数学万花筒(15)和差与积的互化与“裂项相消”求和

数学万花筒(15)和差与积的互化与“裂项相消”求和
“裂项相消法”是数列求和中重要且常用的方法，在三角函数式的化简过程中，我们也会用到此种方法，其关键就是要将其中每一项都变成“两项之差”，这就要用到“积化和差”公式.下面我们先推导一下和差与积的互化公式.将两角和与差的正(余)弦公式：
sin()=sin cos+cos sin. ①sin()=sin cos-cos sin. ②
cos()=cos cos-sin sin. ③cos()=cos cos+sin sin. ④
①+②sin cos =[sin()+ sin()]；
①-②cos sin =
③+④cos cos =
③-④sin sin =
这就是积化和差公式.
sin cos=[sin()+ sin()]；
cos sin=
cos cos=
sin sin=
在①、②、③、④中令，得，
sin=sin cos+cos sin. ⑤sin=sin cos cos sin. ⑥
cos=cos cos-sin sin. ⑦cos=cos cos+sin sin. ⑧
仿上用加减消元法可得和差化积公式.
sin sin=sin；
sin sin=cos；
cos cos=cos；
cos cos=sin；
利用和差与积的互化公式可以完成一些三角和式的化简.
例1.化简：(1)sin+sin2+sin3++sinn；(2) cos+cos2+cos3++cosn.
解:(1)原式=
=
=)]=
=.
(2)原式=
=
=]=
=.
例2. 求证：tan x·tan2x+tan2x·tan3x+…+tan(n-1)x·tannx=
解：∵，
∴左边=
=右边，∴tan x·tan2x+tan2x·tan3x+…+tan(n-1)x·tannx=。