新疆乌鲁木齐地区2013届高三第一次诊断性测验数学(理)试题

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷
理科数学（问卷）
(卷面分值：150分考试时间：120分钟）
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A= {x|| x| >1}，B = {x|x<m}，且=R ，则m 的值可以是
A. -1
B.O C 1 D. 2 2. 复数
12i
i
+的共轭复数是a + bi(a ，b R )，i 是虛数单位，则点（a ，b)为
A. (1，2)
B. (2，-i )
C.(2,1)
D.(1，-2)
3. “a ＞0”是“20a a +≥”的 A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 函数22()log (1),()log (1)f x x g x x =+=-，则f （x ）－g （x ） 是 A.奇函数 B.偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
5. 已知函数0,0
(),0x x f x e x ≤⎧=⎨>⎩
，则使函数g （x ）＝f （x ）＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是
A.[0,1)
B.(,1)-∞ C 、(,1](2,)-∞⋃+∞ D. (,0](1,)-∞⋃+∞
6. 设n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若1321,5,36k k a a S S +==-=，则k 的值为
A.8
B. 7
C. 6
D.5
7. 函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是
A.［6k －1,6k ＋2］（k ∈Z ）
B.［6k －4,6k －1］（k ∈Z ）
C.［3k －1,4k ＋2］（k ∈Z ）
D.［3k －4,3k －1］（k ∈Z ） 8. 执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则条件①可以为 A 、n≤5 B 、n≤6 C 、n≤7 D 、n≤8
9. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 的三等分点，G 、H 是 CD 的三等分点，M 、N 分别是BC 、EH 的中点，则四棱锥A 1 -FMGN 的 侧视图为
10. 设平面区域D 是由双曲线2
2
14
x y -=的两条渐近线和抛物线y 2 =-8x 的准线所围成的三角形
(含边界与内部）.若点（x ，y) ∈ D,则x + y 的最小值为
A. -1
B.0
C. 1
D.3
11.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为
A.（0，
514+） B 、（51
4
+，1） C.（0，
51
2
+） D 、（512-，1）
12. 中，若，则tan
tan
A
B
的值为
A.2
B.4
C.3
D.23
第II卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .
14. 如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，
则三棱锥P-ACD1的体积为______
15. 点A(x，y)在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆
周运动，每12秒运动一周.则经过时间t后，y关于t的函数解析式为______
16. 设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______
三、解答题：第17〜21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤. .
17. (本小题满分12分）
已知数列{a n}、{b n}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且
(I) 求数列{a n }、{b n }的通项公式； (II )求使n b a <0.001成立的最小的n 值.
18. (本小题满分12分）
PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5
日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；
在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数ξ，求的ξ分布列； (II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.
19. (本小题满分12分）
在正四棱锥V - ABCD 中，P ，Q 分别为棱VB ，VD 的中点， 点 M 在边 BC 上，且 BM: BC = 1 ： 3，AB =
，VA = 6.
(I)求证CQ 丄AP;
(I I )求二面角B -A P -M 的余弦值.
20. (本小题满分12分） 已知点F( 1，0)，
与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M 与
及y 轴都相切.
(I )求点M 的轨迹C 的方程；
(II)过点F 任作直线l ，交曲线C 于A ，B 两点，由点A ，B 分别向各引一条切线，切点 分别
为P ，Q ，记
.求证sin sin αβ+是定值.
21. (本小题满分12分） 已知函数ln ()x
f x x a
=
-. (I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X 轴平行，求函数f(x)的单调区间； (II)若对一切正数x ，都有恒成立，求a 的取值集合.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图，AB 是的直径，AC 是弦，直线CE 和
切于点C ， AD 丄
CE ，垂足为D.
(I) 求证:AC 平分
；
(II) 若A B =4A D ，求的大小.
23. (本题满分10分)选修4 －4 ：坐标系与参数方程
将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0 绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.
(I)求直线l与曲线C的方程；
(II)求C上的点到直线l的最大距离.
24. (本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲
设函数，.
(I)求证；
(II)若成立，求x的取值范围.
参考答案
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.
1.选D.【解析】11x x >⇔>或1x <-，由A B =R U ，得1m >．
2.选C.【解析】
122+=-i
i i
，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >⇒20a a +≥；反之20a a +≥⇒0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >．
4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -2
1log 1x
x
+=-，则 ()F x -=21log 1x x -+1
21log 1x x -+⎛⎫
= ⎪
-⎝⎭
21log 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出
(),
0(),0x x x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩
的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，
或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.
6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221k k k k S S a a +++-=+
12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =.
7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即
32T =，所以26T π
ω
==， 3
π
ω=
由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+
⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=
，函数为()52sin 36f x x π
π⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+， 解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z .
8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=-L n n S ，有121127+-=n ，故6=n . 9.选C.【解析】（略）.
10.选B.【解析】双曲线的渐近线为1
2
y x =±
，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线过点()0,0O 时，min 0=z .
11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为
0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫
⎪++⎝⎭，又()()21,0,0,A a B b -，
∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r ，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫= ⎪++⎝⎭
u u u
u r ， ∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ⋅<u u u u r u u u r ，即()()()
()
2222
220a c a c ab a c a c a c ---+<++， 化简得2b ac <，22a c ac -<，故2
10c c a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭
，即210e e +->
，e >
或e <而01e <<
1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由
(
)
235CA CB AB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 得235
CA AB CB AB AB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=
，∴3
cos cos 5
a B
b A
c -= ∴2222223225a c b b c a a b c ac bc +-+-⋅
-⋅=，即2223
5
a b c -=，
∴
22222
222
22222222
3tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c b ac b c a B B A b b c a c c bc
+-++-=⋅=⋅===+-+--+. 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50
305
=x =
，
由ˆ0.67+54.9y
=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴
62++75+81+89
=755
m ，故68=m .
14.填
16
．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面1ACD
间的距离，等于
113B D =
，而1111sin 602ACD S AD CD ∆=⋅︒=， ∴三棱锥1P ACD -
的体积为1
136
=. 15.填sin 6
3y t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭．
【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以秒旋转6t π，06
A OA t π
∠=
，6
3
xOA t π
π
∠=
+
，则sin y xOA =∠sin 6
3t π
π⎛⎫=+
⎪⎝⎭.
16.填2222a b b a -．【解析】设直线OA 的方程为y kx
=，则直线OB 的方程为1
y x k
=-， 则点()11,A x y 满足22221
y kx x y a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩
故22222
2211222222,a b a b k x y b a k b a k ==--，
∴()2
222
22
11
22
2
1k a b OA x y b a k
+=+=
-，同理()2
222
22
2
1k a b OB
k b a
+=
-，
故()()2
222
2222
22
2
22
2
11k a b k a b OA OB
b a k
k b a
++⋅=⋅
--()
()
44
2
2
22222
2
1a b k
a b a b
k
=
-++⋅
+
∵
()
2
2
2
2211
1
4
12k k
k k
=
≤+++（当且仅当1k =±时，取等号） ∴()
44
22
2
2
24a b OA OB b
a
⋅≥
-，又0b a >>，故1
2
AOB
S OA OB ∆=⋅的最小值为222
2a b b a -. 三、解答题：共6小题，共70分.
17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意(
)2422226d q
d q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩
解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
（舍） ∴2
12n n a -⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得22
212n n b n a a -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，
因为22
10.0010.0012n n b a -⎛⎫
<⇔< ⎪
⎝⎭
2221000n -⇔>，
所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分
18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布
列为：()()3510
3
15
0,1,2,3k k
C C P k k C ξ-⋅===.
…6分
（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153
P =
=， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴1
3601203
E η=⨯
=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分
19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ，OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，
在Rt VOB ∆中，可得30OV =，
则()0,0,30,V (
)3,3,0,A
-()
3,3,0B
，
()3,3,0,C -(
)
3,3,0,D --3,3,0,3M ⎛⎫
⎪ ⎪⎭
3330,,,222P ⎛⎫ ⎪ ⎪3330,,222Q ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝. ξ
0 2 3
P 2491
4591 2091 2
91
于是()
,0,,AP AB ⎛== ⎝u u u r u u u r
,AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u
r CQ =u u u
r .
（Ⅰ）∵0AP CQ ⎛
⋅=⋅= ⎝
u u u r u u u r
， ∴CQ AP ⊥u u u r u u u r
，即CQ ⊥AP ； …6分
（Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r
11n n
得30
0a b b ⎧--=⎪⎨=⎪
⎩
故)
1=
n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ，
设二面角B AP M --的平面角为θ
，则cos θ⋅=
=1212n n n n ． …12分
20．（Ⅰ）⊙F
1=，⊙F 的方程为()2
211x y -+=，
由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况：
（1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况：
作MH ⊥y 轴于H ，则1MF MH -=，即1MF MH =+，则MF MN =（N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足）
，则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线． ∴点M 的轨迹C 的方程为()2
40y x x =≠；
（2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况：
此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：
当不与x 轴垂直时，直线的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x
=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 ()2
2
2
2
240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122
24
,1k x x x x k
++== ∴121111sin sin 11AF BF x x αβ+=
+=+++1212121212221111
x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=，
对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线，交C 于一个点或无数个点，而非两个交点）. 综上，有sin sin 1αβ+=． …12分
21．（Ⅰ）∵()1
1f x ax
'=
-， ∴曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线斜率为()1
11k f a
'==
-， 依题意
110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()1
1f x x
'=-， 当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分
（Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有
ln 0x a >，10x -<，所以ln 1x
x a
>-，与题意
矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '=
-，令()0f x '=，得1x a
=. 当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1
x a
>时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1x a =处取得最大值111
ln a a a -，故对x +∀∈R ，()1f x ≤-恒成立，当且
仅当对a +∀∈R ，111
ln 1a a a
-≤-恒成立．
令
1
t a
=，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数
()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当
1
1a
=，即1a =时，111
ln 1a a a
-≤-成立． 故a 的取值集合为{}1． …12分 22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O e 的直径，∴90∠=︒ACB .
∴90∠+∠=︒B CAB
∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ， ∵AC 是弦，且直线CE 和O e 切于点C ， ∴∠=∠ACD B
∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆:ABC ACD ，∴
=
AC AD
AB AC
，由此得2=⋅AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD =AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ， 故∠BAD 的大小为120︒． …10分
23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆2
2
4x y +=上，
于是()
2
2
24x y +=即2
214
x y +=.
直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ，
设直线上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，
于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-=
故直线的方程为2380x y +-= …5分
（Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ，
它到直线的距离为d
其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55
ϕϕ=
=.
∴当0ϕϕπ-=时，max d = …10分
24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分
2=
=+
≥，
成立，需且只需122x x -+-≥，
即1122x x x <⎧⎨-+-≥⎩，或12122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩，或2122
x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，解得12x ≤，或5
2x ≥
故x的取值范围是
15
,,
22
⎛⎤⎡⎫
-∞+∞
⎪
⎥⎢
⎝⎦⎣⎭
U. …10分
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。