北师大版数学八年级下册 4.3公式法(2)用完全平方公式因式分解课件
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4.3
——用完全平方公式因式分解
课前复习：1、因式分解学了哪些方法？
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习 把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1) （一提二套。）
② x4-16
(m n 3)2
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确定 中间项的符号。
例题
(3) 3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2若多项式中有公因式，
应先提取公因式，然
(4) -x2-4y2＋4xy 后再进一步分解因式。 解：原式 (x2 - 4xy 4y2 )
a2 2ab b2 形如 a2 2ab b2 的多项式称为完全平方式.
9x2 6x 1 (3x)2 2 (3x) 112 (3x 1)2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式的多项式
完全平方式的特点：
1、必须是三项式；
2、有两个同号的平方项；
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）。
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
1．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x2 y2；不是 (2) x2 2xy y2； 是 (3) x2 2xy y2； 是 (4) x2 2xy y2； 不是 (5) x2 2xy y2．是
(2) a2 ab 1 b2 4
平方项有负先提 负
(3) x2 4xy 4 y2
(4) 3ax2 6axy 3ay2
若多项式中有公因 式，应先提取公因 式，然后再进一步
分解因式。
做一做:分解因式课内练习T1：
(1) 9a2 6ab b2 (2) 49b2 a2 14ab (3) a2 10a 25 (4) 4ab2 -4a2b-b3
2.判别下列各式是不是完全平方式？若是，说出
相应的
各表示什么？
是
不是 不是
不是
是
是
3.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(±12ab) (±4xy)
y2
例题 (1) x2＋14x＋49
解：原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
(2)(m n)2 6(m n) 9
解：原式 (m n)2 2 (m n) 3 32
如何运用完全平方公式进行因式分解呢？
9x2 6x 1 (3x)2 2(3x)112 (3x 1)2 对照公式填一填
16x2+40x+25= (4x)2+2(4x)(5)+( 5)2 =( 4x + 5 )2
4 m2 4 mn n2 =(
93
)2- 2( )(n)+(n )2 =(
- n )2
[x2 2 x (2y) (2y)2 ]
(x 2 y)2
P102随堂练习1
2. 把下列各式分解因式：
小结：
一、完全平方式的特点： 1、是一个二次三项式；
2、有两个“项”平方,而且有这两
“项”的积的两倍或负两倍；
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解。
二、因式分解的基本思路
因式分解多项式；先看有无公因式。 两项三项用公式；辨明是否标准式。
P103习题4.5 （第1、2题）
3.按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 +( -rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例1：把下列各式分(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2) （因式分解要彻底。）
课前复习：
2.除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
例2：因式分解：
(1) x4 18 x2 81
把2x＋y看做 a2－2ab＋b2 中的字母“a” 即设a＝ 2x＋y ， 这种数学思想称
为换元思想
(2) (2x y)2 6(2x y) 9
思考：(m n)2 2(m n)n n2
练习：因式分解：
（1）-a²+8a-16
(2) a(9a-6b)+b2 （3）（a-b)2-10(a-b)+25 (4) (4x2+1)2-16x2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
完全平方公式：
整式乘法
(a+b)2 = a²+2ab+b²
因式分解
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
提高拓展： 用简便方法计算：
（1）20052 4010 2003 20032
（2）992 199
挑战1：
将 4x2 1
再加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法？
一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取 何值,这个代数式的值都是正值,你 不信试一试?”
4x2 8x 11 4x2 8x 4 7 4(x2 2x 1) 7 4(x 1)2 7
挑战2：
1、已知x2+y2+6x-4y+13=0.则xy= 。
2、多项式: (x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解 吗?
[（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2
——用完全平方公式因式分解
课前复习：1、因式分解学了哪些方法？
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法： ① a2-b2=(a+b)(a-b)
练习 把下列各式分解因式
① ax4 ax2
解:原式=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1) （一提二套。）
② x4-16
(m n 3)2
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确定 中间项的符号。
例题
(3) 3ax2＋6axy＋3ay2
解：原式 3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2若多项式中有公因式，
应先提取公因式，然
(4) -x2-4y2＋4xy 后再进一步分解因式。 解：原式 (x2 - 4xy 4y2 )
a2 2ab b2 形如 a2 2ab b2 的多项式称为完全平方式.
9x2 6x 1 (3x)2 2 (3x) 112 (3x 1)2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式的多项式
完全平方式的特点：
1、必须是三项式；
2、有两个同号的平方项；
3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）。
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
1．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x2 y2；不是 (2) x2 2xy y2； 是 (3) x2 2xy y2； 是 (4) x2 2xy y2； 不是 (5) x2 2xy y2．是
(2) a2 ab 1 b2 4
平方项有负先提 负
(3) x2 4xy 4 y2
(4) 3ax2 6axy 3ay2
若多项式中有公因 式，应先提取公因 式，然后再进一步
分解因式。
做一做:分解因式课内练习T1：
(1) 9a2 6ab b2 (2) 49b2 a2 14ab (3) a2 10a 25 (4) 4ab2 -4a2b-b3
2.判别下列各式是不是完全平方式？若是，说出
相应的
各表示什么？
是
不是 不是
不是
是
是
3.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
(±12ab) (±4xy)
y2
例题 (1) x2＋14x＋49
解：原式 x2 2 x 7 72
(x 7) 2
(2)(m n)2 6(m n) 9
解：原式 (m n)2 2 (m n) 3 32
如何运用完全平方公式进行因式分解呢？
9x2 6x 1 (3x)2 2(3x)112 (3x 1)2 对照公式填一填
16x2+40x+25= (4x)2+2(4x)(5)+( 5)2 =( 4x + 5 )2
4 m2 4 mn n2 =(
93
)2- 2( )(n)+(n )2 =(
- n )2
[x2 2 x (2y) (2y)2 ]
(x 2 y)2
P102随堂练习1
2. 把下列各式分解因式：
小结：
一、完全平方式的特点： 1、是一个二次三项式；
2、有两个“项”平方,而且有这两
“项”的积的两倍或负两倍；
3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解。
二、因式分解的基本思路
因式分解多项式；先看有无公因式。 两项三项用公式；辨明是否标准式。
P103习题4.5 （第1、2题）
3.按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 +( -rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例1：把下列各式分(x2+4)(x2-4)
=(x2 +4)(x+2)(x-2) （因式分解要彻底。）
课前复习：
2.除了平方差公式外，还学过了哪些公式？
完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
(a b)2 a2 2ab b2
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
例2：因式分解：
(1) x4 18 x2 81
把2x＋y看做 a2－2ab＋b2 中的字母“a” 即设a＝ 2x＋y ， 这种数学思想称
为换元思想
(2) (2x y)2 6(2x y) 9
思考：(m n)2 2(m n)n n2
练习：因式分解：
（1）-a²+8a-16
(2) a(9a-6b)+b2 （3）（a-b)2-10(a-b)+25 (4) (4x2+1)2-16x2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
完全平方公式：
整式乘法
(a+b)2 = a²+2ab+b²
因式分解
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
提高拓展： 用简便方法计算：
（1）20052 4010 2003 20032
（2）992 199
挑战1：
将 4x2 1
再加上一项，使它成为完全平方式，你有几种方法？
一天,小明在纸上写了一个算式为 4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取 何值,这个代数式的值都是正值,你 不信试一试?”
4x2 8x 11 4x2 8x 4 7 4(x2 2x 1) 7 4(x 1)2 7
挑战2：
1、已知x2+y2+6x-4y+13=0.则xy= 。
2、多项式: (x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解 吗?
[（x+y）-（x-y）]2=（2y）2=4y2