《高等数学——理工版》电子教案 1.4无穷小量与无穷大量

定理 在自变量的同一变化过程中，若 , , , 均为无穷
小，且
~
，
~
，lim
存在，则
lim
也存在，且有
lim
lim
．
常见的一些等价无穷小有：
当 x 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ，
arctan
x
~
x
，1 cos x ~
sin x tan x
【例题 3】
求 ． lim
x0 x tan2 x
分析：当 x 0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ，如果在分子的减法
下图所示．这个角可规定当偏到一方（如右方） 时为正，而偏到另一方（如左方）为负．如果 让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和空气阻力， 振幅就不断 地减小．在这个过程中，
角θ是一个无穷小量．
二、知识要点 （一）、无穷小量
定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。
例如：
因为
lim
x0
x2
0
，所以当
x
0
授课说明
授课班级 11机械类
日期 2011年9月 日
授课题目
授课 内容
目的 要求
重点 难点 作业布置
1.4无穷小量与无穷大量
1.无穷小量的定义
教
2.无穷大量的定义
学 多媒体讲授
3.无穷小的运算法则形Leabharlann 4.无穷小的比较式
熟练掌握无穷小与无穷大的定义、熟练掌握无穷 小的性质与无穷小的比较，重点掌握运用无穷小
无穷大，即
lim
x0
1 x
．
注意：
（1）无穷大是一个变量，不能把一个绝对值很大的 常数说成无穷大．因为再大的常数极限也是它本身．
（2）一个变量是否为无穷大，与自变量的变化过程 有关．与无穷小类似，不能笼统地说某一变量为无穷 大，必须明确指出变量在何种变化过程中是无穷大．
在自变量的某种变化趋势下，无穷小与 无穷大之间存在着非常密切的关系：
时，变量
y
x2
为无穷小；
因为
lim
x
1 x2
0
，所以当
x
时，变量
y
1 x2
为无穷小；
因为
lim
n
1 n
0
，所以当
n
时，变量
y
1 n
为无穷小；
因为 lim(x 1) 0 ，所以当 x 1 时，变量 y x 1 为无穷小． x 1
注意：
（1）一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关 外，还与自变量的变化趋势有关．如上例，变量 y x 1 ， 当 x 1时为无穷小；而当 x 2 时， y 1 ，极限是一个 常数．因而，不能笼统地称某一变量为无穷小，必须明 确指出变量在何种变化过程中是无穷小．
1 2
x
2
，
ex 1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
(1
x)
1 ~
x，n
1
x
1
~
1 n
x，
1 x 1 x ~ x ．
【例题 2】
求
lim
x0
sin x x3 x
．
解 所以
当 x 0 时， sin x ~ x
lim
x0
sin x x3 x
lim
x0
x x3
x
lim
x0
1 x2 1
（2）在实数中，因为 0 的极限是 0，所以数 0 是无穷 小，除此之外，即使绝对值很小很小的常数也不能认为 是无穷小．
（二）、无穷大量
定义 在自变量的某一变化过程中，变量 y 的绝对值 无限增大，则称变量 y 为在该变化过程中的无穷大量， 简称无穷大．记作： lim y 或 y ．
1
1
例如：当 x 0 时， x 无限增大，所以 x 是 x 0 时的
1
x2 5x
【练习 2】
求
lim
x0
1 x 1．
解 所以
当 x 0 时，
1
x
1
~
1 2
x
，
x2 5x
x(x 5)
． lim
lim
10
x0 1 x 1 x0 1 x
2
注意：在计算极限时，对乘积或商中的无穷小(以 因子形式出现的)，可以用等价无穷小来替换；对于加、 减运算一般情况下不使用，否则可能得出错误的结论．
在同一变化过程中， 无穷大的倒数是无穷小， 非零的无穷小的倒数是无穷大．
1 f (x) ( f (x) 0) 是无穷小等价于 f (x) 是无穷大。
4x
【例题 1】
求
lim
x3
x2
9
．
解 因 lim4x 12 0 ，故 lim x2 9 0 ．这就说明当
x3
x3 4x
x
3
时，x
2 4x
9
为无穷小．根
的性质与比较来计算有关极限问题。
无穷小的性质与比较
课后作业书
1.4 无穷小量与无穷大量
一、案例 二、知识要点 三、应用
一、案例1 [洗涤效果]
在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上 残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时， 衣物上的污质量趋于零。
一、案例2 [单摆运动]
单摆离开铅直位置的偏度可以用角θ来度量，如
定义 设与 是同一变化过程中的两个无穷小．
（1）如果
lim
0
，则称
是比
较高阶的无穷小，记
作 o( ) ；
（2）如果
lim
c
0(
c
为常数)，则称
与
是同阶
无穷小；特别地，当c 1时，则称 与 是等价无穷小，
记作 ~ ；
（3）如果
lim
，则称
是比
较低阶的无穷小．
例如，
因为
lim
x0
sin
1 x
为有界函
数， sin
1 x
1，所以 x sin
1 x
也是无穷小，即： lim xsin x0
1 x
0.
．
【练习 1】
求
lim
x
sin x2
x
．
解
当
x
时，
sin x
1 ，而 lim x
1 x2
0
，所以
lim
x
sin x x2
lim(
x
1 x2
sin
x)
0
．
（四）、无穷小的比较
在同一变化过程中，会有很多的无穷小，例如，当 x 0 时，变量 x, x2,sin x 都是无穷小．但是它们趋近于零 的速度是不同的．不同的无穷小趋近于零的速度可以 通过它们的比值表现出来（因快慢是相对的）．为了刻 画这种快慢程度，我们引入无穷小阶的概念．
据无穷小与无穷大
的关
系可知，当
x 3
时，
4x x2 9
为无穷大．所以
li
x3
4x m x2
9
．
（三）、无穷小的运算法则
法则：对同一变化过程中的无穷小与有界变量，则 （1）两个无穷小的代数和仍是无穷小； （2）无穷小与有界变量的乘积是无穷小； （3）两个无穷小的乘积是无穷小。
例如：
当
x
0
时，
x
为无穷小，而
x2 x
0
，所以当
x
0
时，
x2是比x
较高阶无穷小，即
x2 o(x)(x 0) ．
因为
lim
x0
2x x
2
，所以当
x
0
时，
2
x与x
是同阶无穷小．
因
lim sin x x0 x
1
，所以当
x
0
时，
sin
x与x
是等价无穷小，即
sin x ~ x(x 0) ．
在求极限时，如果分子分母均为无穷小，则可用下述等价无 穷小的替换定理，使问题简单化．