第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
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+ − ＝ − − ，
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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1
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
2
6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
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1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
3
6
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1
−
2
−
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
[评价活动]
1 ． 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1 ，设＝，＝，
1
C．－a－b＋ c
2
1
D．a－b＋ c
2
A
)
解析：因为N是BC的中点，所以1 ＝1 + + ＝ − +
1
+ ＝
2
−++
1
＝
2
−+
1
+ ．故选A.
2
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥AB1.
证明：设＝，1 ＝，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝
0，|a|＝|b|＝|c|.
1
1
1
因 为 ＝1 + 1 ＝ 1 + 1 1 ＝ (1 ＋ ) ＝ ൫1
2
2
2
1
− ൯＝ (－a＋b＋c)，1 ＝ + 1 ＝ + 1 ＝a＋b，
2 − ＝ − 1，
所以，，不共面，所以{，，}可以作为空间的一个
基底．
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基
底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①若已知向量中存在零向量，则不能构成基底；若其中一
“人质”隐藏在某超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高
3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的
隐藏地由 “南 1 000 m”“东600 m”“5楼”这三个量确定．设e1是向南
的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
(1)请把“人质”的位置用向量e1，e2，e3表示出来．
知识点三
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
正交分解
两两垂直
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都
单位正交基底
为_，那么这个基底叫做____________，常用{i，j，k}表示．由空间
1
向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量
xi＋yj＋zk
xi，yj，zk，使a＝__________．像这样，把一个空间向量分解为三
基向量．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点与基向量的起点相
同，一般考虑向量的加法，否则考虑向量的减法；如果此向量与一
个易求的向量共线，可用向量的数乘运算．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务三 空间向量基本定理的应用
1．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1 解析：在正八面体ABCDEF中，，，不共面，P，Q分别
为棱AB，AD的中点，
· ＝ · ＝||||cos 60°＝2，
1
1
· ＝0.因为＝ + ，
2
2
1
1
＝ + + ＝ + + − ＝ − − +
2
1
1
所以 · 1 ＝ (－a＋b＋c)·(a＋b)＝ 2 − 2 ＝0.
2
2
所以⊥1 ，即EF⊥AB1.
+
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
02
任务型课堂
任务一 基底的判断
任务二 用基底表示空间向量
任务三 空间向量基本定理的应用
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
(2)空间中的任意向量都能用向量e1，e2，e3表示出来吗？
提示： (1) 1 000e1＋600e2＋14e3.
(2)向量e1，e2，e3构成空间的一个基底，可以表示出空间中的任意向量．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
探究2：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
2．已知四棱锥 P-OABC的底面为一矩形 ，PO⊥平面OABC.设
＝，＝，＝c，E，F分别是PC和PB的中点．
(1)判断a，b，c能否构成空间的一个基底；
解：＝，＝，＝c不共面，能构成空间的一个基底．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
4
)
D．a＋b
1
+ ，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构
4
1
成空间的一个基底，排除A；因为b＝
2
−
1
，所以b，p，q共面，
2
3
故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝
4
−
1
，所以a＋b，p，q共面，故a＋b，p，q不能构成空间的一个基
4
底，排除D.故选C.
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
3．(多选)已知空间中的四个点O，A，B，C,且{，，}为空
间的一个基底，则下列说法正确的是( ACD )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
(2)若a，b，c可以构成空间的一个基底，用a，b，c表示，，
，.
1
1
解：如图所示，连接BO，则＝ ＝ + ＝
2
2
1
1
1
1
1
+ + ＝ (c－b－a)＝－ − + ，
2
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1
1
1
1
＝ + ＝ − + ＝ − + + ＝－a－ + ，
如果三个向量a，b，c______，那么所有空间向量组成的集合就是
xa＋yb＋zc
{p|p＝__________，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c
生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做
基向量
不共面
______．空间任意三个______的向量都可以构成空间的一个基底．
方程组无解，a＋b，a－c，b不共面，
可以构成空间的一个基底，A正确；
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1
1
对于B，c＝ (b＋c)－ (b－c)，所以c，b＋c，b－c共面，不能构成空
2
2
间的一个基底，B错误；
对于C，b＋c＝(a＋b＋c)－a，所以b＋c，a＋b＋c，a共面，不能构
{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0
B．1
C．2
D．3
C
解析：命题①②是真命题，命题③是假命题．
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
2．若向量a，b，c构成空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋
b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(
A．a
C
B．b
C．c
1
解析：因为a＝
2
M，N分别是PC，PD上的点，且＝ ，N＝，试求满足
3
＝ + + 的实数x，y，z的值．
提示： 如图，取PC的中点E，连接NE，则＝ − ＝
1
－
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−
6
+
1
2
1
1
1
− ＝ − − ＝ − ＝
2
xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的______．
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c______，那么对任意一个空间向量p，存在唯
不共面
xa＋yb＋zc
一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．
1.2 空间向量基本定理
知识点二
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
基底
不共面
2
2
2
2
1
1
＝ + ＝ + + + ＝－a＋c＋ (－c＋b)＝－a＋
2
2
1
1
1
1
1
+ ，＝ ＝ ＝ ．
2
2
2
2
2
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，起点相同的三个不共面的向量作为
个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程
组．若方程组有解，则共面，不能够成基底；若无解，则不共面，
能构成基底．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务二 用基底表示空间向量
[探究活动]
探究1：某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将
任务型课堂
课后素养评价
任务一 基底的判断
1．若a，b，c构成空间的一个基底，则下列各组向量能构成空间的
一个基底的是(
)
A．a＋b，a－c，b
B．c，b＋c，b－c
C．b＋c，a＋b＋c，a
D．a，a＋b，a－b
A
解析：对于A，假设a＋b，a－c，b共面，则可设a＋b＝λ(a－c)
＋μb(λ，μ∈R)，则
第一章 空间向量与立体几何
1.2
空间向量基本定理
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
学习任务目标
1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及
其坐标表示．(数学抽象)
2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其
他向量的方法．(数学抽象)
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
成空间的一个基底，C错误；
1
1
对于D，因为a＝ (a＋b)＋ (a－b)，所以a，a＋b，a－b共面，不能
2
2
构成空间的一个基底，D错误．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝1 + 22 − 3 ，
＝ − 31 + 2 + 23 ， ＝e1 ＋e2 －e3.试判断{，， }能否
1 ＝c，P是CA1 的中点，M是CD1 的中点．用a，b，c表示如下向
量：
(1)；(2).
1
解：(1)＝
2
1
(2)＝
2
+
+
1
1 ＝
2
1
1 ＝
2
+ +
+ 2 +
1
1 ＝ (a＋b＋c)．
2
1
1 ＝
2
++
1
c.
2
1.2 空间向量基本定理
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．在以下3个命题中，真命题的个数是(
)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共
面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则
作为空间的一个基底．
解：假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝ + ，
所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋
μ)e2＋(2λ－μ)e3.
−3 + ＝1，
因为e1，e2，e3不共面，所以ቐ + ＝2，
此方程组无解，
个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行________．
正交分解
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，设1 ＝，＝，
＝c，N是BC的中点，用a，b，c表示1 为(
1
A．－a＋b＋
2
B．－a＋b＋c
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1
3
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+ − ＝ − − ，
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3
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3
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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3
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1
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2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
[评价活动]
1 ． 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1 ，设＝，＝，
1
C．－a－b＋ c
2
1
D．a－b＋ c
2
A
)
解析：因为N是BC的中点，所以1 ＝1 + + ＝ − +
1
+ ＝
2
−++
1
＝
2
−+
1
+ ．故选A.
2
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥AB1.
证明：设＝，1 ＝，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝
0，|a|＝|b|＝|c|.
1
1
1
因 为 ＝1 + 1 ＝ 1 + 1 1 ＝ (1 ＋ ) ＝ ൫1
2
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1
− ൯＝ (－a＋b＋c)，1 ＝ + 1 ＝ + 1 ＝a＋b，
2 − ＝ − 1，
所以，，不共面，所以{，，}可以作为空间的一个
基底．
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基
底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①若已知向量中存在零向量，则不能构成基底；若其中一
“人质”隐藏在某超市往南1 000 m，再往东600 m处的某大厦5楼(每层楼高
3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的
隐藏地由 “南 1 000 m”“东600 m”“5楼”这三个量确定．设e1是向南
的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
(1)请把“人质”的位置用向量e1，e2，e3表示出来．
知识点三
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
正交分解
两两垂直
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都
单位正交基底
为_，那么这个基底叫做____________，常用{i，j，k}表示．由空间
1
向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量
xi＋yj＋zk
xi，yj，zk，使a＝__________．像这样，把一个空间向量分解为三
基向量．
(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点与基向量的起点相
同，一般考虑向量的加法，否则考虑向量的减法；如果此向量与一
个易求的向量共线，可用向量的数乘运算．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
任务三 空间向量基本定理的应用
1．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1 解析：在正八面体ABCDEF中，，，不共面，P，Q分别
为棱AB，AD的中点，
· ＝ · ＝||||cos 60°＝2，
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· ＝0.因为＝ + ，
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＝ + + ＝ + + − ＝ − − +
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所以 · 1 ＝ (－a＋b＋c)·(a＋b)＝ 2 − 2 ＝0.
2
2
所以⊥1 ，即EF⊥AB1.
+
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
02
任务型课堂
任务一 基底的判断
任务二 用基底表示空间向量
任务三 空间向量基本定理的应用
任务型课堂
课后素养评价
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
(2)空间中的任意向量都能用向量e1，e2，e3表示出来吗？
提示： (1) 1 000e1＋600e2＋14e3.
(2)向量e1，e2，e3构成空间的一个基底，可以表示出空间中的任意向量．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
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课后素养评价
探究2：点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，
问题式预习
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课后素养评价
2．已知四棱锥 P-OABC的底面为一矩形 ，PO⊥平面OABC.设
＝，＝，＝c，E，F分别是PC和PB的中点．
(1)判断a，b，c能否构成空间的一个基底；
解：＝，＝，＝c不共面，能构成空间的一个基底．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
4
)
D．a＋b
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+ ，所以a，p，q共面，故a，p，q不能构
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1
成空间的一个基底，排除A；因为b＝
2
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，所以b，p，q共面，
2
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故b，p，q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝
4
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1
，所以a＋b，p，q共面，故a＋b，p，q不能构成空间的一个基
4
底，排除D.故选C.
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
3．(多选)已知空间中的四个点O，A，B，C,且{，，}为空
间的一个基底，则下列说法正确的是( ACD )
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线
D．O，A，B，C四点不共面
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
(2)若a，b，c可以构成空间的一个基底，用a，b，c表示，，
，.
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解：如图所示，连接BO，则＝ ＝ + ＝
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+ + ＝ (c－b－a)＝－ − + ，
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＝ + ＝ − + ＝ − + + ＝－a－ + ，
如果三个向量a，b，c______，那么所有空间向量组成的集合就是
xa＋yb＋zc
{p|p＝__________，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c
生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做
基向量
不共面
______．空间任意三个______的向量都可以构成空间的一个基底．
方程组无解，a＋b，a－c，b不共面，
可以构成空间的一个基底，A正确；
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
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课后素养评价
1
1
对于B，c＝ (b＋c)－ (b－c)，所以c，b＋c，b－c共面，不能构成空
2
2
间的一个基底，B错误；
对于C，b＋c＝(a＋b＋c)－a，所以b＋c，a＋b＋c，a共面，不能构
{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0
B．1
C．2
D．3
C
解析：命题①②是真命题，命题③是假命题．
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
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2．若向量a，b，c构成空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋
b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(
A．a
C
B．b
C．c
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解析：因为a＝
2
M，N分别是PC，PD上的点，且＝ ，N＝，试求满足
3
＝ + + 的实数x，y，z的值．
提示： 如图，取PC的中点E，连接NE，则＝ − ＝
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1
1
− ＝ − − ＝ − ＝
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xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的______．
2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c______，那么对任意一个空间向量p，存在唯
不共面
xa＋yb＋zc
一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．
1.2 空间向量基本定理
知识点二
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
基底
不共面
2
2
2
2
1
1
＝ + ＝ + + + ＝－a＋c＋ (－c＋b)＝－a＋
2
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1
+ ，＝ ＝ ＝ ．
2
2
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问题式预习
1.2 空间向量基本定理
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
基向量的选择和使用方法
(1)尽可能选择具有垂直关系的，起点相同的三个不共面的向量作为
个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程
组．若方程组有解，则共面，不能够成基底；若无解，则不共面，
能构成基底．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
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任务二 用基底表示空间向量
[探究活动]
探究1：某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将
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任务一 基底的判断
1．若a，b，c构成空间的一个基底，则下列各组向量能构成空间的
一个基底的是(
)
A．a＋b，a－c，b
B．c，b＋c，b－c
C．b＋c，a＋b＋c，a
D．a，a＋b，a－b
A
解析：对于A，假设a＋b，a－c，b共面，则可设a＋b＝λ(a－c)
＋μb(λ，μ∈R)，则
第一章 空间向量与立体几何
1.2
空间向量基本定理
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
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学习任务目标
1．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及
其坐标表示．(数学抽象)
2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其
他向量的方法．(数学抽象)
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
成空间的一个基底，C错误；
1
1
对于D，因为a＝ (a＋b)＋ (a－b)，所以a，a＋b，a－b共面，不能
2
2
构成空间的一个基底，D错误．
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
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2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝1 + 22 − 3 ，
＝ − 31 + 2 + 23 ， ＝e1 ＋e2 －e3.试判断{，， }能否
1 ＝c，P是CA1 的中点，M是CD1 的中点．用a，b，c表示如下向
量：
(1)；(2).
1
解：(1)＝
2
1
(2)＝
2
+
+
1
1 ＝
2
1
1 ＝
2
+ +
+ 2 +
1
1 ＝ (a＋b＋c)．
2
1
1 ＝
2
++
1
c.
2
1.2 空间向量基本定理
1.2 空间向量基本定理
问题式预习
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[微训练]
1．在以下3个命题中，真命题的个数是(
)
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共
面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则
作为空间的一个基底．
解：假设，，共面，则存在实数λ，μ使得＝ + ，
所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋
μ)e2＋(2λ－μ)e3.
−3 + ＝1，
因为e1，e2，e3不共面，所以ቐ + ＝2，
此方程组无解，
个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行________．
正交分解
问题式预习
1.2 空间向量基本定理
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[微训练]
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，设1 ＝，＝，
＝c，N是BC的中点，用a，b，c表示1 为(
1
A．－a＋b＋
2
B．－a＋b＋c