2020届南京盐城一模数学试卷及答案

2020届南京盐城一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体体积公式：V ＝Sh ，锥体体积公式：V ＝1
3Sh ，其中S 为底面积，h 为高．
样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1
n
(x i －x)2，其中x ＝.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知集合A ＝(0，＋∞)，全集U ＝R ，则∁U A ＝________． 2. 设复数z ＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则z·z ＝________．
3. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为________．
4. 命题“∀θ∈R ，cos θ＋sin θ>1”的否定是________命题．(填“真”或“假”)
5. 运行如图所示的伪代码，则输出的I 的值为________．
6. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是9，且xy ＝110，则样本的方差是________．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 上的点P 到其焦点的距离为3，则点P 到点O 的距离为________．
8. 若数列{a n }是公差不为0的等差数列，ln a 1、ln a 2、ln a 5成等差数列，则a 2
a 1
的值为
________．
9. 在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，P 是棱CC 1上的一点，记三棱柱ABC-A 1B 1C 1与四棱锥
P-ABB 1A 1的体积分别为V 1与V 2，则V 2
V 1
＝________．
10. 设函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象与y 轴交点的纵坐标为3
2
，y 轴右侧第一个最低点的横坐标为π
6
，则ω的值为________．
11. 已知H 是△ABC 的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，AH →＝14AB →＋12
AC →
，则cos
∠BAC 的值为________．
12. 若无穷数列{cos(ωn)}(ω∈R )是等差数列，则其前10项和为________． 13. 已知集合P ＝{(x ，y)|x|x|＋y|y|＝16}，集合Q ＝{(x ，y)|kx ＋b 1≤y ≤kx ＋b 2}，若P ⊆Q ，则|b 1－b 2|
k 2＋1
的最小值为________．
14. 若对任意实数x ∈(－∞，1]，都有⎪⎪⎪
⎪e x x 2－2ax ＋1≤1成立，则实数a 的值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．
15. (本小题满分14分)
已知△ABC 满足sin ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
6＝2cos B. (1) 若cos C ＝
6
3，AC ＝3，求AB 的长； (2) 若A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，且cos(B －A)＝4
5
，求sin A 的值．
16. (本小题满分14分) 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是正方形，P 是侧棱CC 1上的一点．
(1) 若AC 1∥平面PBD ，求PC 1
PC
的值；
(2) 求证：BD ⊥A 1P.
如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做法是从⊙O中裁剪出两块全等的圆形铁皮⊙P与⊙Q做圆柱的底面，裁剪出一个矩形ABCD 做圆柱的侧面(接缝忽略不计)，AB为圆柱的一条母线，点A、B 在⊙O上，点P、Q在⊙O 的一条直径上，AB∥PQ，⊙P、⊙Q分别与直线BC、AD相切，都与⊙O内切．
(1) 求圆形铁皮⊙P半径的取值范围；
(2) 请确定圆形铁皮⊙P与⊙Q半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)
设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率是e ，动点P(x 0，y 0)
在椭圆C 上运动．当PF 2⊥x 轴时，x 0＝1，y 0＝e.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 延长PF 1，PF 2分别交椭圆C 于点A ，B(点A ，B 不重合)．设AF 1→＝λF 1P →，BF 2→＝μF 2P →
，求λ＋μ的最小值．
定义：若无穷数列{a n }满足{a n ＋1－a n }是公比为q 的等比数列，则称数列{a n }为“M(q)数列”．设数列{b n }中b 1＝1，b 3＝7.
(1) 若b 2＝4，且数列{b n }是“M(q)数列” ，求数列{b n }的通项公式；
(2) 设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＋1＝2S n －1
2
n ＋λ，请判断数列{b n }是否为“M(q)
数列”？并说明理由；
(3) 若数列{b n }是“M(2)数列”，是否存在正整数m ，n ，使得4 0392 019<b m b n <4 040
2 019
若存在，
请求出所有满足条件的正整数m ，n ；若不存在，请说明理由．
若函数f(x)＝e x －ae －
x －mx(m ∈R )为奇函数，且当x ＝x 0时，f(x)有极小值f(x 0)． (1) 求实数a 的值；
(2) 求实数m 的取值范围；
(3) 若f(x 0)≥－2
e
恒成立，求实数m 的取值范围．
2020届高三年级第一次模拟考试(一)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知圆C 经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 33－2变换后得到圆C′：x 2＋y 2＝13，求实数a 的值．
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，直线ρcos θ＋2ρsin θ＝m 被曲线ρ＝4sin θ截得的弦为AB ，当AB 是最长弦时，求实数m 的值．
C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋2b ＋3
c
＝1，求a ＋2b ＋3c 的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，A 1B 1、AB 分别经过上、下底面圆的圆心O 1、O ，CD 是下底面与AB 垂直的直径，CD ＝2.
(1) 若AA 1＝3，求异面直线A 1C 与B 1D 所成角的余弦值；
(2) 若二面角A 1CDB 1的大小为π
3
，求母线AA 1的长．
23. (本小题满分10分)
设＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n (n ∈N *)，记S n ＝a 0＋a 2＋a 4
＋…＋a 2n .
(1) 求S n ；
(2) 记T n ＝－S 1C 1n ＋S 2C 2n －S 3C 3n ＋…＋(－1)n S n C n n ，求证：|T n |≥6n 3恒成立．
数学参考答案
1. (－∞，0]
2. 5
3. 23
4. 真
5. 6
6. 2
7. 23
8. 3
9. 23 10. 7 11. 3
3 12. 10
13. 4 14. －1
2
15. (1) 由sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2cos B ，知32sin B ＋1
2cos B ＝2cos B ， 移项可得tan B ＝3，又B ∈(0，π)， 故B ＝π
3.
又由cos C ＝
63，C ∈(0，π)，知sin C ＝1－cos 2C ＝33
，
故在△ABC 中，由正弦定理
b sin B ＝
c sin C ，得 AC sin π3
＝AB sin C
， 所以AB ＝2. (2) 由(1)知B ＝π
3
，
所以当A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，π
3
－A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 由cos(B －A)＝45
，即cos ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝4
5，得sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π3－A ＝3
5
， 所以sin A ＝sin[π3－(π3－A)]＝sin π3·cos(π3－A)－cos π3sin(π3－A)＝32×45－12×35＝43－3
10.
16. (1) 连结AC 交BD 于点O ，连结OP.
因为AC 1∥平面PBD ，AC 1⊂平面ACC 1，平面ACC 1∩平面BDP ＝OP ， 所以AC 1∥OP.
因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ， 所以O 是AC 的中点，所以AO ＝OC ， 所以在△ACC 1中，PC 1PC ＝AO
OC
＝1.
(2) 连结A 1C 1.
因为ABCDA 1B 1C 1D 1为直四棱柱， 所以侧棱C 1C ⊥底面ABCD. 又BD ⊂平面ABCD ， 所以CC 1⊥BD.
因为底面ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD.
又AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂平面ACC 1A 1, CC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BD ⊥平面ACC 1A 1.
又因为P ∈CC 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以P ∈平面ACC 1A 1.
又因为A 1∈平面ACC 1A 1，
所以A 1P ⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥A 1P.
17. (1) 设⊙P 的半径为r ，则AB ＝4(2－r)， 所以⊙P 的周长2πr ＝BC ≤216－4（2－r ）2，
解得 r ≤16
π2＋4
，
故⊙P 的半径的取值范围为⎝⎛⎦
⎤0，16
π2＋4.
(2) 在(1)的条件下，油桶的体积V ＝πr 2·AB ＝4πr 2(2－r). 设函数f(x)＝x 2(2－x)，x ∈⎝⎛⎦
⎤0，16
π2＋4，
所以f′(x)＝4x －3x 2. 因为
16π2＋4<4
3
， 所以f′(x)>0在定义域上恒成立， 故函数f(x)在定义域上单调递增，
即当r ＝16
π2＋4时，体积取得最大值.
18. (1) 由当PF 2⊥x 轴时x 0＝1，可知c ＝1. 将x 0＝1，y 0＝e 代入椭圆方程得1a 2＋e 2
b
2＝1，(※)
而e ＝c a ＝1a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2－1，代入(※)式得1a 2＋1a 2（a 2－1）＝1，
解得a 2＝2，所以b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2) 方法一：设A(x 1，y 1)．
由AF 1→＝λF 1P →
，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 1＝λ（x 0＋1），－y 1＝λy 0，
故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－λx 0－λ－1，
y 1＝－λy 0
， 代入椭圆的方程得（－λx 0－λ－1）22
＋(－λy 0)2＝1. ①
又由x 202＋y 20＝1，得y 20＝1－x 202，代入①式得(λx 0＋λ＋1)2＋2λ2⎝⎛⎭⎫1－12x 20＝2， 化简得3λ2＋2λ－1＋2λ(λ＋1)x 0＝0，即(λ＋1)·(3λ－1＋2λx 0)＝0，显然λ＋1≠0，
所以3λ－1＋2λx 0＝0，
故λ＝1
3＋2x 0.
同理可得u ＝1
3－2x 0，
故λ＋μ＝
13＋2x 0＋13－2x 0＝69－4x 20≥23
，当且仅当x 0
＝0时取等号，故λ＋μ的最小值为2
3. 方法二：由点A ，B 不重合可知直线PA 与x 轴不重合，故可设直线PA 的方程为x ＝my
－1，。