人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知5π2sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B ．19
-
C ．
3
D ．
19
2．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2α
α
=-（ ）
A ．2425
-
B ．725-
C ．7-
D ．17
-
3．将函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标
不变，再将所得图像向左平移
12
π
个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对
称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．24
x π
=-
B ．4
π
x =-
C ．524
x π=-
D ．12
x π
=
4．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π
个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ）
A ．sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．1
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
D ．1
2
sin 2
3y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
5．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312
ππ
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递减，则ω=（ ） A ．3
62
k -，k ∈N B ．3
62
k +，k ∈N C ．
32 D ．3
6．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ） A ．2425
-
B ．
725
C ．
2425
D ．725
-
7．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
8．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫
=+>>-
<< ⎪⎝⎭
的部分图象如图所示，则()f x =（ ）
A ．sin 6x ππ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
B ．sin 3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．sin 6x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
D ．sin 3x ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭在区间2,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．80,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．18,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．3
,28
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
10．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
满足03f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6
x π
=
B ．56
x π=
C ．512
x π=
D ．712
x π=
11．已知函数 ()3cos f x x a x =+，[0,]3
x π
∈的最小值为a ，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[0,2]
B ．[2,2]-
C ．(],1-∞
D ．(],3-∞
12．下面函数中最小正周期为π的是（ ）． A ．cos y x = B ．π23y x ⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
C ．tan
2
x
y = D ．22cos sin 2y x x =+
二、填空题
13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立，则a =_______.
14．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________. 15．已知
()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()3
2
f a =
，则()f a -=______. 16．求值tan 2010︒=_______.
17．已知函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，始边与x 轴的正半轴重合，则tan3α的值为__________. 18．若3sin 45
πα⎛⎫
-
=- ⎪⎝
⎭，则sin2α=_____； 19．已知tan 3α=，则
2sin 21
sin cos 2ααα
-=+_________．
20．已知1cos cos 2αβ+=
，1
sin sin 3
αβ+=，则()cos αβ-=________. 三、解答题
21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间.
22．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.
（1）若D 是AB 中点，求AE 的值； （2）设AD x =，ED y =. ①求用x 表示y 的函数关系式；
②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？ 23．已知函数()2
2sin cos 2sin 1f x x x x =-+.
（1）求4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小正周期；
（3）求()f x 在区间,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值. 24．已知 3
sin 5
α=
，12
cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭ 求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 25．已知()()cos 0f x x ωω=>
（1）若f (x )的周期是π，求ω，并求此时()1
2
f x =的解集；
（2）若()()()2
1,2g x f x x f x πω⎛⎫
==+
-+ ⎪⎝⎭
，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.
26．设函数2
1
()sin cos 2
f x x x x ωωω=-的图象关于直线x π=对称，其中ω为
常数，且1,12ω⎛⎫∈
⎪⎝⎭
. （1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移10
π
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的
5
6
倍，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求实数k 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先用诱导公式化为5cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛
⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，再用二倍角公式计算．
【详解】
2
25521cos 2cos 212sin 1233639
a a πππα⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=+
=-+--⨯= ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
故选：D 2．D
解析：D 【分析】
利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】
因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()2
2sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5
α
，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，
所以4324
sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫==⨯
⨯-=- ⎪⎝⎭， 2
2
47cos 212sin 12525αα⎛⎫
=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
cos 211sin 2717
252425αα-
==--⎛⎫
- ⎪⎭
-⎝， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.
3．A
解析：A 【分析】
利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43
g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，然后令24,32x k k Z ππ
π+
=+∈求解. 【详解】 将函数()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再将所得图像向左平移12
π
个单位得到函数()22sin 43
g x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
， 令24,32
x k k Z ππ
π+
=+∈，
解得,424
k x k Z ππ
=
-∈， 所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24
x π
=-，
故选：A
4．C
解析：C 【分析】
根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移
3
π个单位，得到函数sin()3y x π
=+的图
象； 将sin()3
y x π
=+
的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到
1sin()23
y x π
=+的图象．
∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得
1
()sin 2
3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．
故选：C ．
5．C
解析：C 【分析】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，可求得3
62
k ω=+
，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3
x π
=
时，函数()f x 取得最大值，所以
23
2
k π
π
ωπ⋅=+
，k Z ∈.得
362
k ω=+，k ∈N .
因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-
⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上递减，所以312πππω≥+且
5123
πππ
ω≥-， 解得1205
ω<≤
.因此32ω=.
故选：C.
6．D
解析：D 【分析】
先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】
由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5
α
，3
cos 5α=-，故
229167
cos 2cos sin 252525
ααα=-=
-=-. 故选：D.
7．C
解析：C 【详解】
∵tan sin cos A B B <，∴
sin sin cos cos A B
B A
<，
若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，
若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，
,A B 是三角形内角，∴02
A B π
<+<
，从而()2
C A B π
π=-+>
，C 为钝角，三角形仍
然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由
sin sin cos cos A B
B A
<常常直接得
出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．
8．C
解析：C 【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】
解：由图象可得1A =，再根据3513
4362
T =-=，可得2T =， 所以22
π
ωπ=
=，
再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯
+=∈，求得6πϕ=-， 故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. 故选：C.
9．B
解析：B 【分析】
由正弦函数的性质可得1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】
由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦上单调递增，
∴
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ∴12(2)34
12(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩
，解得8831320k k k Z ωωω⎧
≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪
>⎪⎪∈⎩
，所以当0k =时，有102ω<≤，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：利用整体代入法得到
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.
10．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的性质，2()sin(
)03
3
f A π
π
ϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】
根据题意得，2()sin(
)03
3
f A π
πϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2π
ϕ<，进而
求得，3
π
ϕ=
，所以，()sin(2)3
f x A x π
=+
，令()f x A =，所以，sin(2)13x π
+=，
所以，2,3
2
x k k z π
π
π+
=
+∈，解得,k x k z 12
2
π
π
=
+
∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712
x π
= 故选D 【点睛】
关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，
sin(2)13
x π
+=，进而求解，属于中档题 11．D
解析：D 【分析】
通过参变分离转化为2cos 221cos 2sin tan
22
x x x a x x x ≤==-
，即min tan 2a x ⎛⎫
⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭. 【详解】
(
)cos f x x a x =+的最小值是a ，并且观察当0x =时，()0f a =，
所以当0,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
cos x a x a +≥恒成立，即(
)1cos a x x -≤，当
0x =时，a R ∈，
当0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，2cos
222sin tan 22
x x
a x ≤
==
恒成立，即min
tan 2a ≤ ⎪⎝⎭0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，tan 2x
的最大值是3
，所以tan 2x 的最小值是3，所以
3a ≤.
故选：D 【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；
分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.
12．D
解析：D
【分析】
根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】
()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期为2π，故B 不符合题意；
画出函数tan
2x y =的图象，易得函数tan 2
x
y =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛
⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭，周期为π，故D 符合题
意． 故选：D
二、填空题
13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数
解析：1 【分析】
利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：
2()sin 2cos21)f x x a x a x ϕ=+=++，根据已知可得π
8
x =
是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】
解：2()sin 2cos21)f x x a x a x ϕ=+=++， 其中2
2
sin tan 11a a
a
ϕϕϕ=
=
=++.
∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
成立，
∴π8x =
是f(x)的图象的对称轴，即π2,82
k k Z π
ϕπ⨯+=+∈, ∴,4
k k Z π
ϕπ=+
∈，
tan 1a ϕ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.
14．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0
解析：0 【分析】
由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】
由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=
sin cos 12a b αβ=++=，
所以sin cos 1αβ+=a b ，
所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=
sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.
故答案为：0.
15．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为： 解析：
1
2
【分析】
令()3
sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()1
2
g a =
，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】
令()3
sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.
()()312f a g a =+=，所以()1
2g a =，所以()()()1112
f a
g a g a -=-+=-+=.
故答案为：
1
2
16．【分析】根据诱导公式化为锐角后可求得结果【详解】故答案为：
解析：
3
【分析】
根据诱导公式化为锐角后可求得结果. 【详解】
tan 2010tan(5360210)=⨯+tan 210=3tan(18030)tan 30=+==。

17．【分析】先求出定点为再利用正切函数的两角和公式求解即可【详解】函数的图象过定点可得定点为又由角的终边过点且始边与轴的正半轴重合故答案为： 解析：
913
【分析】
先求出定点P 为(1,3)，再利用正切函数的两角和公式求解即可 【详解】
函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，可得定点P 为(1,3)，又由角α的终边过点
P ，且始边与x 轴的正半轴重合，3tan 31
α
，22tan 3
tan 21tan 4
ααα∴=
=--，
tan 2tan 9
tan 31tan 2tan 13
ααααα+=
=-
故答案为：
913
18．【分析】逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案【详解】故答案为： 解析：
725
【分析】
逆用诱导公式结合二倍角公式得出答案. 【详解】
27sin 2cos 2cos 212sin 24425πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
故答案为：
725
19．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-
【分析】
可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】
tan 3α=,
()2222
2sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα
-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-. 故答案为：4-.
20．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题 解析：5972
-
【分析】 将1cos cos 2αβ+=和1
sin sin 3
αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 由1cos cos 2
αβ+=两边同时平方可得22
1cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，
由1sin sin 3
αβ+=两边同时平方可得22
1sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，
两式相加可得
22221113
cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946
=3+αβαβαβαβ++++=
即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9
n 7i 52
αβαβαβ-=+=-
. 故答案为：59
72
- 【点睛】
本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式
()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 三、解答题
21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,
]()4
4
k k k Z π
π
ππ++∈ 【分析】
（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论.
【详解】
（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22
T π
π==，最大值为1； （2）由3222()2
2
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 解得
3()4
4
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44
k k k Z ππ
ππ++∈.
22．（1）43AE =；（2）①2,23y x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
；②//DE BC . 【分析】
（1）利用三角形的面积公式，得到4
3
AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；
（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x
==，求得2
23x ≤≤，在ADE 中，由余弦
定理，即可求得函数的解析式；
②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】
（1）依题意，可得21111
2sin 60sin 603322
ADE ABC S S AD AE ==⋅⋅⋅︒==⋅︒△△ 解得4
3
AD AE ⋅=
， 又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43
AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以44
33AE AD x
=
=， 因为2AE ≤，可得2
3x ≥
，所以223
x ≤≤， 在ADE 中，由余弦定理得
222222
164
2cos6093
y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+
-，
所以2,23y x ⎡⎤=
∈⎢⎥⎣⎦
.
②如果DE 是消防水管，可得y =≥=，
当且仅当2
43x =
，即3
x =，等号成立．
此时AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为DE =. 【点睛】
利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：
利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； 根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； 在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.
23．（1）1；（2）π；（3）. 【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值 （2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论； （3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论； 【详解】
（1）()2
2sin cos 2sin 1sin 2cos2f x x x x x x =-+=+
π
24x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
∴πππ1424f ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
或直接求2ππππ2sin cos 2sin 114444f ⎛⎫=-+=
⎪
⎝⎭
. （2）由（1）得，所以()f x 的最小正周期为2π
2π
π2
T ω
==
= （3）由（1）得，∵π
02x -≤≤，∴3πππ2444
x -≤+≤，
∴πsin 21,42x ⎡⎛
⎫+∈-⎢ ⎪⎝
⎭⎣⎦
当ππ242x +
=-，即3π
8
x =-时，()f x 取得最小值为. 【点睛】
关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解析式得到
()π
24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题
24．1665-
；3365；24
7
-
【分析】
由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及
tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.
【详解】
因为,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，3sin 5α=，
所以4cos 5α===-，
因为3,
2
πβπ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，12cos 13
，
所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365
αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=
⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533
cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫
⨯- ⎪
⎝⎭===--⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 综上所述：16sin()65αβ+=-
，33
cos()65αβ-=，24tan 27
α=-
. 25．（1）2ω=；{|,}6π
π=±∈x x k k Z ；（2）1
[-,1]2
. 【分析】
（1）由条件求出2ω=，然后可得答案；
（2）将()g x 化为()1
cos(2)32
g x x π=++，然后可算出其值域.
【详解】 （1）由2T π
πω
=
=得2ω=；
此时令1()cos22f x x ==
得223
x k ππ=±,6x k k Z π
π∴=±∈ 所求方程的解集为{|,}.6
x x k k Z π
π=±
∈
（2）(
)2
cos )cos()2
g x x x x π
=-+
2cos sin x x x =
1cos21
2cos(2)232
x x x π+=
=++ 4022
3
3
3x x π
π
π
π≤≤
∴
≤+
≤
1
1cos(2)32
x π∴-≤+≤ 11
cos(2)1
232x π∴-≤++≤
即()g x 的值域为1[-,1]2
26．（1）5
()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎢⎣⎦
.
【分析】
（1）由二倍角分式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的周期求得ω解析式；
（2）由图形变换得()g x 的解析式，求出()g x 在[0,]2
π
上的值域后可得k 的范围．
【详解】
（1）2
1()sin
cos 2
f x x x x ωωω=+-
2cos2sin 2226x x x ωωπω⎛
⎫=
-=- ⎪⎝
⎭ ∵图象关于直线x π=对称，∴2,6
2
k k Z π
π
πωπ-=
+∈
∴
123k ω=+，又1,12
ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
令1k =时，5
6
ω=
符合要求， ∴函数5
()sin 3
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭.
（2）将函数()f x 的图象向右平移
10π个单位长度后，得到函数5
sin 3
3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的
5
6
倍（纵坐标不变），得到函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.
当5012x π≤≤
，即2332x πππ
-≤-≤时，()g x 递增，(),12g x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
，
当5122x ππ
<≤，即22233x πππ<-≤时，()g x 递减，()2g x ⎫∈⎪⎣⎭
，
所以0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()2g x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
， 因为()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上实数解，
所以实数k 的取值范围是1,2⎡-⎢⎣⎦
.
【点睛】
方法点睛：本题考查二倍角公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象变换，正弦函数的性质，此类问题的解题方法是：利用二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦人（或余弦）公式化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x m ωϕ+++形式，然后利用正弦函数性质求解．。