高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 3.4.1 基本不等式的证明》7

第 4 周第 3 课时授课时间：20218 年 9 月 27 日〔星期四〕
§均值不等式第1课时
主讲人辽宁省辽阳市第一高级中学李晨
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握均值不等式中的不等号“≥〞取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究、抽象出均值不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学
【教学重点】
应用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索均值不等式的证明过程；
【教学难点】
均值不等式等号成立条件
【教学过程】
(一)创设情景提出概念
1问题一〔回忆旧知〕
例：证明不等式①〔教材68页习题3-1B 1〔2〕〕
②〔教材68页习题3-1B 1〔3〕变形〕
证明：①作差法
当且仅当时，等号成立
成立。

②作差法
，当且仅当时，等号成立。

成立
2问题二〔实例引入〕
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能从这个图案中的面积找出一些相等关系或不等关系吗？
〔二〕探究发现建构概念
探究图形中的不等关系
将图中的“风车〞抽象成如图的正方形〔教材72页习题3-2 A 1〕
问题一图中的面积和与正方形的面积大小有什么关系？
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当正方形逐渐向中心缩小，直到EFGH缩为一个点时，能得到结论：四个全等的直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时有。

在师生的共同研究探索后归纳出结论：
重要不等式：当且仅当时等号成立。

问题二如果，用分别代替中的可以得到什么结论？
由学生讨论后得出结论，当且仅当时等号成立。

通常写成的形式。

〔三〕多个角度证明概念
1．从几何图形的面积关系证明均值不等式
模仿探究发现中的证明方法，构造边长为的正方形的及其内部边长分别为的四个全等的直角三角形，从而的出结论。

2从不等式的性质推导证明均值不等式
证明：作差法
当且仅当时等号成立。

3从不等式几何意义证明均值不等式
在右图中，作线段，使得；以为直径作半圆；点是上的一点，过点作垂直于的弦，交于。

连接，那么，
当a≠b时，OC>CD，即
当a=b时，OC=CD，即
〔当D向O点移动时CD是逐渐变长了，当D,O重合时CD最长，并且a=b〕
所以当且仅当时等号成立。

〔教材70页〕
四例题讲解运用概念
例1：证明不等式①
②
证明：①当且仅当时等号成立；
当且仅当时等号成立；
成立当且仅当时等号成立；
②当且仅当时等号成立；
当且仅当时等号成立；
当且仅当时等号成立；
成立当且仅当时等号成立；
例2：：都是正数，
求证：
证明：都是正数
∴当且仅当时等号成立；
当且仅当时等号成立；
当且仅当时等号成立；
∴，当且仅当时等号成立；
即成立
变：①：都是正数
求证：
②：都是正数
求证：
五自我尝试检验概念
例：〔教材73页习题3-2B 1变形〕求证：
证明：乘积贴“1”，展开均值
法〔一〕
当且仅当即时等号成立；成立
法〔二〕
当且仅当即时等号成立；
成立
法〔三〕原式换“1〞，展开均值
当且仅当即时等号成立；成立
法〔四〕通分凑“1〞，展开均值
当且仅当即时等号成立；成立
问题：下面五个小题能用上面例题中的哪种方法解决？〔进一步强调均值定理“=〞成立的条件〕
〔课堂师生共同讨论，学生课下完成〕
变：①：求证：
②：求：的最小值
③：求：的最小值
④：求：的最小值
⑤：求：的最小值
[思考] :
求证:
问题：对原式的恰当变形，“凑〞出均值定理！
证明:法〔一〕
当且仅当即时等号成立；
成立
法〔二〕
当且仅当即时等号成立；
成立
六归纳总结升华概念
①知识总结:均值不等式及其成立的条件，及其均值定理的应用；
②思想总结：类比和数形结合的思想。

七课后练习稳固概念
根底题：教材第71页A组T 2
提高题：教材第72页A组T4
探究题：,求的最值
【授后记】。