第四章 杆件的变形计算精选精品PPT

其中， C 和 D 是积分常x数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j 。
置有关，可以表示为关于 x 的函数。 在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。
d 2
3Md 2I p
+
x 3d πGI p
2 I p 540 a
3 40 π 80 10 3 1080 400
69.81MPa
M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 2a A 3M
+
jAC1π80M G ClB pC IBM G BA lpB IA
180 7Ma π GIp
E w I1 F (x l)2 d x C x D 1 F (x l) 3 C D x
2
6
E IE w IF (x l)d x C 1 F (x l)2 C
E w I1 F (x l) 2 d x C x D 2 1 F (x l) 3 C D x
y
2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均
应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段 计算或积分计算。
F F1
A(x)
l x
F2
l1
l2
F
l FNdx l EA(x)
F3 l3
l n FNili i1 EAi
b1 b
横向也会发生变形
F
F 横向应变
l l1
b b1 b
bb
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应
定其大小。
边界条件
EIz M (x)dx C
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在约束处的转角或挠度可以确定
F
A
B
x 0 w |x0 0 |x0 0
l x
F
x 0 w |x0 0 |x0 0
A
l x
B
x l w |xl 0 |xl 0
连续条件
EIz M (x)dx C
40kN A
60kN B
20kN C
400
41）求出轴力，并画出轴力图
400
400
FN KN 40
2）求伸长量
+
x llABlBC
－
20
lAB
FNABlAB EA1
40103 400
200103
800
0.1mm
伸长
lBC F N E Bl2 C B A C 220 0 1 10 3 30 0 2 44 0 0 0 0.16 m7m 缩短
单位长度扭转角的单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
dx GI p 当 M x 为常数时：
GI p
j l M x dx 0 GI p
j M xl
GI p
同种材料阶梯轴扭转时:
得到转角方程和挠度方程
某截面的竖向位移，称为该截面的挠度
某截面的竖向位移，称为该截面的挠度
一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。
扭转变形问题: 4-8 4-9
M 2M 在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其大小。
2
F
6 （4）确定积分常数 由边界条件
x
x0 A 0 wA 0
A x
EIz
B
wB
代入上面两式
B
1 Fl2 C 0 1Fl3 D0
2
6
l
C 1 Fl2 D 1 Fl 3
2
6
（5）列出转角方程和挠曲线方程，将 C、D 的值代入方程
j n M xili i1 GI pi
相对扭转角的单位: rad
请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别
例4-3
一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400N·m， T2=600N·m， T3=800N·m， d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计 算最大单位长度扭转角。
T1 d1
1 MM (x)
(x) EIEz I z
高等数学中，关于曲率的公式
在梁小变形情况下，(1 w2 ) 1
1 1
(x)(x)
(1www 2
)3
/
2
w M (x) EI z
w M (x) EI z
y
y
M
M
w f (x)
M
M
w f (x)
M 0, w 0
M 0, w 0
O
xO
x
梁的挠曲线近似微分方程最终可写为 w M (x) EI z
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边 界条件或连续条件将其确定。
F
w |x1a w |x20
A
B
|x1a |x20
l
a
b
x1 x2
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
l lA B lBC 0 .1 0 .16 7 0 .067缩短mm
例4-2 节点位移问题(教材70页)
如图所示桁架，钢杆AC的横截面面积A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa。木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模 量E2=10GPa。求铰接点C的位移。F = 40 kN。
C0 Cx
(此问题若用圆弧精确求解)
Cx 0.278mm
Cy 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
g
在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距
dj
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj
dj M x dx
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表示扭转变形的大小
x 73jDB2.33
第三节 梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程
一、梁的变形
梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
’ 1）求出轴力，并画出轴力图
B
某截面的法线方向与x轴 ’ 由扭于转弯 变矩形方问程题在: 4C-8点4处-9分段，故应对CAC和CB分别计算 的夹角称为该截面的转角 某截面的竖向位移，称为该截面的挠度
wB w
第一四般章 的处杆理件方的式A变是形把计梁算分段，并把C每段按照受力与变B形等效的原则变成x 表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。
A
F
B
30oC2
C
C1
y
FAC
F
30
FBC
C x
FAC si3n0F0FAC2F80kN 拉 伸长 F BC F Ac C o 3s 0 0FBC40 3kN 压 缩短
2）求AC和BC杆分别的变形量
A
F
lA CCC1 FEA1CAlA1C
B
30oC2
C
C1
80103100/c0os300.481mm
32
0.03978/rm ad
综合两段，最大单位长度扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-4
° 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, j DB=1 ,
j 纯弯曲求情况:下1梁)的最中性大层曲切率与应梁的力弯矩; 之间的关2）系是: AC
2）求AC和BC杆分别的变形量
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。
怎样应用表4-2中已有的结果？
挠度方程（挠曲线方程）
w f1(x)
转角方程
f2(x)
挠度和转角的正负号规定：
y
C’
A
C
x
B’
wB
w
B
x
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,
挠曲线方程，并求自由端的转角 B 和挠度 wB 。
F
A x
EIz l
B
wB
B
y
A x
F
（1）按照图示坐标系建立弯矩方程
请同学们自己做一下（时间:1分钟）
x
M (x)F(xl)
B
wB
EIz
B （2）挠曲线近似微分方程
E w IM (x ) F (x l)
l
（3）积分
E IE w IF (x l)d x C 1 2 F (x l)2 C
200103960
lBCCC2 FEB2CAlB2C
4031301000
0.27m 7m
1013025000
3）分别作AC1和BC2的垂线交于C0
A
Cx CC2 0.277mm
F
Cy C1C /sin30 C2C cot30
B
30oC2
C
C1
1.44mm
C点总位移：
Cy
C Cy2Cx2 1.47mm
A
T2
T3
d2
B
C
T1 d1
AMx N·m
+
T2
T3
d2
B
C
1400 800
x
1）根据题意，首先画出扭矩图
2）AB 段单位长度扭转角：
AB
M xAB GI pAB
1400 80109 π0.064
32
0.01375/rm ad
3）BC
段单位长度扭转角：
BC
M xBC GI pBC
800 80109 π0.044
第四章 杆件的变形 计算
第一节 拉压杆的轴向变形
直杆在其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，
而其横向变形相应变细或变粗
杆件在轴线方向的伸长
F
由胡克定律
l l1
Eε
F ll1l
纵向应变
FN
A
l l
得到轴向拉压变形公式 l FNl EA
F
l
F
l FNl EA
l1
公式的适用条件:
1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律
3M
第五节 用叠加法求梁的弯曲变形
对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理
由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算
由于在小变形的假设前提下
第四章 杆件的变形计算
D a C a B 例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；
2a A
M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 1）画出扭矩图
2）求最大切应力
2a A
首先要求出M 的数值
3M
jDBjDCjCB
+
x 1π80MG xDplICDCMG xCplIB CB
180 3Ma1 π GIp
M πGIp 540a
M 2M
D a C aB Mx 2M M
3M 2a A 3M
M πGIp 540a
max
Mmax Ip
A
1m
F
B
30o
C
分析
A
B
通过节点C的受力分析可以判断AC 杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而 F BC杆将缩短。
C
C2
C1
因此，C节点变形后将位于C3点
C3 C0
由于材料力学中的小变形假设，可
以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替 圆弧（以切代弧法），得到交点C0
[解] 1）分析节点C,求AC和BC的轴力（均预先设为拉力）
第四节 用积分法求梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程 w M (x)
EI z
对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确
变和横向应变存在如下的比例关系
泊松比
泊松比ν 、弹性模量 E 、切变模量G 都是材料的弹性常数，
可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存
在着下面的关系
G E
2(1 )
例题4-1 (教材70页)
如图所示阶梯形直杆，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2， BC段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量E=200GPa， 求该杆的总伸长量。
木杆BC的横截面面积A2=25000mm2，长1m，弹性模量E2=10GPa。 试求B 端转角和跨中挠度。
某截面的竖向位移，称为
该截面的挠度 若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
梁再在进平 行面一内次弯积曲分y时,可，得梁到轴挠线度从方原程来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 为正。
y
C’
A
C
x
挠度和转角的关系
B’
wB
w
B
x
w dy tan
dx
在小变形假设条件下
tan
w dy tan
dx
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
二、挠曲线近似微分方程
纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度 时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯 矩不再为常数。