湖北省荆门市2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析

湖北省荆门市2021届新高考数学仿真第四次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
【答案】C
【解析】
【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】 由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）
A ．21y x =+
B ．x x y e e -=-
C ．lg y x =
D ．y = 【答案】C
【解析】
试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
3．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()
U A B =I ð（ ）
A ．()0,3
B ．[)2,3
C ．()0,2
D ．()0,∞+ 【答案】B
【解析】
【分析】
可解出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】 {}
()2300,3B x x x =-<=Q ，{}2A x x =<，则[)2,U A =+∞ð，因此，()[)2,3U A B =I ð.
【点睛】
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
4．已知函数()2ln e x f x x =
，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．3(0,)4
B
． C
．3)4 D
． 【答案】C
【解析】
【分析】
求导，先求出()f x
在(x ∈
单增，在)x ∈
+∞
单减，且max 1()2f x f ==知设()f x t =，则方程21[()]()08
f x mf x -+=有4个不同的实数根等价于方程 2108
t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得. 【详解】 依题意，243
2ln (12ln )()e x xe x e x x f x x x '⋅--==， 令()0f x '=，解得1ln 2
x =
，x =
x ∈时，()0f x '>，
当)x ∈+∞，()0f x '<
，且ln 12e f e =
=， 故方程2108
t mt -+=在1(0,)2上有两个不同的实数根， 故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，2102110824
01m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪⎩
解得3,)24
m ∈. 故选：C.
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则()2019f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1．
【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-；
∴(2)()()f x f x f x +=-=-；
∴(4)()f x f x +=；
∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x f x m =-；
∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=；
∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来
求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题.
6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3
cm）为（）
A．16 3
B．6 C．
20
3
D．
22
3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【详解】
如图,该几何体为正方体去掉三棱锥111
B A
C E
-,
所以该几何体的体积为：
111
1111
1122
222221
323
B A
C E
ABCD A B C D
V V V
-
-
=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=,
故选：D
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.
7．己知函数
sin,2,2(),
222
3
sin,2,2(),
222
x x k k k z
y
x x k k k z
πππ
ππ
πππ
ππ
⎧⎛⎫⎡⎫
+∈-+∈
⎪⎪
⎪⎢
⎪⎝⎭⎣⎭
=⎨
⎛⎫⎡⎫
⎪-+∈++∈
⎪⎪
⎢
⎪⎝⎭⎣⎭
⎩
的图象与直线(2)(0)
y m x m
=+>恰
有四个公共点()()()()
11123344
,,,,.,,,
A x y
B x y
C x y
D x y，其中
1234
x x x x
<<<，则()
44
2tan
x x
+=（）A．1-B．0 C．1 D．
2
2
2
+
【答案】A
【解析】
【分析】
先将函数解析式化简为|cos |y x =，结合题意可求得切点4x 及其范围4,2x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，根据导数几何意义，即可求得()442tan x x +的值.
【详解】 函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩
即|cos |y x =
直线(2)(0)y m x m =+>与函数|cos |y x =图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)
y m x m =+>与函数cos y x =-相切于4x ，4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 因为sin y x '=， 故444cos sin 2
x k x x -==+， 所以()()()()
4444444sin 1221c 2tan os 2x x x x x x x -+⨯
=+⨯=-++=. 故选：A.
【点睛】 本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 8．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)(0,1)-U
B ．(,1)(1,)-∞-+∞U
C ．(1,0)(1,)-??
D ．(,1)(0,1)-∞-U 【答案】D
【解析】
构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x =+
， 由()()1'f x lnx f x x
<-可得()'0g x <，
则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数，
且()()1ln110g f =⨯=，
当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0;
当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0
∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0
∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.
综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃.
本题选择D 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 9．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位）
，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4 B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限
C ．z 的共轭复数42z i =-
D ．z =【答案】D
【解析】
【分析】
利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案.
【详解】
因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i i
z ⨯++++====-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共
轭复数为42z i =--，C 错误；z ==D 正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
10．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ）
A ．（﹣1，3]
B ．[﹣1，3]
C ．{0，1，2，3}
D ．{﹣1，0，1，2，3}
【答案】C
【解析】
【分析】
先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}，
B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B ＝{0，1，2，3}，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
11．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”
在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===
=，则按照以上规律，若=“穿墙术”，则n =（ ） A ．48
B ．63
C ．99
D ．120 【答案】C
【解析】
【分析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.
【详解】
解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1
所以210199n =-=
故选：C.
【点睛】
本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.
12．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．0
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值. 【详解】
由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=+
+)2,4x π
=++ 又44x ππ-≤≤，32444
x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =. 故选：B.
【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____.
【答案】42-
【解析】
【分析】
由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值.
【详解】
解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，
可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-，
可得：942S =-，
故答案为：42-.
【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难.
14．设实数x ，y 满足20202xy x y x ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则点(),P x y 表示的区域面积为______.
【答案】12ln2+
【解析】
【分析】
先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.
【详解】
画出实数x ，y 满足20202xy x y x ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域，如图（阴影部分）：
则阴影部分的面积()22111212
12ln 12ln 2ln112ln 22S dx x x =⨯⨯+=+=+-=+⎰，
故答案为：12ln2+
【点睛】 本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题.
15．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v 的最小值是_____.
7 【解析】
【分析】 根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r ,连接
,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN u u u u r u u u r .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2
MN u u u u r ,结合二次函数性质即可求得最小值.
【详解】
根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:
在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒ 则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202
AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=-o u u u r u u u r u u u r u u u r 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则
()()
1122AM AE AF AB AC λμ=+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()12AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 所以2
211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
u u u u r u u u r u u u r 222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r 22
1111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u u r 因为(),0,1λμ∈ 所以当17
μ=时, 2MN u u u u r 取得最小值17 因而min 177MN ==u u u u r
故答案为:
77
【点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.
16．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足11
2F E AF =u u u r u u u r ，且1260EF F ∠=o ，则椭圆C 的离心率为______. 71-
【解析】 【分析】
采用数形结合，计算1F E u u
u r 以及1AF u u u r ，然后根据椭圆的定义可得2AF u u u u r ，并使用余弦定理以及c
e a
=，可
得结果. 【详解】 如图
由1260EF F ∠=o
，所以12cos60c
F E c =
=o
u u u r
由112F E AF =u u u r u u u r
，所以
1112
AF F E c ==u u u r u u u r 又122AF AF a +=u u u r u u u u r ，则22AF a c =-u u u u r
所以2221212
12121
cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r
所以()()22
222cos12022c c a c c c
+--=
⋅o 化简可得：()2
27227c a c a c c =-⇒-=
则
71
71
c a -==
+ 故答案为：71
3
【点睛】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()212
x
e x
f x x =-+
. （1）若12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：1202
x x f +⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
；
（2）若x ∈R 时，恒有()2
12
f x x ax b ≥++，求ab b +的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）2
e . 【解析】 【分析】
（1）利用导数分析函数()y f x =的单调性，并设12x x <，则10x <，20x >，将不等式1202x x f +⎛⎫'<
⎪⎝⎭
等价转化为证明120x x +<，构造函数()()()h x f x f x =--，利用导数分析函数()y h x =在区间
(),0-∞上的单调性，通过推导出()10h x <来证得结论；
（2）构造函数()x
G x e x ax =--，对实数a 分1a <-、1a =-、1a >-，利用导数分析函数()
y G x =的单调性，求出函数()y G x =的最小值，再通过构造新函数()2
2
ln t t t t ϕ=-，利用导数求出函数
()y t ϕ=的最大值，可得出ab b +的最大值.
【详解】
（1）()1x
f x e x '=-+，()10x
f x e ''=+>，所以，函数()y f x '=单调递增，
所以，当0x <时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减； 当0x >时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增. 要证1202x x f +⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
，即证120x x +<. 不妨设12x x <，则10x <，20x >，
下证21x x <-，即证()()()121f x f x f x =<-， 构造函数()()()()22112022x
x x x h x f x f x e x x e x x e e x x --⎛⎫
=--=-+
-++=--< ⎪⎝
⎭，
()220x x h x e e -'=+->=，所以，函数()y h x =在区间(),0-∞上单调递增，
10x <Q ，()10h x ∴<，即()()110f x f x --<，即()()()211f x f x f x =<-，
20x >Q ，10x ->且函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递增，
所以21x x <-，即120x x +<，故结论成立； （2）由()2
12
f x x ax b ≥
++恒成立，得x e x ax b -≥+恒成立， 令()x
G x e x ax =--，则()1x
G x e a '=--.
①当1a <-时，对任意的x ∈R ，()0G x '
>，函数()y G x =在R 上单调递增，
当x →-∞时，()G x →-∞，不符合题意； ②当1a =-时，0ab b +=；
③当1a >-时，令()0G x '
>，得()ln 1x a >+，此时，函数()y G x =单调递增；
令()0G x '
<，得()ln 1x a <+，此时，函数()y G x =单调递减.
()()()()()()min ln 111ln 1G x G a a a a ∴=+=+-++.
()()()()2
2
111ln 1a b a a a ∴+≤+-++.
令10t a =+>，设()2
2
ln t t t t ϕ=-，则()()12ln t t t ϕ'=-.
当0t <<
()0t ϕ'>，此时函数()y t ϕ=单调递增；
当t >时，()0t ϕ'<，此时函数()y t ϕ=单调递减.
所以，函数()y t ϕ=在t =()max 2
e
t ϕϕ==. 因此，()1a b +的最大值为2
e
. 【点睛】
本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.
18．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足条件2,4
c b C π
=-=．
（1）求角A ；
（2）若ABC V 边AB AB 的长．
【答案】（1）3
π．（2）2 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得sin 2sin C B A =-，再根据4B A C A πππ⎛⎫
=--=-+ ⎪⎝
⎭
，利用两角和的正弦公式即可求解.
（2）已知CD =，由3
A π
=
知1AD =，在BDC ∆中，解出BD 即可.
【详解】
（1）由正弦定理知
sin 2sin 2sin C B A =-
由己知4
C π
=
，而4B A C A πππ⎛⎫
=--=-+
⎪⎝
⎭
22sin 2sin 24A A π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭ 222cos sin 2sin 22A A A ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
2cos A =
∴1cos 2A =
，3
A π
= （2）已知3CD =，
则由3
A π
=
知1AD =
5,12tan CD
B A
C DB B
ππ=--=
= 先求51sin
sin (26)12434
πππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 51cos
cos (62)12434
πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭ ∴5(62)
tan
2312(62)
π+==+- ∴323323
DB =
=-+
∴1233232AB AD DB =+=+-=-
【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题. 19．如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；6
【解析】 【分析】
（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BF CF =，
D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到
CG AB ⊥；
（Ⅱ）易证DB ，DF ，DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
，设AE 与平面BEG 所成
角为θ，则sin cos ,AE n
AE n AE n
u u u v v
u u u v v u u u v v θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案． 【详解】
解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .
由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .
由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ， ∴DF
AD ⊥，DF BC ⊥，
∴DB ，DF ，DA 两两垂直.
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
设2BC =，则()
003A ,,，13,
3,22E ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，()1,0,0B ，()
1,3,0G -， ∴13,3,2AE u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()
2,3,0BG =-u u u v ，33,3,2BE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v . 设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v
.
由0{0BG n BE n ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 可得，230{3330
2x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴()
3,2,1n =-v
.
设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6
sin cos ,4AE n AE n AE n
θ⋅=〈〉==⋅u u u v v
u u u v v u u u
v v .
【点睛】
本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．
20．设数列{}n a ，其前n 项和2
3n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列，
123512b b b =，11a b + 33a b =+. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =
-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：2
13
n T ≤<.
【答案】（1）63n a n =-+，1
2n n b +=；（2）详见解析.
【解析】 【分析】 【详解】
（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，22
13[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2
132b b b =，
∴3
123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，
∴831582q q q -+
=-+⇒=或1
2
q =-（舍去）， ∴21
22n n n b b q -+==；
（2）由（1）可得：111112211
(22)(21)(21)(21)2121
n n n n n n n n n c +++++===-------，
∴123n n T c c c c =++++L 2231111111(
)()()212121212121
n n +=-+-++-------L 1
1112
1
n +=-
<-，显然数列{}n T 是递增数列，
∴123n T T ≥=，即2
13
n T ≤<.）
21．已知函数()tan sin 2202f x x a x x x π⎛
⎫
=+-≤< ⎪⎝
⎭
． （1）若0a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）增区间为,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；（2）1,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】
（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数可得出函数()y f x =的单调区间；
（2）求函数()y f x =的导数，分类讨论a 的范围，利用导数分析函数()y f x =的单调性，求出函数
()y f x =的最值可判断()0f x ≥是否恒成立，可得实数a 的取值范围．
【详解】
（1）当0a =时，()sin tan 220cos 2x f x x x x x x π⎛
⎫=-=
-≤< ⎪⎝
⎭， 则()2222222
cos sin 112cos cos 222cos cos cos cos x x x x
f x x x x x
+-'=-=-==-， 当04
x π
≤<时，cos20x >，则()0f x '<，此时，函数()y f x =为减函数； 当
4
2
x π
π
<<
时，cos20x <，则()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
所以，函数()y f x =的增区间为,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，减区间为0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
；
（2）()tan sin 2202f x x a x x x π⎛⎫
=+-≤<
⎪⎝
⎭
，则()00f =， ()()222
11
2cos 2222cos 12cos cos f x a x a x x x
'=
+-=+--()()()22
4222
2cos 12cos 14cos 22cos 1cos cos x a x a x a x x x
---++==. ①当21a ≤时，即当1
2
a ≤时，22cos 10a x -≤， 由()0f x '≥，得
4
2
x π
π
≤<
，此时，函数()y f x =为增函数；
由()0f x '≤，得04
x π
≤≤，此时，函数()y f x =为减函数.
则()()min 004f x f f π⎛⎫
=<=
⎪⎝⎭
，不合乎题意； ②当21a >时，即1
2
a >
时， (
)f x '=.
不妨设0cos x =
00,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，令()0f x '=，则4x π=或0x . （i ）当1a >时，04
x π
>，
当04
x π
≤<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数；
当
04
x x π
<<时，()0f x '<，此时，函数()y f x =为减函数；
当02
x x π
<<
时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
此时()()(){}
0min min 0,f x f f x =，
而()()
()2
000000000tan sin 22tan 12cos 22tan f x x a x x x a x x x x =+-=+-=-，
构造函数()tan g x x x =-，02
x π
<<
，则()22
1
1tan 0cos g x x x
'=
-=>， 所以，函数()tan g x x x =-在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，则()()00g x g >=， 即当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，tan x x >，所以，()()0002tan 0f x x x =->. ()()min 00f x f ∴==，符合题意；
②当1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上为增函数， ()()min 00f x f ∴==，符合题意；
③当112a <<时，同理可得函数()y f x =在[)00,x 上单调递增，在0,4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上
单调递增，
此时()()min min 0,4f x f f π⎧⎫
⎛⎫=⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭
，则1042f a ππ⎛⎫
=+-≥ ⎪⎝⎭
，解得112a π-≤<.
综上所述，实数a 的取值范围是1,2π⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.
22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ； （2）求二面角P EC D --的正切值． 【答案】 (1)见证明；(2) 153
【解析】 【分析】
（1）取PD 中点G ，可证EFGA 是平行四边形，从而EF AG P ， 得证线面平行；
（2）取AD 中点O ，连结PO ，可得PO ⊥面ABCD ，连OB 交CE 于M ，可证PMO ∠是二面角
P EC D --的平面角，再在PMO ∆中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、
GF Q 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且1
2
GF CD =，
又//AE CD 且1
2
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =，
∴EFGA 是平行四边形，则EF AG P ， 又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB V V ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角， 在Rt EBC V 中，2535
,55
BE BC BM OM OB BM CE ⋅=
==-=
∴15tan PO PMO OM ∠==
，即二面角P EC D --的正切值为15． 【点睛】
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算． 23．如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.
（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；
（2）若22 30AD AB BC CAD ==∠=︒，，，求四面体ABCD 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）45. 【解析】
【分析】
（1）取AC 中点F ，连接,FD FB ，根据等腰三角形的性质得到DF AC ⊥，利用全等三角形证得DF FB ⊥，由此证得DF ⊥平面ABC ，进而证得平面ABC ⊥平面ACD . （2）由（1）知DF ⊥平面ABC ，即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，结合锥体体积公式，求得四面体ABCD 的体积.
【详解】
（1）证明:如图，取AC 中点F ，连接,FD FB ，
由,DA DC =则,DF AC ⊥
AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，
故DFA DFB DFC V V V ≌≌
故2DFB DFA π
∠=∠=，
,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=Q
DF ⊥∴平面ABC .
又DF ⊂平面ACD ，
故平面ABC ⊥平面ACD
（2）由（1）知DF ⊥平面ABC ，
即DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高，
且301,303DF ADsin AF ADcos =︒==︒=在Rt ABC V 中，2232AC AF AB BC ===,，
由勾股定理易知15415,55
BC AB ==
故四面体ABCD 的体积
11141332555
ABC V S DF =⋅=⨯⨯=V 【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。