13-14学年度人教版数学九年级(上)期末复习(四)(圆部分)

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13-14 学年度人教版数学九年级（上）期末复习（四）
（圆部分）
一、选择题（每题
4分，共 40 分）
1．如图：已知 CD 为⊙ O 的直径，过点 D 的弦 DE ∥ OA ，∠D=50°，
则∠C 的度数是（ ）
A ． 25°
B ． 40°
C ． 30°
D ． 50°
2．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB 垂足为 E ，以下结论 中，错误的选项是（ ）
A ． CE=DE
B ． B
C BD
C ． ∠ BAC=∠ BAD
D ．AC ＞
AD
3．如 图，AB 是 ⊙ O 的直径，∠ C=20°， 则 ∠ BOC 的度数是（ ）
A ． 40°
B ． 30°
C ． 20°
D ． 10°
4．如 图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，点 E 在 CD 的延伸 线上，假如∠BOD=120°， 那么∠BCE 等于（ ）
A ． 30°
B ． 60°
C ． 90°
D ． 120°
5 ． 已 知 圆 的 半 径 是 5cm ， 如 果 圆 心 到 直 线 的 距 离 是 5cm ， 那 么 直 线
和圆的地点关系是（ ）
A ．订交
B ．相切
C ．相离
D ．内含
6．如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A ，⊙ O 的半径为2，若 ∠OBA=30°， 则 OB 的长为（ ）
A ．4 3
B ． 4
C ．2 3
D ． 2
7．如 图：PA 切⊙O 于 A ，PB 切⊙O 于 B ，OP 交⊙O 于 C ，以下结 论中错误的选项是（ ）
A ．∠ APO=∠ BPO
B ． PA=PB
C ．AB ⊥ OP
D ． C 是 PO
的 中 点
8．大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆 的地点关系为（
）
A ．外离
B ．外切
C ．订交
D ．内含
9 ．Rt △ ABC 中 ，∠ C=90°， AC=8，BC=6，两 等 圆 ⊙ A ，⊙ B 外 切 ，
那么图中两个扇形（即暗影部分）的面积之和为（ ）
A ．
25
B ．
25
C ． 25
D ．
25 4 8
16
32
10．如图，现有一圆心角为90°，半径
为 8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽
略不计），则该圆锥底面圆的半径为（）
A． 4cm B． 3cm C． 2cmD． 1cm
二、填空题（每题 4分，共 40 分）
11．如下图为一弯形管道，此中心线是一段圆弧
AB ．已知半径OA=60cm，∠AOB=108°，则管道的长度
（即AB的长）为cm．（结果保留π）
12．如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点 O作⊙O′的两条
切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB=度．
13．如图：⊙I 是直角△ABC的内切圆，切点为 D、E、F，若
AF， BE 的长是方程 x 2 -13x+30=0 的两根，则△ ABC 的面积为
．
14．如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ BAC=120°，AB=AC=4． BD 为
⊙O的直径，则 BD=．
15．一条弦把圆分红1：3两部分，则弦所对的圆心角为
度．
16．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为
24米，拱的半径为13米，则拱高 CD为米．
17．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心．OD⊥ AB，
垂足为 D，OE⊥ AC，垂足为 E，若 DE=3，则 BC=．
18．在平面内，⊙ O 的半径为 5cm，点 P 到圆心 O 的距离为 3cm，
则点 P与⊙O的地点关系是．
19．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为
．
20．圆锥的侧面积恰巧等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面睁开
图所对应的扇形圆心角的度数为．
三、解答题（共70 分）
21．如图：直径为 10cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4cm，求弦 AB 的长．
22．已知⊙O中的弦 AB=CD，求证： AD=BC．
23．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数．
24．如图：等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥ AC，垂足为E．
求证：PE是⊙O的切线．
25．如图，已知 AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点 C，交 AB的延伸线于点 D，∠ACD=120°， BD=10 ．
（1）求证： CA=CD；
（2）求⊙O的半径．
26 ．如图：两个同心圆的半径所截得的弧长 AB=6 π cm，CD=10π cm，
且 AC=12cm ．
（1）求两圆的半径长．
（2）暗影部分的面积是多少？
27．如图，已知在⊙O中，AB=4 3
，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．（1）
求图中暗影部分的面积；
（2）若用暗影扇形OBD围成一个圆锥侧面，恳求出这个圆锥的底面圆的半径．
试题答案及分析
1.考点：圆周角定理；平行线的性质．
剖析：由DE∥OA，∠D=50°，依据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AOD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．
解答：解：∵DE∥OA，∠D=50°，
∴ ∠ AOD=∠ D=50 °，
∴ ∠ C= 1
∠ AOD=25°．
2
应选 A．
评论：本题考察了圆周角的性质与平行线的性质．本题比较简单，解题的重点是注意数形联合思想的应用．
2.考点：垂径定理．
剖析：依据垂径定理判断．
解答：解：AB为⊙O的直径，弦 CD⊥ AB垂足为 E，则 AB是垂直于弦 CD的直径，就知足垂径定理．
因此 CE=DE，BC BD ，∠BAC=∠BAD都是正确的．
依据条件能够获得 AB 是 CD的垂直均分线，因此 AC=AD．所以 D是错误的．
应选 D．
评论：本题主要考察的是对垂径定理的记忆与理解．
3.考点：圆周角定理；等腰三角形的性质．专题：计
算题；压轴题．
剖析：依据等腰三角形的性质，易求得∠A=∠ C=20°；因为圆周角∠A 和圆心角∠BOC所对的弧同样，依据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可求得∠BOC的度数．解答：解：∵OA=OC，
∴ ∠ A=∠ C=20°；
∴ ∠ BOC=2∠A=40．
应选 A．
评论：考察了等腰三角形的性质以及圆周角定理的应用．
4.考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．专题：计
算题．
剖析：依据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得∠A=60°，再依据圆内接四边形的外角等于它的内对角求解．
解答：解：∵ ∠A= 1
∠BOD=60°，
2
∴ ∠ BCE=∠ A=60°．
应选 B．
评论：本题综合考察了圆周角定理和圆内接四边形的性质．
5.考点：直线与圆的地点关系．
剖析：若 d＜ r ，则直线与圆相交；若 d=r ，则直线于圆相切；若 d＞ r ，则直线与圆相离．解答：解：依据圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切．应选 B．
评论：考察了直线和圆的地点关系与数量之间的联系：若 d=r ，则直线和圆相切．
6.考点：切线的性质；解直角三角形．专题：压
轴题．
剖析：因为直线 AB与⊙O相切于点 A，则∠OAB=90°，而OA=2，∠ OBA=30°，根据三角函数定义即可求出 OB．
解答：解：∵直线 AB与⊙O相切于点 A，
则∠ OAB=90°．
∵ OA=2，
OA OA2
4 ．
∴ OB
sin 301
sin B
应选 B．
2
评论：本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的观点解直角三角形问题．
7.考点：切线的性质；等腰三角形的性质；切线长定理．专题：证明题．
剖析：依据切线长定理得出 PA=PB，∠BPO=∠ APO，依据等腰三角形性质推出 OP⊥ AB，依据以上结论推出即可．
解答：解：∵PA、 PB是⊙O的切线，切点是 A、B，
∴PA=PB，∠ BPO=∠ APO，
∴选项 A、B错误；
∵PA=PB，∠ BPO=∠ APO，
∴OP⊥ AB，∴选项 C错误；
依据已知不可以得出C是PO的中点，应选项D正确；应选D．
评论：本题考察了切线长定理和等腰三角形的性质的应用，娴熟地运用性质进行推理是解本题的重点，题目比较典型，难度适中．
8.考点：圆与圆的地点关系．
剖析：两圆的位置关系有：相离（ d＞ R+r ）、相切（外切： d=R+r或内切：d=R-r）、相交（R-r ＜ d＜ R+r ）．
本题两圆半径和为3+6=9 ＜10，所以两圆外离．
解答：解：∵两圆半径和为3+6=9 ＜10，
∴两圆外离．应选 A．
评论：本题主要考察两圆的位置关系．两圆的位置关系有：相离（ d＞ R+r ）、相切（外切： d=R+r 或内切： d=R-r ）、订交（ R-r ＜ d＜ R+r ）．
9.考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．专题：压
轴题．
剖析：已知 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°， AC=8， BC=6，则根据勾股定理可知 AB=10 ，两个
扇形的面积的圆心角之和为90度，利用扇形面积公式即可求解．
解答：解：∵ Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=8， BC=6，
∴ AB= 82 6 2=10 ，
∴ S暗影部分
905225
360．
4
应选 A．
评论：本题主要考察勾股定理的使用及扇形面积公式的灵巧运用．
10.考点：弧长的计算．专题：
压轴题．
剖析：本题考察了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面睁开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，经过求侧面睁开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，
先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，
908
4 ，圆锥底面圆的半径： r 4
弧长： 2 （cm）．1802
908
4 ，
解答：解：弧长：
180
4
圆锥底面圆的半径： r 2 （cm）．
2
应选 C．
评论：本题综合考察有关扇形和圆锥的有关计算．解题思路：解决此类问题时重要紧抓住二者之间的两个
对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面睁开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面睁开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的重点．
11.考点：弧长的计算．专题：
应用题；压轴题．
剖析：本题的重点是利用弧长公式计算弧长．
10860
解答：解：=36 π cm．
180
评论：本题的重点是利用弧长公式计算弧长．
12.考点：切线的性质；切线长定理．
剖析：依据切线的性质得 O′ A⊥OA，再解直角三角形即可．
解答：解：连结 OO′和 O′A，
依据切线的性质，得 O′ A⊥ OA，
依据题意得 OO′ =2O′ A，
则∠ AOO′ =30°，
再依据切线长定理得∠AOB=2∠AOO′ =60°．
故答案是：60．
评论：本题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及借助锐角三角函数进行解答．
13.考点：三角形的内切圆与心里；解一元二次方程-因式分解法．
剖析：求△ABC的面积，重点是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出 AF、BE的长，联合切线长定理
和勾股定理，可求得CE、CF 的长，从而可求出AC、BC的长；依据直角三角形的面积公式即可求出其面积．
解答：解：如图；
2
解方程 x -13x+30=0，得：
∴AD=AF=10， BD=BE=3；
设 CE=CF=x，则 AC=10+x ， BC=3+x ；
由勾股定理，得：
AB2 =AC2 +BC2，即 13 2 =（ 10+x ）2 +（ 3+x ）2，
解得 ： x=2 （负 值舍 去），
∴ AC=12 ， BC=5；
所以 S △
A BC = 1 AC?BC= 1
×5×12=30．
2
2
故答案为：30．
评论：本题主要考察的是三角形内切圆的性质、切线长定理、勾股定理、直角三角形的面积公式等知识．
14. 考点：垂径定理；圆周角定理．
剖析：依据 BD 是直径，易证△ABD 为直角三角形；∠D=∠ C=30°．
则 BD=2AB=8．
解答 ： 解： ∵ ∠ BAC=120°， AB=AC=4，
∴ ∠ C=30°，
∴ ∠ BOA=60°．
又 ∵ OA=OB ，
∴△AOB 是正三角形．
∴ OB=AB=4，
∴ BD=8．
评论：本题运用了圆周角定理的推论，直径所对的圆心角是直角．
15. 考点：圆心角、弧、弦的关系．
剖析：运用同圆或等圆中圆心角、弧和所对弦的关系则可解．
解答：解：∵ 一条弦把圆分红1： 3两部分，
∴整个圆分为四均分，
则劣 弧 的度 数为 360°÷ 4=90°，
∴弦所对的圆心角为90°．
评论：本题考察了同圆或等圆中圆中圆心角、弧和所对弦的关系．
16. 考点：垂径定理的应用．
剖析：先建立直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算．
解答 ： 解： 因为 跨度 AB=24m ，拱 所 在 圆半径 为 13m ，
延伸 CD 到 O ，使得 OC=OA ，则 O 为圆心，
1
则 AD=
AB=12 （ 米），
2
则 OA=13米 ，
在 Rt △ AOD 中 ， DO= OA 2 AD 2 =5 ，
从而 得 拱高 CD=CO-DO=13-5=8 米 ．
故答案为：8．
评论：本题主要考察直角三角形和垂径定理的应用，依据题意作出协助线是解答本题的重点．
17.考点：垂径定理；三角形中位线定理．专题：综
合题．
剖析：依据垂径定理得 AD=BD， AE=CE，所以 BC=2DE=6．
解答：解：∵ AD=BD， AE=CE
∴BC=2DE=6．
评论：本题综合运用了垂径定理和三角形的中位线定理．
18.考点：点与圆的地点关系．
剖析：要确立点与圆的地点关系，主要确立点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为 r ，则 d＞ r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内．
解答：解：∵点 P 到圆心 O 的距离为 3cm，
∴d=3，
∵r=5，则 d＜ R；
故点 P在圆内．
评论：本题考察了点与圆的地点关系的判断．解决此类题目的重点是第一确立点与圆
心的距离，而后与半径进行比较，从而得出结论．
19.考点：圆周角定理；三角形内角和定理．专题：几
何图形问题．
剖析：连结 OB．依据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠ OBA、三角形的内角和定理求得
∠AOB=124°；而后由圆周角定理求得∠C=62°．
解答：解：连结 OB．
在△ OAB中， OA=OB（⊙ O的半径），
∴∠OAB=∠ OBA（等边平等角）；
又∵ ∠ OAB=28°，
∴ ∠ OBA=28°；
∴ ∠ AOB=180°- 2×28°=124°；
1
而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
2
∴ ∠ C=62°；
故答案是：62°．
评论：本题主要考察了三角形的内角和定理、圆周角定理．解答此类题目时，常常利用圆的半径都相等的
性质，将圆心角置于等腰三角形中解答．
20.考点：圆锥的计算．
专题：计算题．
剖析：设出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积等于其底面积的2倍，获得圆锥底面半径和母线长的关系，而后利用圆锥侧面睁开图的弧长=底面周长即可获得圆锥侧面睁开图所对应扇形圆心角的度数．
解答 ：解：设母 线长 为 R ，圆 锥侧 面展 开图所 对 应 扇 形圆心 角的 度数 为 n ，底 面 半 径为 r ， ∴ 底 面 周长 =2 π r ， 底面 面积 =π r 2
， 侧面 积 = 1
×2π r ×R= π Rr=2× π r 2 ，
2
∴ R=2r ， ∵
n R
=2 π r= π R ，
180
∴ n=180°．
故答案为：180°．
评论：本题考察了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．
21. 考点：垂径定理；勾股定理．
剖析：在直角 △OAE 中，利用勾股定理即可求得 AE 的长，依据崔静定理可得 AB=2AE ，据此即可求解．
解答：解：连结 OA ．
∵在直角△OAE 中，OA=
1 ×10=5cm ， OE=4cm ．
2
∴AE=
OA
2
OE 2
25 16 3
．
∵ OE ⊥ AB ，
∴ AB=2AE=2×3=6（ cm ）．
评论：本题考察了勾股定理和垂径定理，本题是一个基础题，正确理解定理是重点．
22. 考点：圆周角定理；全等三角形的判断与性质；圆心角、弧、弦的关系．专题：证明题．
剖析：由 AB=CD ，得： AB
CD ，即可推出 AD BC ，即可推出 AD=BC ．
解答：解：∵ ⊙O 中的弦 AB=CD ，
∴
AB CD
，
∴
AD BC
，
∴ AD=BC ．
评论：本题主要考察圆心角、弧、弦的关系，重点在于运用数形联合的思想，联合有关的定理推论推出
AD BC ．
23. 考点：圆的认识；三角形内角和定理．
剖析：由，∠AOB=50°， ∠OBC=40°， 再利用圆周角定理求出 ∠BCA ， 而后由三角形的内角和获得∠OAC ．
解答 ： 解： ∵ OB=OC ∴ ∠ OCB=∠ OBC=40°（ 2分）
∴ ∠ BOC=180° - ∠ OBC- ∠ OCB=180° - 40° - 40°=100°（ 3分 ）
∴ ∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=50°+100°=150°（
4分 ） 又 ∵ OA=OC ∴ ∠ OAC=
180 AOC =15°（ 6 分） 2
评论：本题考察了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，
一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考察了圆心角的度数等于它
所对的弧的度数．
24. 点：切线的判断；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；圆周角定理．专题：证明题．
剖析：连结 OP ，推出∠BPA=90°，根
据等腰三角形性质求出 BP=PC ，依据三角形中位线
定理求出 OP ∥ AC ，推出 OP ⊥ PE ，依据切线的判断推出即可．
解答：证明：连结 OP ，
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ APB=90°，
∵ AB=AC ，
∴ BP=CP ，
∵ OB=OA ，
∴ OP ∥ AC ，
∵ PE ⊥ AC ，
∴ OP ⊥ PE ，
∵PO 是半径，
∴ PE 是⊙O 的切线．
评论：本题考察了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判断、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解本题的重点，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连结圆心和该点证垂直．
25. 考点：切线的性质．
专题：几何综合题；压轴题．
剖析：（1）可经过证明角相等来证边相等．连结 OC ，则 OC ⊥ CD ，那么∠ACO=30°； 依据等边平等角我们不难得出∠A=30°， ∠COD=60°， 直角三角形 OCD 中，∠COD=60°，所以 ∠ A=∠ D=30°， 由此 便 可 得出 CA=CD ．
（ 2）在直角三角形 OCD 中，可用半径表示出 OC ，OD ，有∠D 的度数，可用正弦函数求出半径的长．
解答：（1）证明：连结 OC ．
∵ DC 切⊙O 于点 C ，
∴ ∠ OCD=90°．
又 ∵ ∠ ACD=120°，
∴ ∠ ACO=∠ ACD- ∠ OCD=120° - 90°=30°．
∵ OC=OA ，
∴ ∠ A=∠ ACO=30°，
∴ ∠ COD=60°．
∴ ∠ D=30°，
∴ CA=DC ．
（ 2） 解： ∵ sin ∠ D=
OC
OC OB ， OD OB BD OB BD sin ∠ D=sin30°= 1 ，
2
OB 1
∴
． OB 10 2
解得 OB=10．
即⊙O 的半径为10．
评论：本题主要考察认识直角三角形的应用和切线的性质．
26. 考点：扇形面积的计算．
剖析 ：可 以设 OA=r ，则 OC=r+12 ，扇 形的 圆 心角是 n 度，根 据 弧长 的计 算公 式，即 可 获得关 于 r 与 n 的方程 组，即可 求 得 半径 ，进 而根 据 上 行的 面 积 公式 求出 两个 扇形 的 面积 ，两面积的查就是暗影部分的面积．
解答 ： 解 ：（ 1 ）设 OA=r ，则 OC=r+12 ，扇 形的圆 心角 是 n 度 ．
n r 6 依据题意得：
180 ，
n ( r 12) 10
180
n 60 解得 ：
则两 圆的 半径 长 是 18cm ， 30cm ；
r 18
（ 2 ） 阴 影 部 分 的 面 积 是 ：
1
×10 π ×30 - 1 ×6π ×18=96 π cm 2 ． 2 2
评论：不规则图形的面积必定要注意切割成规则图形的面积进行计算．
27. 考点：扇形面积的计算；弧长的计算．专题：几
何综合题．
剖析：（1）先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为120
度， 在 Rt △ ABF 中根 据勾 股定 理可 求出 半径 的长 ，利 用扇 形的 面积 公式 即可 求解 ； （ 2）直接依据圆锥的侧面睁开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．
解答：解：（1）法一：过 O 作 OE ⊥AB 于 E ，则
BF=1 AB=2 3．
2
在 Rt △ AEO 中 ， ∠ BAC=30°， cos30°= AE ．
OA
∴ OA= AE 2 3 4 ．
cos30 3
2
又 ∵ OA=OB ，
∴ ∠ ABO=30度 ．
∴ ∠ BOC=60度 ．
∵ AC ⊥ BD ， ∴ BC CD ．
∴ ∠ COD=∠ BOC=60度 ．
∴ ∠ BOD=120
度 ．
∴ S 暗影 n OA 2 120 4216 ．
360 360 .3
法二：连结 AD ．
∵ AC ⊥ BD ， AC 是直径，
∴AC 垂直均分 BD ．
∴ AB=AD ， B F=FD ， BC CD ．
∴ ∠ BAD=2∠ BAC=60°，
∴ ∠ BOD=120度 ．
1
3 ， sin60 °= AF ∵ BF= AB= 2 ， 2 AB
AF=AB?sin60°=
4 3 3
=6 ． 2
∴ OB 2 =BF 2+OF 2． 即 ( 2 3 )2 +(6 - OB )2＝ OB 2．
∴ OB=4．
∴ S 暗影
1 16 S 圆 ． 3 3
法三：连结 BC ．
∵ AC 为⊙O 的直径，
∴ ∠ ABC=90度 ．
∵ AB=4 3，
∴AC ＝
AB 4 3 8 ． cos30 3
2
∵ ∠ A=30°， AC ⊥ BD ，
∴ ∠ BOC=60°， ∴ ∠ BOD=120度 ．
∴ S 暗影
120 OA 21 42 16 ． 360 3 3
以下同法一；
（ 2） 设圆 锥的 底面 圆的 半径 为 r ， 则 周长 为 2 π r ，
∴ 2π r=
120 4 ． ∴ r ＝
4 180 ． 3
评论：本题主要考察了扇形的面积公式和圆锥的侧面睁开图与底面周长之间的关系．本题还波及到圆中的一些性质，如垂径定理等．。