正方形内的45°角

正方形内的45°角
例题：
（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．
【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）。

∴CE＝CF。

（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。

由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF。

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠ECF＝∠BCD＝90°。

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG（SAS）。

∴GE＝GF，
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。

（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。

又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形。

∴AG＝BC。

已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。

∴10=4+DG，即DG=6。

设AB ＝x ，则AE ＝x －4，AD ＝x －6，
在Rt △AED 中，∵DE 2=AD 2＋AE 2，即102=（x －6）2＋（x －4）2。

解这个方程，得：x =12或x =－2（舍去）。

∴AB =12。

∴ABCD 11S AD BC AB 6121210822=+⋅=⋅+⋅=梯形（）（）。

∴梯形ABCD 的面积为108。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。

【分析】（1）由四边形是ABCD 正方形，易证得△CBE ≌△CDF （SAS ），即可得CE =CF 。

（2）延长AD 至F ，使DF =BE ，连接CF ，由（1）知△CBE ≌△CDF ，易证得∠ECF =∠BCD =90°，又由∠GCE =45°，可得∠GCF =∠GCE =45°，即可证得△ECG ≌△FCG ，从而可得GE =BE +GD 。

（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，易证得四边形ABCG 为正方形，由（1）（2）可知，ED =BE +DG ，即可求得DG 的长，设AB =x ，在Rt △AED 中，由勾股定理DE 2=AD 2+AE 2，可得方程，解方程即可求得AB 的长，从而求得直角梯形ABCD 的面积。

练习
1、如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别和AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都将在点G 处，已知BE =1，则EF 的长为【 】 A ．32 B ．52 C ．94 D ．3
【答案】B 。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。

【分析】∵正方形纸片ABCD 的边长为3，∴∠C =90°，BC =CD =3。

根据折叠的性质得：EG =BE =1，GF =DF 。

设DF =x ，则EF =EG ＋GF =1＋x ，FC =DC －DF =3－x ，EC =BC －BE =3－1=2。

在Rt △EFC 中，EF 2=EC 2＋FC 2，即（x ＋1）2=22＋（3－x ）2，解得：3x 2
=。

∴DF =3
2 ，EF =1＋35=22。

故选B 。

2、如图11，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
G 图11
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长
EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
【答案】(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°
又∵AE＝AD，AF＝AD∴AE＝AF
∴四边形AEGF是正方形
(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x∵BD＝2，DC＝3∴BE＝2 ·，CF＝3
(3)∴BG＝x－2，CG＝x－3在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2
∴( x－2)2＋(x－3)2＝52化简得，x2－5x－6＝0解得x1＝6，x2＝－1（舍）
所以AD＝x＝6
3、（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF
∠的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，︒
AB=，点M，N是BD边上的任意两点，且
BAD，AD
∠90
=
MAN，将△ABM绕点A逆时针旋转︒
90至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的=
∠45
︒
数量关系，并说明理由．
A
B
C
F
D E G （图①）
A
D
B M N H
（图②）
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若4=EG ，
6=GF ，23=BM ，求AG ，MN 的长．
【答案】（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AG AB =，AE AE =，
∴△ABE ≌△AGE ． ∴GAE BAE ∠=∠．
同理，DAF GAF ∠=∠．∴︒=∠=∠452
1BAD EAF ．
（2）222DH ND MN +=．
∵DAH BAM ∠=∠，︒=∠+∠45DAN BAM ，
∴︒=∠+∠=∠45DAN DAH HAN ． ∴MAN HAN ∠=∠．
又∵AH AM =，AN AN =，∴△AMN ≌△AHN ． ∴HN MN =．
∵︒=∠90BAD ，AD AB =，
∴︒=∠=∠45ADB ABD ． ∴︒=∠+∠=∠90ADB HDA HDN ．
∴222DH ND NH +=． ∴222DH ND MN +=．
（3）由（1）知，EG BE =，FG DF =． 设x AG =，则4-=x CE ，6-=x CF ．
∵222EF CF CE =+， ∴22210)6()4(=-+-x x ． 解这个方程，得121=x ，22-=x （舍去负根）．
∴12=AG ．∴2122222==+=AG AD AB BD ．
在（2）中，222DH ND MN +=，DH BM =，
∴222BM ND MN +=．设a MN =，则222)23()23212(+--=a a ．
∴25=a ．即25=MN ．
【思路分析】（1）根据正方形的每个内角是直角，利用“HL ”证明△ABE ≌△AGE ，△AFG ≌△
AFD,从而得出12
EAF BAD ∠=∠；（2）利用旋转过程前后的两个图形全等，得到对应边、对应角相等，从而为证明△AMN ≌△AHN 做好了足够铺垫.将线段MN 的长转移为HN 的长，从而将三条线段集中于Rt △HDN 中.（3）利用（1）的结论求出AG 的长，进而得出BD 的长.利用（2）的结论求出MN 的长.
【方法规律】(1)当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三角形的A B C
F D E G
（图①） M
N
内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.（2）当条件中提供的边、角关系较多时一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间.
4、已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF=45°.
（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想.
（2）设BE=x ，DF=y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ），如图1，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围.
（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动.试判断以E 为圆心以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系.
（4）当点E 在BC 延长线上时，设AE 与CD 交于点G ，如图2.问⊿EGF 与⊿EFA 能否相似，若能相似，求出BE 的值，若不可能相似，请说明理由.
（1）猜想：EF=BE+DF .
证明：将⊿ADF 绕着点A 按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF ′，易知点F ′、B 、E 在一直线上.图1. ∵AF ′=AF ， ∠F ′AE =∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF ，
又 AE=AE ，∴⊿AF ′E ≌⊿AFE.∴EF=F ′E=BE+DF . （2）由（1）得 EF=x+y 又 CF =1-y ，EC =1-x ， ∴ ()()()2
2211y x x y +=-+-. 化简可得 ()1011<<+-=x x
x y . （3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知 EF=BE+DF ，故此时⊙E 与⊙F 外切；
②当点E 在点C 时，DF =0，⊙F 不存在.
③当点E 在BC 延长线上时，将⊿ADF 绕着点A 按顺时针方向旋转90°，得⊿ABF ′，图2. 有 AF ′=AF ，∠1=∠2，FD F B ='，∴∠F ′AF =90°. ∴ ∠F ′AE =∠EAF=45°. 又 AE=AE ，∴⊿AF ′E ≌⊿AFE. ∴ FD BE F B BE F E EF -='-='=.
∴此时⊙E 与⊙F 内切. 综上所述，当点E 在线段BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点E 在BC 延长线上时，⊙E 与⊙F 内切.
（4）⊿EGF 与⊿EFA 能够相似，只要当∠EFG =∠EAF=45°即可.这时有 CF=CE.
设BE=x ，DF=y ，由（3）有EF=x- y .由 222EF CF CE =+，得
图2图1G
F E D C B A 45°
45°F E D C B A
()()()22211y x y x -=++-. 化简可得 ()11
1>+-=x x x y . 又由 EC=FC ，得 y x +=-11，即1
111+-+=-x x x ，化简得 0122=--x x ， 解之得 21,2121-=+=x x （不符题意，舍去）. ∴所求BE 的长为21+.
5、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：
如图1，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90º，小敏将一块三角板中含45º角的顶点放在点A 处，从AB 边开始绕点A 顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．
(1)小敏在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠MAB ，则AE 也平分∠MAC ．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0º＜α≤45º时，小敏在旋转的过程中发现线段BD 、CE 、DE 之间存在如下等量关系：BD 2＋CE 2＝DE 2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的方法：将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，连接EF (如图2)；
小亮的方法：将△ABD 绕点A 逆时针旋转90º得到△ACG ，连接EG (如图3)．
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45º＜α≤135º且α≠90º时，等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2仍然成立．现请你继续探究：当135º＜α＜180º时(如图4)，等量关系BD 2＋CE 2＝DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90º，∠DAE ＝∠DAM ＋∠MAE ＝45º，∴∠BAD ＋∠EAC ＝45º。

又∵AD 平分∠MAB ，∴∠BAD ＝∠DAM 。

∴∠MAE ＝∠EAC 。

∴AE 平分∠MAC 。

（2）证明小颖的方法：
∵将△ABD 沿AD 所在的直线对折得到△ADF ，∴AF ＝AB ，∠AFD ＝∠B ＝45º，∠BAD ＝∠FAD 。

又∵AC =AB ，∴AF ＝AC 。

由（1）知，∠FAE ＝∠CAE 。

在△AEF 和△AEC 中，∵AF ＝ AC ，∠FAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，
∴△AEF≌△AEC（SAS）。

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。

∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

（3）当135º＜α＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。

证明如下：
如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。

∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。

又∵AC=AB，∴AF＝AC。

又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD
＝45º＋∠FAD＝∠FAE。

在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS）。

∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。

又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，
∴∠FAG＝∠BEG。

又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝1
2（∠ADB＋∠DAB）＝1
2
∠ABC＝90º。

∴∠DFE＝90º。

在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。

【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。

【分析】（1）由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。

（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中应用勾股定理而证明。

小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明。

（3）当135º＜α＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。

仿（2）证明即可。

6、问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD=2∠EA F关系时，仍有EF=BE+FD．
【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，
=1.73）
【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=80米．根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAG=∠BAD=150°，∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，，∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
7、小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．
(1)∠B+∠D=180°（或互补）；(2)．
试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°
(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．
(1)∠B+∠D=180°（或互补）．
(2)∵ AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．
∴ EC2+CG2=EG2．
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．
又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED ．∴DE=EG．又∵CG=BD,
∴ BD2+EC2=DE2．∴．
8、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将
（1）EA是∠QED的平分线；
（2）EF2 =BE2+DF2.。