伽罗华群---数学家避而不谈的秘密

伽罗华群---数学家避⽽不谈的秘密
从另⼀⽅⾯讲，可能是数学研究耗尽了数学家太多的精⼒，有名的⼤数学家往往讲话中⽓不⾜，⽐如陶哲轩，怀尔斯等，不像影星或者政治家那样具有煽动性。

每当伟岗在油管上看那些思想极其深邃数学家的演讲，都有⼀丝遗憾的感觉，思维如此敏捷的⼈怎么说话那么低调，似乎⾃信⼼不强，很多重要内容竟然要要反复地听才能注意到！这给⼤家接触现代数学造成⼀定的障碍。

当然从好的⼀⽅⾯讲，现在的科技⼿段还能够给⼤家展⽰数学家的风采，听数学家细细叙述他们的思想。

如果没有视频，你去读数学家的著作，你根本就读不下去。

⽽且可能你连⼀点知识也学不到。

伟岗前⾯就讲过，读黎曼猜想提出的原始论⽂，你根本就找不到黎曼猜想！也就是说，你连黎曼猜想怎么提出的都找不到，更不要说深⼊的解释和关联信息。

读其它的论⽂也⼀样。

怀尔斯证明费马最后定理的论⽂⽹上也可以下载到，可是你去读，也根本读不出⼀个知识点，说是天书都不过分。

怎样突破数学家跟⼤众的隔阂，⽬前谁也没有好办法。

数学知识的积累太快了，⽽⼀般⼈受到的教育（指数学⽅⾯）⼜太初级。

⽬前⼀个⾼中毕业⽣⼤概只能掌握古希腊时代的数学知识。

如果你是个悲观主义的⼈，你甚⾄认为⼀般⼈可能连古希腊⼈的数学都掌握不了。

也就是说普通⼈竟然落后数学家⼏千年！虽然在数学发展史上，停滞发展了⼏百年，但是后来⾼速发展阶段的近代现代数学竟然跟很多⼈⽆缘，这是⼀个极⼤的悲哀。

伟岗的观点是，我们现代⼈应该积极地去接触近代现代数学，虽然貌似学习了解这些数学知识没有什么现实作⽤。

但是涓涓细流可以汇成⼤海，如果每个⼈或者很多⼈都积极去深⼊理解学习现代数学，⼤家就会在很多场合谈论数学，在谈论的过程中⼀些思维的⽕花就会迸发，这些⽕花肯定会极⼤推动现代数学被⼤众理解从⽽促进数学的发展。

当然了解学习现代数学难度还是⽐较⼤，这也许是⼤多数⼈放弃学习的主要原因。

拿这个伽罗华群来说，⼏乎所有数学科普书都没有深⼊地探讨，最多也是提到对称性。

可见这个话题是个禁区，数学家认为难度超过⼤众的理解。

其实伽罗华群可不是对称那么简单。

伟岗前⾯写的两篇可以说是连伽罗华群的边都没有摸到，但是但是还是有很多同学朋友反应太难了，阅读量也严重下降，可见很多朋友同学都放弃了。

也许⽬前市⾯上的数学科普书是对的，群论是科普很难说清楚的领域，深⼊地探讨群论有⼀点曲⾼和寡的味道。

不过伟岗还是想坚持写下去，虽然伟岗的⽔平⾮常有限，但是把⾼深的数学知识展现给⼤家⼀起探讨，也是⼀种乐趣。

也希望多⼀点朋友同学跟伟岗⼀起尝试进⼊数学家的世界，如果⼤家都不关注数学家在⼲什么，数学的发展就会停滞不前了。

伟岗前⾯写了三篇关于群论的⽂章，⼤致总结⼀下就是，群论是研究⼀组数的结构，⽽不是研究具体数或者运算。

要实现研究⼀组数的结构，数学家（伽罗华⾸创）把⼀组数放在⼀起，⽤4个规则把这些数组合在⼀起，也就是封闭性，结合律，单位元和逆元。

不要⼩看这简单的4个规则，它开辟了⼀个崭新的世界。

很多意想不到的结果都被数学家证明出来，其中最古⽼最重要的就是证明5次及5次以上⽅程没有根式解（事实上群论就是为了解决这个根式解难题⽽产⽣的）。

根式解问题产⽣的最根本原因是数的性质。

伽罗华以他敏锐的洞察⼒断⾔，存在⼀类数，这类
数满⾜5次及5次以上⽅程（也就是说是五次及5次以上⽅程的解），但是这类数⽆法通过其他有理数的加减乘除以及开⽅运算得到。

⽽最最的关键地是，那些其他有理数就是5次及以上⽅程的系数。

也就是说，5次及5次以上⽅程存在这样的解，它们⽆法⽤⽅程的系数通过加减乘除以及开⽅运算计算出来。

伽罗华证明了他的断⾔，⽤的就是他⾸创的群论。

当然伽罗华也不是凭空想起群论这个理论，他第⼀步是引进拉格朗⽇的置换理论，提出置换群理论，这个是证明伽罗华定理（也就是5次及5次以上⽅程没有根式解定理）的关键。

置换群中的元素不是具体的数，⽽是置换运算，这是群论的第⼀个难点。

在初等数学阶段，我们只习惯对具体的数或图进⾏运算推理，虽然有时候⽤字母来代替具体的数，给我们的运算推理造成很⼤的⿇烦，但还是可以把那些字母想象成具体的数，甚⾄可以⽤具体的数去验算。

到了群论阶段，你要⽤更抽象的思维来思考问题。

置换群是⼀个起点。

要理解伽罗华理论，域论也是⼀个拦路虎。

复杂的域论是证明伽罗华定理的必须。

域论的存在，伟岗认为是为了把多项式跟群论结合起来。

⽤群论的⽅法研究多项式，就是把多项式的系数提炼出来，通过对系数的组合，研究多项式组成⽅程根的性质，最终得出伽罗华定理。

分裂域是域论的⼀个难点，也是连接多项式系数和根的⼀个桥梁。

分裂域不但把多项式的系数和根都组合在⼀起，⽽且组合的形式⼜采⽤了跟多项式因式分解有关的扩域⽅法。

这些都是后来证明伽罗华定理的必须准备，只可惜到了这⼀步，伟岗也理解不了埋藏在扩域形式后⾯的逻辑关系，这个肯定跟伽罗华定理的证明有关，但关联在哪⾥就找不到直接的联系了。

有了扩域和分裂域，我们就可以看看什么是伽罗华群了。

这⼜是⼀个⾮常抽象的东西，因为组成伽罗华群的元素既不是具体的数，也不是显⽽易见的转换（⽐如置换群的元素），⽽是被数学家定义为⾃同构的变换！
伽罗华群的定义是这样的（还是按照抽象代数教科书）：假定E是F的伽罗华扩域，E的所有使F 中元素固定不变的域⾃同构成为⼀个群，记这个群为G=Gal(E/F),称为扩域(E/F)的伽罗华群。

上⾯这个定义虽短，却有很多数学秘密，这些秘密现在的数学科普书读不到，但愿不久的将来，⼤众的数学⽔平提⾼了，这样的定义就像⽅程的定义⼀样⼴为⼈知。

⾸先，什么叫伽罗华扩域？伽罗华域实际上就是有限域的代名词。

数学越往深处学，名词和代号符号会成为巨⼤的障碍。

就连舒尔茨这样的天才，也有⼀个专门的柜⼦放置关于数学代号符号及名词的⽂档，随时查阅，可见这些内容的繁杂且不容易记住。

我们数学⽔平⽐较低的⼈，之所以读到现代数学家的⽂献感到像天书，最令⼈困惑的就是⼀堆数学符号，你根本搞不清这些符号代表什么意思，怎么来的。

但愿以后印刷技术发展了，点⼀个符号就可以看到它的意思，这样数学的推⼴和发展会上⼀个台阶。

有限域就是元素个数有限的域，这个好理解；
为什么要采⽤扩域的形式来定义伽罗华群也是相当困扰⼤家的。

为什么不直接就定义⼀个域呢？这⾥⾯⼤有讲究。

把多项式系数跟⽅程的根既组合⼜区别对待，这是伽罗华理论的精髓。

事实上从教科书后⾯的内容看，正是因为有了扩域才使得判断多项式⽅程有没有根式解成为可能。

这⾥⾯也有很多数学家不愿意讲给⼤众听的秘密，因为这些内容有⼀定的难度。

按照伟岗的理解，粗略地讲，当⼀个⽅程在实数域⾥没有解，这时它在实数域⾥因式分解就不可能（数学家称之为不可约），但是这个⽅程在复数域⾥肯定是有根的，这时多项式的分裂域可以由多项式⽅程的根来表⽰。

通过这个分裂域可以求出多项式伽罗华群的阶数，通过这个阶数加上其他条件就可以判断多项式⽅程有没有根式解。

上⾯这些叙述蕴含的数学知识还是太多，对于普通⼈也许暂时忽略它们⽐较合适，⼤家只要知道，伽罗华精妙地把多项式系数和多项式组成⽅程的根结合在⼀个群中，同时⼜区别对待了多
项式系数和根，这使得在数学证明上有很多特殊⼿段，找到⼀个⽅程有没有根式解的充分必要条件。

接下来域的⾃同构⼜是⼀个三⾔两语讲不清楚的数学概念。

第⼀，你必须理解同构。

我们前⾯讲过，群是研究数的结构的。

同构的概念就相当于运算中的等号。

也就是说，在群论中，如果两个群同构，那么就可以当做是⼀个群来研究。

那么怎样才使得两个群同构呢？数学家把两个群之间如果存在⼀⼀对应的关系（数学上叫映射），那么两个群就同构。

当然还有很多细节要去理解，不过⼤体上讲，两个群只要群⾥的元素能够对应起来，那么两个群的结构就是⼀致的，也就是同构。

⾄于对应⽅式，在群论中就很少研究，毕竟群论是研究群结构的，⽽不是研究怎样得到⼀个特定的结构，所以群论中的对应（也就是映射）是个抽象的东西，没有具体内容，但是⼜确实存在，这也许是数学家不愿意给⼤众上课讲同构的主要原因。

你必须热爱数学，发挥你的数学想象⼒，才能真正理解同构和映射这样的数学知识。

⾃同构是建⽴在同构基础上。

它是指⼀个群内部的同构。

这⼜怎么理解呢？简单讲，就是如果存在映射，能把群的⼀些元素映射到群⾥其它元素上，那么这些映射就是⾃同构。

按照伽罗华群的定义，构成伽罗华群的⾃同构是把多项式扩域的元素映射到多项式系数上。

也就是说，这样的变换，他们把多项式扩域中的元素通过变换能够等于多项式的系数。

有了这样的解释，⼏个巨⼤的疑问就产⽣了，这样的变换存在吗？就算默认这些变换存在，它们真能构成⼀个群吗？就算数学家有天才，证明了这些⾃同构组成了⼀个群，我们怎么去求这些⾃同构啊？毕竟⾃同构是个抽象的东西，它们甚⾄没有固定的形态，这样的东西在数学上怎么去操作它们？
你还别说，伽罗华以及后续的数学家还真是天才，这样的⾃同构竟然被他们拿来充分地研究，甚⾄对于具体的⽅程，他们也能从某种意义讲求出了全部⾃同构。

当然这⾥所说的求出，不是具体地列出了⾃同构，⽽是把⾃同构群同构到⼀类群（具体讲就是置换群）上，从⽽⽤来证明5次以及5次以上⽅程在什么条件下没有根式解，你不服还真不⾏。

不过这些内容要写起来，篇幅⼜太长，今天就暂时写到这⾥吧。

⽂章结尾还是要感谢朋友同学的⿎励打赏，谢谢了！。