线性系统带复数约旦型的实数化

讨论A矩阵有多个高阶约旦块时，其实数化的过程。

(对某一特征根而言，代数重数就是该特征根的重数；几何重数就是该特征根所对应的特征向量数，例如系统矩阵A有两重特征根-1，即代数重数为2，但是它只能算出一个特征向量，即几何重数为1，那么另外一个特征向量就需要使用广义特征向量来求得。

)
在实际的系统矩阵向约旦标准型的转化过程中，由于实数方阵的特征值可能为复特征值，那么同样在转化矩阵Q和它的约旦标准型中也存在着复数项。

而这种带复数项的约旦标准型在实际的系统中是物理不可实现的。

这就需要把带复数项的约旦标准型想办法转化为实数矩阵。

由于带复数的特征值都是以共轭的形式出现。

如：α+jβ和α−jβ，那么它们的特征向量也是共轭的。

即α+jβ对应的特征向量是q=u+jv，那么q=u−jv必是α−jβ的特征向量。

因此只需要想办法把约旦标准型的实部和虚部分解并消除虚部即可。

设n阶方阵A有下列特征值：
λ
i =α
i
+jβ
i
λ
i+1=α
i+1
−jβ
i+1
i=1、3、5⋯m−1
和λ
i
i=m、m+1⋯n，其对应的特征向量为：
u i+jv i和u i−jv i i=1、3、5⋯m−1
q i i=m、m+1⋯n
其约旦标准型为：
J=λ
1
λ
2
⋱
λm−1
⋱
λn
6-1
取Q=u1,v1,u2,v2⋯u m−1,v m−1,q m⋯q n，则
Q−1AQ=J1
⋱
J m−1
λm
⋱
λn
6-2
J i=
αiβi
−βiαi i=1、3、5⋯m−1
当A矩阵的特征根的代数重数大于1，且其代数重数不等于几何重数，那么：
Q−1AQ=J1I
⋱
J p I
λP+1
⋱
λu
6-3
所有特征根的代数重数之和等于n，I=1
1
或1。

这样就可以把A矩阵的约旦标准型实数化。