广东省潮阳市黄图盛中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案

潮阳黄图盛中学2016-2017学年度第一学期期中考试
高二理数（必修二）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷上，请将答案填写在答题卷对应区域， 考试结束后，监考员将答题卷收回，试卷考生自己保管．
球的体积公式：3
43
V R π= 球的表面积公式：2
4S R π=
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题,每小题5分,共60分。

1．设0.6
1.50.60.6
0.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是（ )
A . a b c ＜＜
B ． a c b ＜＜
C ．b a c ＜＜
D ．b c a ＜＜2．已
知向量(2,1),(,2)a b x ==-，且a b +与2a b -平行，则实数x 的值等于（ ）
A .4-
B 。

4
C 。

6-
D 。

6
3。

圆2
2(2)
4
x y ++=与圆2
2(2)
(1)9
x y -+-=的位置关系为 （ ）
A.内切 B 。

相交 C. 外切 D. 相离
4．下列说法不正确的．．．．
是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；
C 。

过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；
D. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
5．执行右边的程序框图，输出的结果是(
A ．错误!
B ．错误!
C ．错误!
D ．错误!
6．设{}n
a 为递减等比数列,1121=+a a
，1021=⋅a a ,
则
1021lg lg lg a a a +⋅⋅⋅++=（
）
A ．35
B ．－35
C ．55
D ．－55
7。

某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）
A ．5π
B ．12π
C ．20π
D ．8π 8．过点),(a a A 可作圆0322222
=-++-+a a ax y x 的两条切线，
则实数a 的取值范围为（ )
A ．3-<a 或2
31<<a B ．2
31<<a C ．3-<a D ．13<<-a 或23
>a
9．若x ,y 满足约束条件错误!,则1222
+-+x y x
的取值范围是（ )
A ．［错误!,2]
B ．
C ．
D ．[错误!, 错误!]
10。

已知O 为原点，点A ,B 的坐标分别为(a ，0)，（0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有错误!＝t 错误!(0≤t ≤1)，则错误!·错误!的最大值为（ )
A ．a
B ．2a
C ．3a
D ．a 2
11。

已知正四棱柱111
1
ABCD A BC D -中1
AA AB =，则CD 与平面1
BDC 所成角的正
正视图
俯视图
侧视图
弦值等( ）
A ．23
B ．
33
C ．
23
D ．2
55
12．已知函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．
B ．[错误!，2)
C ．(错误!,2］
D ．[错误!，2]
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．已知两直线1
2
:(1)210,:20l a x y l
x ay +-+=+-=。

当_________=a 时，21
l l
⊥。

14．当0x <时，2()f x x x
=--的最小值是 .
15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个,则三位数的回文数中,偶数的概率是 .
16．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则
异面直线 BA 1与AC 1所成的角等于 。

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
P
A B C
D E
温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分．
17．(10分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知a ＝b cos C＋c sin B.
（1)求B；(2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
18。

(12分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD，//
EC PD，且2
PD AD EC
===2 .
（1）在答题卷指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主）视图和侧(左)视图；
（2）求证://
BE平面PDA．
（3)求四棱锥B－CEPD的体积；
_俯视图
19.（12分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22
=-+y x 相交于P 、Q
两点, l 与
直线m :063=++y x 相交于N 。

（１）当l 与m 垂直时，求直线l 的方程，
关系；
(２）当||PQ =,求直线l 的方程。

20．(12分）如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，
F 为CE 上的点，且BF⊥平面ACE 。

（1)求证:AE⊥平面BCE ； (2)求二面角B-AC —E 的余弦值.
21．（12分）等差数列｛a n｝的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4。

(1)求{a n｝的通项公式;
(2）设b n＝错误!,求数列｛b n}的前n项和T n.
22．(12分）已知函数f(x)＝ax2－2x＋1.
（1)当0
a ，试讨论函数f（x）的单调性；
（2)若错误!≤a≤1，且f（x）在上的最大值为M(a），最小值为N(a)，令g（a)＝M（a)－N（a），求g（a）的表达式；
(3）在(2)的条件下，求g（a)的最大值。

2016—2017学年度第一学期期中考试参考答案及评分标准
高二数学（理科）
一、选择题：
二、填空题:13。

1 14。

2 15。

49
16.
060
三、解答题：
17.解：解：（1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①——-——1分
又A ＝π－（B ＋C ），故sin A ＝sin(B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ，② --—--2分
由①②和C ∈（0，π)，得sin B ＝cos B 。

又B ∈(0，π）,所以B ＝π
4
. --——-4分
（2)△ABC 的面积S ＝1
2
ac sin B ＝错误!ac ， ———--5分
由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，即4＝a 2
＋c 2
－2ac cos π
4
.
————-6分
又a 2＋c 2≥2ac ,故ac ≤错误!＝4＋2错误!, —----8分
当且仅当a ＝c 时，等号成立．此时S ＝错误!×（4＋2错误!）＝错误!＋
1，-—--—9分
因此△ABC 面积的最大值为错误!＋1. -———-10分
18.解:（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示:---—-2分 （3） 证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ， EC ⊄平面PDA
∴EC//
平
面
PDA ,————--—-——--——---——-----——-—-----——-3
分
同理可得BC//平面PDA --——----——-—---—---—-—--—-—4分 ∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴
平
面
BEC
//
平
面
PDA
--—--—--—-———————---——6分
又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA —--———-—-——7分
(2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD
∵BC CD ⊥ 又ABCD ,ABCD PDCE CD BC ⋂=⊂平面平面平面 ∴BC ⊥平面PDCE —-------——10分 ∵11
()32322S
PD EC DC =
+⋅=⨯⨯=梯形PDCE
----—--11分
∴四棱锥
B －CEPD 的体积
11
322
33B CEPD PDCE V S BC -=⋅=⨯⨯=梯形
-—-——-12分
19。

解:（１）∵l 与m 垂直,且3
1
-
=m
k
，∴3l k =， 故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=………3分
圆心C 在l 上,理由是圆心坐标（0，3）满足直线l 方程……………5分 （２）①当直线l 与x 轴垂直时， 易知1-=x 符合题意………6分
②当直线l 与x 轴不垂直时, 设直线l 的方程为
)
1(+=x k y ，即
0=+-k y kx ， (7)
分
∵32=PQ ，∴134=-=
CM ， (8)
分
则由11
|3|2=++-=k k CM ,得3
4=k , ∴直线l :0434=+-y x 。

………11分
故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x …………………12分
20．（1）证明：∵
⊥
BF 平面ACE 。

.
BF ACE ⊂平面 .AE BF ⊥∴
-——---——---—-—--——1分
∵二面角D —AB —E 为直二面角,且ABCD ACE AB ⋂=平面平面，
BC ABCD ⊂平面，AB CB ⊥
⊥∴CB 平面
ABE --——-——-———--—----3分
.AE ACE ⊂又
平面AE CB ⊥∴——-——---—-———--———4
分
又∵BF ∩CB =B ，,BF BCE CB BCE ⊂⊂平面平面
BCE AE 平面⊥∴
—--—-—————-—-
(2）解：连结BD 交AC 于G ，连结FG.
∵⊥BF 平面ACE ，∴⊥BF AC
又∵正方形ABCD 中，BG AC ⊥,且BF ∩∴BFG 面⊥AC AC GF ∴⊥
BGF
∴∠即为二面角B —AC —E 的平面角----—-------——----8分
∵AE ⊥面BCE ，AE EB ∴⊥，AE EB ∴==
在∆Rt BCE 中,可求CE =3
BE BC BF CE ⋅=
=，
∴在∆Rt BFG 中,FG =
3
6
)332(
)2(2222=
-=-BF BG
∴33236
cos ===∠BG FG BGF ，即二面角B —AC —E 的余弦值
为
-—--————-----——---12分
21。

解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知,等差数列｛a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0,a 5≤0，——-——2分
于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0。

--—-—4分
解得－错误!≤d ≤－错误!.因此d ＝－3. ———-—5分 数列{a n ｝的通项公式为a n ＝13－3n 。

—----6分
(2）b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）
＝错误!错误!。

-—---8分 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝错误!错误!错误! -—--—10分
＝错误!错误!＝错误!。

—-——-12分
22．解 （1）
11a>0,f(x)))11a<0,f(x)))a a a a ∞∞∞∞当在(-,上递减，在(，+上递增当在(-,上递增，在(，+上递减 ———-—2分
(2）∵错误!≤a ≤1，∴f （x )的图象为开口向上的抛物线，且对称轴为
x ＝1a
∈． ∴f （x )有最小值N （a ）＝1－错误!.
当2≤错误!≤3时，a ∈[错误!，错误!］,f （x ）有最大值M （a ）＝f (1) ＝a －1;
当1≤错误!<2时，a∈（错误!，1]，f(x）有最大值M(a）＝f(3)＝9a－5；
∴g（a)＝错误!--———7分
(3)设1
3
≤a1〈a2≤错误!,则g(a1）－g（a2）＝(a1－a2）（1－错误!)〉0，
∴g(a1）〉g（a2)，∴g(a)在[错误!，错误!]上是减函数．
设错误!<a1〈a2≤1，则g(a1）－g(a2)＝(a1－a2）（9－错误!）<0，∴g （a1)<g(a2），
∴g（a）在（错误!，1]上是增函数．
∴当a＝错误!时,g（a)有最小值错误!。

-——--12分。