b ⎡⎤
+∞⎢⎥+⎣⎦。

………………………………………………………15分 注：①可利用“基本不等式”：221()2xy x y ≤
+，求得min 2
2f a b
=+，建议给3分 ②本题亦可利用三角替换法来求解，做对同样给分。

（三角代换法）。