第六章 几种离散型变量的分布及其应用(正式)

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小鼠存亡组合 生存 3 死亡 0
排列方式 甲 生 生 乙 生 生 死 生 死 生 死 死 丙 每种排列的概率
每种组合的概率
px
1
n x x
n x
3 生 0.20.20.2=0.008 px 0 0 0 1 3 0.008
第6章
几种离散型变量 的分布及其应用
Distribution and Application of Discrete Data
蒋红卫
Email: JHWCCC@21CN.COM
华中科技大学公卫学院 流行病与卫生统计系 1
讲课内容：
连续型： u、t、F分布
随机变量 概率分布
二项分布
离散型
Poisson分布
10 ! P( X 9) P( X ) 0.55X (1 0.55)10 X ！ X9 X 9 X! (10 X ) 10 ! 0.559 (1 0.55)10 9 9! (10 9)！ 10 ! 0.5510 (1 0.55)1010 10! (10 10)！ 10 0.559 0.45 0.5510 0.023257
死 0.20.20.8=0.032
3 生 0.20.80.2=0.032 px 1 1 1 1 2 0.096
2
1
生 死 生
生 0.80.20.2=0.032 死 0.20.80.8=0.128 死 0.80.20.8=0.128 px 2 3 2 1 1 0.384 2 生 0.80.80.2=0.128 死 0.80.80.8=0.512 px 3 3 3 1 0 0.512 3
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二、适用条件
1. 每次试验只会发生两种对立的结果之一， 两种互斥结果的概率之和恒等于1；
2. 每次试验产生某种结果（如“阳性”） 的概率π固定不变； 3. 各次试验是互相独立的，即任何一次试 验结果的出现不会影响其它试验结果出 现的概率。
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例1
设小白鼠接受某种毒物一定剂量时，其死 亡率为80%， 对每只小白鼠来说，其死亡 概率为0.8，生存概率为0.2，若每组各用甲、 乙、丙三只小白鼠逐只做实验，观察每组 小白鼠的存亡情况，其可能发生的结果见 下表。
本例n1=120，X1=36，p1=X1/n1=36/120=0.30； n2=110，X2=22，p2=X2/n2=22/110=0.20
36 22 36 22 1 1 S p1 p2 (1 )( ) 120 110 120 110 120 110 0.0573
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3.两样本率的比较 当n1与n2均较大，p1、1-p1和p2、1-p2均不 太小，如n1 p1、 n1(1-p1)和n2 p2、 n2(1-p2) 均大于5时：
p1 p 2 u S p1 p 2
S p1 p 2 X1 X2 X1 X2 1 1 1 n1 n 2 n 1 n 2 n1 n 2
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正态近似法
当n较大、p和1-p均不太小，如np和 n(1-p)均大于5时： （P － uα/2 Sp ， P + uα/2 Sp ）
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例3 在观测一种药物对某种非传染性疾病 的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染 性疾病患者100人，发现55人有效，试据 此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。 本例n=100，p=55/100=0.55
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3.图形 =0.5时，二项分布对称。 ≠0.5时，二项分布偏态。 当n较大、p和1-p均不太小，如np和 n(1-p) 均大于5时，二项分布近似正态 分布。
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0.4 0.3
p(X)
0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=3,π=0.5的二项分布
25
10
10
结论： 按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 认为实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率 要高于壶腹部-壶腹部吻合术妇女的受孕 率。
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直接法(双侧检验)
回答的是“有无差别”，所要计算的双 侧 检验概率P值应为实际样本(记“阳性” 次 数为k次)出现的概率与更背离无效假设 的极端样本(“阳性”次数i≠k)出现的概 率之和。
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例7 为研究某职业人群颈椎病发病的性别 差异，今随机抽查了该职业人群男性120 人和女性110人，发现男性中有36人患有 颈椎病，女性中有22人患有颈椎病。试作 统计推断。 记该职业人群颈椎病的患病率男性为π1， 女性为π2，其检验假设为 H0：π1=π2 H1：π1≠π2 34 =0.05
S p 0.55(1 0.55) / 100 0.0497
0.55±1.96×0.0497=0.4526,0.6474 即该药物治疗有效率的95%可信区间为 （45.26%，64.74% ）。
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2.样本率与总体率的比较 直接法(单侧检验) 若回答“差”或“低”的问题，需计算 出现“阳性”次数至多为K次的概率：
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正态近似法
当n较大、p和1-p均不太小，如np和n(1-p) 均大于5时，利用样本率的分布近似正态分 布的原理，可作样本率p与总体率0的比较。 检验统计量u值的计算公式为：
u
p 0 0 (1 0 ) / n
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例6 一般而言，对某疾病采用常规治疗， 其治愈率约为45%。现改用新的治疗方法， 并随机抽取180名该疾病患者进行了新疗 法的治疗，治愈117人。问新治疗方法是否 比常规疗法的效果好？ H0: =0.45 H1: ＞0.45 =0.05
n X n! X P( X k ) P( X ) (1 ) ！ X 0 X 0 X! (n X) k k
若回答“优”或“高”的问题，需计算 出现“阳性”次数至少为K次的概率：
n X n! X P( X k ) P( X ) (1 ) ！ Xk X k X! (n X ) 23 n n
1
2
死 死
0
3
死
9 (0.2 + 0.8)3 =(0.2)3 + 3 (0.2)2(0.3) +3 (0.2)(0.8)2+(0.8)3=1
每次实验n个独立个体中出现X个“阳性”概率
p( x ) Cn (1 )
x
x
n x
n! x nx (1 ) x! (n - x)!
比实际样本更背离无效假设的样本，即满 足P(X=i)≤0.040311的 i (i≠k) 分别有：0、1、 2、10。 P=P(X=9)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=10) = 0.040311+0.000105+0.001573+0.010617 +0.006047=0.058653 结论：按=0.05水准，不拒绝H0，尚不能 认为甲乙两种药物的疗效不同。
n=6,π=0.3的二项分布
0.3
0.2
p(X)
0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=10,π=0.3的二项分布
0.3
0.2
p(X)
0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n=20,π=0.3的二项分布
四、二项分布的应用
1. 总体率的区间估计 2. 样本率与总体率的比较 3. 两样本率的比较 4. 研究非遗传性疾病的家族集聚性
u=(0.30-0.20)/0.0573=1.745<u0.05/2=1.96 P>0.05 结论：按=0.05水准，不拒绝H0，即尚不能 认为该职业人群颈椎病的发病有性别差异。
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4. 研究非遗传性疾病的家族集聚性 非遗传性疾病的家族集聚性(clustering in families)，系指该种疾病的发生在家族成 员间是否有传染性？ 以家族为样本。
5. 群检验
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1.总体率的区间估计
查表法
对于n≤50小样本资料，直接查附表6“百分率 的可信区间”表。得总体率1-可信区间。
附表6中X最大为25，当X＞n/2时，按“阴性” 数n-X查得总体阴性率的1-可信区间QL～ QU，再转换成阳性率的1-可信区间： PL=1-QU ，PU=1-QL。
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一、定义
二项分布（binomial distribution) 是指在 只会产生两种可能结果如“阳性”或“阴 性”之一的n次独立重复试验（常常称为n 重Bernoulli试验）中，当每次试验的“阳 性”概率保持不变时，出现“阳性”的次 数X=0，1，2， ，n的一种概率分布。 记为X～B (n， )， n为试验次数， 为 “阳性”概率。
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例5 已知某种非传染性疾病采用甲药治疗 的有效率为0.60。今改用乙药治疗该病患 者10人，发现9人有效。问甲乙两种药物 的疗效是否不同？ H0: =0.60 H1: ≠0.60 =0.05
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10! P( X 9 ) 0.609 (1 0.60)10 9 0.040311 9! (10 9)!
负二项分布
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第一节 二 项 分 布
一、定义 二、适用条件
三、性质
四、二项分布的应用
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第一节 二项分布
Binomial Distribution
4Baidu Nhomakorabea
Bernoulli试验
毒性试验：白鼠 临床试验：病人 临床化验：血清 死亡——生存 治愈——未愈 阳性——阴性
特点：某结果发生(A)——结果不发生(非A) 这类只有两种互斥结果可能发生的单次随机 试验称为Bernoulli试验。
例4 据报道，对输卵管结扎了的育龄妇女 实施壶腹部-壶腹部吻合术后，受孕率为 0.55。今对10名输卵管结扎了的育龄妇女 实施峡部-峡部吻合术，结果有9人受孕。 问实施峡部-峡部吻合术妇女的受孕率是否 高于壶腹部-壶腹部吻合术？ H0: =0.55 H1: ＞0.55 =0.05
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按0.55的受孕率，10名实施峡部-峡部吻合 术的妇女，出现至少9人受孕的概率：
0.4 0.3
p(X)
0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=10,π=0.5的二项分布
0.5 0.4
p(X)
0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
n=3,π=0.3的二项分布
0.4 0.3
p(X)
0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
x 0,1,2, , n
C
x
n
也记作
n x
从n个不同元素中每次取出x个不同元素的组合
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数学中二项式定理
n （ a b）
Cn a Cn a b Cn a
n
0
1
n 1
2
n 2
b Cn ab
2
n 1
n 1
Cn b n
n
Cn a n-xb x
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例2 在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶 腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况， 发现有6人受孕，据此资料估计该吻合术 妇女受孕率的95%可信区间。 本例n=13，X=6。查附表6，取0.05时， 在n=13（横行）与X=6（纵列）的交叉处 数值为19～75，即该吻合术妇女受孕率的 95%可信区间为（19%，75%）。
x x0
n
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三、性质
1.平均数 μ=nπ
μp=π(以率表示)
2.标准差
p n(1 ) (1 ) (以率表示) n
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例1中出现“阳性”次数的均数与标准差
X x n 3 0 .8 2 . 4 X p 0 .8 S x n(1 ) 3 0.8(1 0.8) 0.6928 S p (1 ) / n 0.8 (1 0.8) / 3 0.2309
31
u
p 0 0 (1 0 ) / n 117 / 180 0.45 0.45 1 0.45） 180 （ / 5.394
u=5.394＞u0.0005=3.2905 p＜0.0005 结论：按=0.05水准，拒绝H0，接受H1， 认为新治疗方法比常规疗法效果好。