菱形性质

面
积
1、底乘以高 2、 1 ab （a，b表示两条对角线的长度） S
2
例1。 如图3个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶 点A、E、F、C、G、H是上、下两排挂钩，根据需 要可以改变挂钩之间 的距离(比如AC两点可以自由 上下活动)，若菱形的边长为13厘米，要使两排挂 钩之间 的距离为24厘米，并在点B、M处固定，则 B、M之间的距离是多少？
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积
解:∵花坛ABCD是菱形
∴AC⊥BD, ∠ABO= 在Rt△OAB中 BO=
1 ,AO=AB=2 1 2
∠ABC=300 ×20=10(m),
A B
O
AB 2 AO 2 =
D C A B
O
轻松过关
1.菱形具有而矩形不一定有的性质是 ( ) (A) 对角线互相平分 (B) 四条边都相等
(C) 对角相等
(D) 邻角互补
2.已知:如图,在菱形ABCD中,直线AE交边BC于 点E ，直线 AF交CD于点F。请你添加一个条 A 件： ， 使得△ABE≌△ADF。
B E C F D
A
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
B
O E
C
D
S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它 的面积吗?
S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD
=
1 2
AC×BD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______.
同理：AC平分∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A 菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
5
1 2
6
O
7 8
3 4
C
B
角Байду номын сангаас
菱形的邻角互补
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
对称性
菱形的两条对角线互相平分 ∴ ∴∴ ∠DAB=∠DCB ∠DAB+∠ABC= 180° ∴∴ AC⊥BD OA=OC;OB=OD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，AB=BC=CD=DA ∴ AD ∥BC ∠ADC=∠ABC ∠1=∠2 每一条对角线平分一组对角。 ∠3=∠4 AB ∥ CD ∠5=∠6 菱形是轴对称图形，有2条对 ∠7=∠8
特殊的平行四边形
-----菱形（1）
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平 行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
2000多年前……
B E C M F D
1个定义
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
• 1 课后作业：P110 • 2 创新设计练习册
课后作业:
AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
每一条对角线平分一组对角。 D
5 6
A
1 2
9 10
o O
3 4
C
7 8
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AD=AB,OD=OB 又∵ AO = AO
B ∵ △AOD ≌ △AOB
∴△AOD ≌ △AOB ∴∠9=∠10 又∵ ∠9+∠10= 180° ∴ ∠9=∠10= 90° ∴ AC⊥BD
∴∠1=∠2 ∴ AC平分∠DAB 同理：∠3=∠4 ∴ AC平分∠DCB
同理：∠5=∠6 ， ∠7=∠8
∴ BD平分∠ADC和∠ABC
已知:四边形ABCD是菱形 求证:AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB A BD平分∠ADC和∠ABC
证明2： ∵四边形ABCD是菱形
D
O
O
B
C
∴AB=AD,（菱形的定义） OD=OB （平行四边形的对角线互相平分） ∴ AC⊥BD ,AC平分∠DAB (为什么?)
20 2 10 2 ≈17.32(m).
∴花坛的两条小路长 AC=2AO=20(m), BD=2BO ≈34.64(m). 花坛的面积
D
C
S菱形ABCD=4× S △OAB=AC×BD
≈346.40(m2).
例题解析
菱形性质的应用
A
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱 形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形, B 0,DE 1 BD 1 10 5cm. ∴∠AED=90
A
C
B C
D
D
O A
B
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积 为 96 ，边长为 10 ，周长为 40 。
小试牛刀
（3）在菱形ABCD中∠BAC=30°， BD=6㎝，则 ∠BAD= 60 ° , ∠ABD= 60 ° , AB= 6㎝ .
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形 的所有性质. 菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条 对角线所在的直线.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A D
B
C
菱 形 的 性 质 2 ： 菱形的两条对角线互相垂直， 已知:四边形ABCD是菱形 求证:AC⊥BD，
A D B C G F H M
C
E
F
B O D
A
已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F,G,H 是各边的中点,点O是对角线的交点. A 求证:OE=OF=OG=OH;
E B F C O G H D
1.已知菱形的周长是12，那么 它的边长是( ).
A
D O C
2.菱形ABCD中,对角AC=6, BD=8,则菱形的周长=( ), B 面积=( ). 3.菱形ABCD中,O是两条对角线的 交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求 两对角线AC、BD的长。 有关菱形问题可转化为直角三角形 或等腰三角形的问题来解决
解： ∵四边形ABCD是菱形，
D
O
C B
A 2 E
（3）
（2） ∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4 在Rt△DAE中,由勾股定理得 ∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB DE= AD 2 AE 2 42 22 ∵ DB=4 ∴ 0B=2 ∴ 在Rt△AOB中,由勾股定理得 AO= =2 3


菱形的面积等于两条 对角线乘积的一半
4、已知如图，菱形ABCD中，E是AB 的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
D
O
C
A
E
B
∴AD=AB （1） ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线） ∴AD=AB=BD ∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
挑战自我
已知,在菱形ABCD中,∠BAD= 120 0 ,现将一块含60 0 角的三角尺AMN(其中∠NAM= 60 0 )叠放在菱形上,然 后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于 点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有着怎样的数量 关系?请你通过动手操作、度量、猜想、验证等方法 A 予以探索。
A
D O C
2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 则∠BAC＝_______。
B
3、菱形的两条对角线长分别为6cm 3 和8cm，则菱形的边长是（ C ） A 4 O
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
D C
B
小试牛刀
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= 60 °, 30 ° △ABC是 等边 三角形，∠ABD的度数为________ 。
∴ S菱形ABCD=4×2 3
3
AB BO 4 2 2
2 2 2 2
=8 3
∴ AC=4
3
归纳小结,提炼知识 用列表形式小结出菱形的性质 菱 形 边 对称性 角 对角线 对角线互相垂直 对角线互相平分 每一条对角线 平分一组对角
性 质
对边 平行
四条边 都相等
中心对 称图形 对角 相等 轴对称 图形
A
B
O
D
C
如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC，BD相 交于点O。 (1)图中有哪些线段是相 D 等的？哪些角是相等的？ (2)图中有哪些等腰三角 O A C 形、直角三角形？ (3)两条对角线AC，BD有 B 什么特定的位置关系？ (4) 那么，菱形是轴对称图形吗？如果是，它 有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
一把埋藏在地下的古剑，出土时 依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无 比，稍一用力，便可将多层白纸划 破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗 花纹——越王勾践剑
如何利用折纸、剪切的方法， 既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对 折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道 其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
AE
2 2 AD2 DE 2 132 52 12cm.
E
D
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
C
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积
1 BD AE 2 1 2 10 12 120 cm2 . 2 2
= =
称轴，是两条对角线所在的 直线。
说说理由
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB∥CD ( AB=BC=CD=DA ( OA=OC，OB=OD ( AC⊥BD (
2
D
A O C
) ) )
)
B
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD 1 1 = ∠ADC= ∠ABC ( )
2
【菱形的面积公式】