人教版高中数学配套课时作业(三维设计版)阶段质量检测(一)集合与函数概念-

阶段质量检测（一）集合与函数概念
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}
D ．∅
解析：选C A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， 解得A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．
2．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 由已知条件，得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}， ∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，即集合∁U (A ∩B )的元素有3个，故选C.
3．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( ) A ．{0,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－3,5}
D ．{－3,5,9}
解析：选D 由对应关系可知，当x ＝－1时，2x －1＝－3；当x ＝3时，2x －1＝5；当x ＝5时，2x －1＝9.故B ＝{－3,5,9}．
4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1
B ．y ＝|x －1|
C ．y ＝－|x |＋1
D ．y ＝|x ＋1|
解析：选C 对照题中的函数图象，当x ＝0时排除A ，当x ＝－1时排除B ，当x ＝1时排除D ，故选C.
5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－1
2x ，则f (1)＝( )
A ．－32
B ．－1
2
C.32
D.12
解析：选A 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－3
2.
6．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数
B ．减函数
C ．非单调函数
D ．可能是增函数，也可能是减函数
解析：选A ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，f (x )＝－x 2＋3，∴f (x )的对称轴为y 轴，故f (x )在(－5，－2)上是增函数．
7．函数f (x )＝1＋x
2＋x
(x >0)的值域是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1
D.⎝⎛⎭
⎫0，12 解析：选C ∵f (x )＝
1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1
x ＋2
在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1. 8．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝1
2x
B ．y ＝24x
C ．y ＝
28
x D ．y ＝
216
x 解析：选C 正方形的对角线长为
24x ，从而外接圆半径为y ＝12×24x ＝28
x . 9．已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( ) A ．10 B ．－10 C ．－18
D ．－26
解析：选D 令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )－8， f (－2)＝g (－2)－8＝10， ∴g (－2)＝18，
∴f (2)＝g (2)－8＝－g (－2)－8＝－26.
10．已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(4，＋∞) C ．(0,4)
D ．[0,4)
解析：选D 因为A ∩R ＝∅，所以A ＝∅，即方程x 2＋mx ＋1＝0无解，所以Δ＝(m )2
－4<0，所以m <4.又因为m ≥0，所以0≤m <4.
11．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－3
2<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－3
2<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭
⎫－3
2
D ．f (2)<f ⎝⎛⎭
⎫－3
2<f (－1) 解析：选D 由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫3
2，f (－1)＝f (1)．∵1<32
<2，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，即f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：
①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，即④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．用列举法表示集合：M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪
⎪
10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________________.
解析：由10
m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值
为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ，x >0，
x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．
解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.
答案：－3
15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________． 解析：f (x )的对称轴为直线x ＝－1. 当a >0时，f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝3
8；
当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3. 综上，得a ＝3
8或a ＝－3.
答案：－3或 3
8
16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．
解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．
故满足f (x )<0的x 的取值范围应为(－2,2)，即 f (x )<0的解集为{x |－2<x <2}． 答案：{x |－2<x <2}
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x ＋2
x －6
. (1)判断点(3,14)是否在f (x )的图象上； (2)当x ＝4时，求f (x )的值； (3)当f (x )＝2时，求x 的值．
解：(1)因为f (x )＝x ＋2x －6，所以f (3)＝3＋23－6＝－5
3，
所以点(3,14)不在f (x )的图象上． (2)f (4)＝4＋2
4－6
＝－3. (3)令
x ＋2
x －6
＝2，即x ＋2＝2x －12， 解得x ＝14.
18．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；
(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．
解：(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝
－5，此时A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
12，2，B ＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－5，12，2.
由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12.
所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－5，12.
(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即为集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫12，{－5}，⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－5，12.
19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R.
(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；
(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．
解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}，∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，如图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8，即a 的取值范围为(－∞，8)．
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝
2x ＋1
x ＋1
. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f (x )＝
2x ＋1x ＋1＝2－1
x ＋1
， 所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数．
任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2
(x 1＋1)(x 2＋1)
. 因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) 所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)得，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1,4]上是增函数． 最大值为f (4)＝
2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1
＝3
2. 21．(本小题满分12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2. (1)求函数f (x )在R 上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；
(3)若方程f (x )－k ＝0有四个解，求实数k 的取值范围．
解：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，
则f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－(x －2)2＋2，x ≥0，
－(x ＋2)2＋2，x <0.
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；
(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1图象的上方，试确定实数m 的取值范围．
解：(1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1， 将点(0,3)的坐标代入得a ＝2， 所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3. (2)由(1)知f (x )的对称轴为直线x ＝1， 所以2a <1<a ＋1， 所以0<a <1
2
.
即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. (3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，
由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－1，
所以m <－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。