人教版初二数学讲义《四边形中的动点问题》

1
题型切片（两个）
对应题目
题型目标
由动点产生的特殊图形 例1，例2，例3，练习1，练习2，练习3； 由动点产生的函数关系
例4，例5，例6，例7，练习4，练习5．
本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．
编写思路
题型切片
知识互联网
8
四边形中的动点问题
2
我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．
【例1】 已知如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，、(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当ODP △是腰长为5角形时，点P 的坐标为 ． (101中学初三月考
【解析】
()34，、()24，或()84，
【例2】 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，分别
从A 、C 两点以相同的速度1cm/s 向C 、A 运动． ⑴四边形DEBF 是平行四边形吗?请说明理由．
⑵若BD =12cm ，AC =16cm ，当运动时间t 为何值时，四边形DEBF 是矩形?
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
A B C
D
E
F
O
O
F
E
D
C
B A
【解析】 ⑴四边形DEBF 是平行四边形
理由：
思路导航
典题精练
题型一：由动点产生的特殊图形
P D x
y
B A C
O
3
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA ＝OC ，OB ＝OD
∵E ，F 两动点，分别从A ，C 两点以相同的速度向C ，A 运动 ∴AE ＝CF ∴OE ＝OF
∴BD 、EF 互相平分
∴四边形DEBF 是平行四边形 ⑵∵四边形DEBF 是平行四边形
∴当BD ＝EF 时，平行四边形DEBF 是矩形 ∵BD ＝12cm ， ∴EF ＝12cm ∴OE ＝OF ＝6cm ∵AC ＝16cm ∴OA ＝OC ＝8cm
∴AE ＝2cm 或AE ＝14cm ∵动点的速度是1cm/s ∴t ＝2s 或t ＝14s
【例3】 如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA ∥BC ，BC =14cm ，A 点坐
标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s 的速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P
也停止运动，设运动时间为t s ()04t ≤≤．
⑴ 求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形？ ⑵ 求当t 为多少时，PQ 所在直线将梯形OABC 分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ 的函数关系式．
【解析】 ⑴∵t s 后，BP =()142t -cm ，AQ =4t cm ．由
BP= AQ ，得1424t t -=，t =3
7
(s)． ∴当t =
3
7
s 时，BP= AQ ，又OA ∥BC ， ∴四边形PQAB 为平行四边形．
⑵∵C 点坐标为（0，2），A 点坐标为（16，0）， ∴OC =2 cm ，OA =16 cm ． ∴OABC S 梯形=
21(OA+BC )·OC =2
1×(16+14)×2=30(cm 2)． ∵t s 后，PC =2t cm ，OQ =164t -cm ， ∴PQ O C S 四边形=
()1
216421622
t t t +-⨯=-． 由题意可得PQ O C S 四边形=10，∴16210t -=，解得t =3s ． 此时直线PQ 的函数关系式为4y x =-．
4
【探究】四边形中的动态问题
【探究1】单动点问题；
【变式1】如图，在矩形OABC 中，已知点B 的坐标为(9，4)，点P 是矩形边上的一个动点，
若点E 的坐标为(5，0)，且△POE 是等腰三角形，求点P 的坐标？
【解析】如图，()431,P ，()422,P ，()4523,.P ，()394,P .
【探究2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；
【变式2】如图，矩形ABCD 中，B 的坐标为(34，4)，一动点P 从O 出发，以每秒1个
单位的速度，从点O 出发沿OA 向终点A 运动，同时动点Q 以每秒2个单位的速度从点O 出发沿OB 向终点B 运动.过点Q 作QE ⊥OB ，交AB 于点
E ，连接PE 、PQ .设运动时间为t 秒.求t 为何值时，PE ∥OB .
【解析】PQ =BE 时，PE ∥OB ，此时7
16=
t .
5
【探究3】线动问题，线动问题转化为点动问题；
【变式3】如图，矩形ABCO 中，B 的坐标为(34，4)，一动点P 从O 出发，以每秒1个
单位的速度，从点O 出发沿OA 向终点A 运动，过点P 作直线PF ⊥OB ，交OB 于点F ；同时将直线PF 以每秒3个单位向右平移，分别交AB 、OB 于点E 、Q ，连接PE .设运动时间为t 秒.求t 为何值时，PE ∥OB .
【解析】同上，此时7
16=
t .
【探究4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题； 【变式4】如图，直角Rt △ABO 中，A 的坐标为(
215，32
5)，斜边中线AC 将这个直角三角形分成了两个等腰三角形△AOC 与△ABC （如图所示），将△AOC 沿直线x 轴正方向平移得到△111C O A ，当点1O 与点C 重合时，停止平移。

在平移的过程中，11O A 与OB 交于点D ，11B O 与BC 交于点E .设平移距离1OO 为x ，△111C O A 与△ABC 重叠部分的面积为y ，是否存在这样的x ,使得重叠部分面积等于原△ABO 面积的4
1
？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】2
5=
x .
6
Q P R
M N
4 9
y
x
O G
H
F
E
D
C
B
A
【例4】 ⑴如图1，在矩形MNPQ 中，动点R 从点N 出发，沿N →P →Q →M 方向运动至点M 处
停止．设点R 运动的路程为x ，△MNR 的面积为y ，如果y 关于的函数图象如图2所示，则当9x 时，点R 应运动到（ ）
（161期中）
A ．N 处
B ．P 处
C ．Q 处
D ．M 处
图1 图2
⑵如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀 速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ） （重庆中考）
【解析】 ⑴ C ；⑵ B ．
【例5】 正方形ABCD 的边长为2厘米，点E 从点A 开始沿AB 边移动到点B ，点F 从点B 开始沿BC 边移动到点C ，点G 从点C 开始沿CD 边移动
D C P B
A
O
3 1 1 3 S x A ．
O
1
1 3 S
x O
3 S
x 3
O
1 1 3 S
x
B ．
C ．
D ．
2 典题精练
题型二：由动点产生的函数关系
7
到点D ，点H 从点D 开始沿DA 边移动到点A 、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t （秒） ⑴求证：△HAE ≌△EBF ；
⑵设四边形EFGH 的面积为S （平方厘米），求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
【解析】 ⑴t 秒时，AE =0．5t ，BF =0．5t ，DH =0．5t
∴AE =BF =DH
∵四边形ABCD 为正方形 ∴∠A =∠B =90°，AD =AB ∴AH =BE =20.5t - ∴△HAE ≌△EBF
⑵由⑴同理可得Rt △HAE ，Rt △EBF ，Rt △FCG 以及Rt △GDH 四个三角形两两全等
211
40.5(20.5)42422
=-⨯⨯-⨯=-+S t t t t
自变量t 的取值范围是04t ≤≤
【例6】 如图，已知正方形ABCD 与正方形EFGH
的边长分别是
它们的中心12
O O ，都在直线l 上，AD l ∥，EG 在直线l 上，l 与DC 相交于点M
，7ME =-，当正方形EFGH 沿直线 l 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形ABCD 也绕1O 以每秒45°顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）在开始运动前，12O O = ；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形ABCD 停止旋转，这时AE = ，12O O = ；
（3）当正方形ABCD 停止旋转后，正方形EFGH 继续向左平移的时间为x 秒，两正方形重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．
【解析】 （1）9．
（2）0，6．
（3）当正方形ABCD 停止运动后，正方形EFGH 继续向左平移时，与正方形ABCD 重
叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积y 与x 之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当04x <≤时，EA x =∵，
图1
图2
图3
8
x A B C
D
O y O F G H E C B A
y x y ∴与x 之间的函数关系式为2
2
x y =．
②如图2，当48x <≤时，y 与x 之间的函数关系式为()
2
228y ==．
③如图3，当812x <≤时，12CG x =-∵， y ∴与x 之间的函数关系式为()
2
2
12112722
2
x y x x -=
=
-+． ④当12x ≥时，y 与x 之间的函数关系式为0y =．
【例7】 将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在x 轴上， 点C 在y 轴
上，OA =10，OC =8．
⑴ 如图1在OC 边上取一点D ，将△BCD 沿BD 折叠，使点C 恰好落在OA 边上，记作E 点；
① 求点E 的坐标及折痕DB 的长；
② 在x 轴上取两点M 、N （点M 在点N 的左侧），且54.MN =，求使四边形BDMN 的周长最短的点M 、点N 的坐标．
⑵ 如图2，在OC 、CB 边上选取适当的点F 、G ，将△FCG 沿FG 折叠，使点C 落在
OA 上，记为H 点，设OH =x ，四边形OHGC 的面积为S ．求：S 与x 之间的函数关系式，并指出变量x 的取值范围．
图1 图2
【解析】 ⑴① 在矩形OABC 中，BC =OA =10， BA =OC =8．
由折叠可知：△CBD ≌ △EBD ， ∴BE =BC =10．
在Rt △BAE 中，EA =22BA BE -=6． OE =OA －AE =4， ∴E (4，0)．
设CD ＝x ，
∵△CBD ≌ △EBD ，
∴DE =CD =x ， OD =8－x ．，
在Rt △ODE 中， DE 2 =OD 2＋OE 2 ， ∴x 2 =（8－x ）2＋42 ， ∴x =5．
真题赏析
9
在Rt △CDB 中， BD =22BC CD +=55
② 要使DB+ DM+MN+ BN 最短，只需要DM+BN 最短．
将点B (10，8 )向左平移4．5个单位长度，得
B 1(5．5，8)， ∴BB 1＝4．5
∵MN =4．5， ∴BB 1∥M N ，
∴BNMB 1是平行四边形． ∴B 1M = BN ．
作D 关于x 轴的对称点D 1(0，-3)， 连接B 1D 1， 由对称性及两点之间线段最短可知：B 1D 1与x 轴的交点为所求M 点， 在x 轴上点M 的右侧作MN =4．5，得所求N 点．
可求得直线B 1D 1的解析式为 23y x =-，
∴M (3
2，0 )，N (6，0 )．
⑵过点G 作GK ⊥OA 于K ，设CG ＝y ， ∴OK =CG ＝y ，GK =OC ＝8． 由折叠可知：△CGF ≌△HGF ， ∴GH =CG ＝y ，
∴HK = OK －OH =＝y －x ．
在Rt △HKG 中，HG 2 =HK 2＋GK 2 ， ∴()2
228y y x =-+，
2
642x y x
+=
， OC CG OH S ⋅+=)(218)264(212⨯++=x x x x
x 128
62+=()48x ≤≤．
10
训练1. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC AB ∥，90A ∠=︒，28cm AB =，
24cm DC =，4cm AD =，点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点C 运动，点N 从点B 同时出发，以2cm/s 的速度向点A 运动，当其中一 个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形
ANMD 的面积2(cm )y 与两动点运动的时间()t s 的函数图象大致是（ ）
y
O
t
5628
14t
O
y
2856
56
28
y
O t
1428
56t
O
y
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】 解析式为()562014y t t =-<< ∴选D
训练2. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，E 是BC 的中点，AD =5，BC =12，CD =24，∠C =45°，
点P 是BC 边上一动点，设PB 的长为x ．
⑴当x 的值为____________时，以点P 、A 、D 、E
为顶点的四边形为平行四边形；
⑵点P 在BC 边上运动的过程中，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
（河南中考） 【解析】 ⑴ 1或11．
⑵由⑴知，当11BP =时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形．
∴5EP AD ==
过D 作DF BC ⊥于F ，则4DF FC ==，∴3FP =．
∴2222345DP FP DF =+=+=
∴EP DP =，故此时平行四边形是菱形． 以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形构成菱形．
训练3. 已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在
ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开
思维拓展训练(选讲)
N M D C B A P Q
N
M D C
B
A
P E A B
C
D
始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M 、N 分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P 、Q 两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
⑴ 线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的
面积；
⑵ 线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形
MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
【解析】 ⑴ 过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ．
则2AD =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形，
即32AM =时，四边形MNQP 是矩形， ∴3
2
t =秒时，四边形MNQP 是矩形．
∵=PM
∴MNQP S 四边形 ⑵ ①当01t <<时，
(
))111122MNQP S PM QN MN t ⎤=+⋅=+⋅⎦四边形
+；
②当12t ≤≤时
(
))113122MNQP S PM QN MN t ⎤=+⋅=-⋅⎦四边形
③当23t <<时，
(
)
))1143122
MNQP S PM QN MN t t ⎤=+⋅=-+-⋅⎦四边形
= 【点评】 像本题第一问这样是否存在特殊图形的问题，应先把特殊图形画
出，再根据图形引出的特殊条件进行求解．
训练4. 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB =3，AD
=5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向作匀速运动．同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A －B －C －D 的路线作匀速运动．当P 点运动到D 点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．
Q P N M C B A Q P
N M C B A N
M Q P C
B A
12
⑴ 求P 点从A 点运动到D 点所需的时间； ⑵ 设P 点运动时间为t （秒） ①当t=5时，求出点P 的坐标；
②若△OAP 的面积为S ，试求出s 与t 之间的函数关 系式（并写出相应的自变量t 的取值范围）．
【解析】 ⑴ P 点从A 点运动到D 点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒） ⑵ ①当t ＝5时，P 点从A 点运动到BC 上，
此时OA =10，AB +BP =5，∴BP =2 过点P 作PE ⊥AD 于点E ，则PE =AB =3，AE =BP =2 ∴OD =OA +AE =10+2=12 ∴点P 的坐标为（12，3）． ②分三种情况：
i ．当03t <≤时，点P 在AB 上运动，此时OA =2t ，AP =t ∴S =
2
1×2t ×t = t 2
ii ．当38t <≤时，点P 在AB 上运动，此时OA =2t ∴S =
2
1×2t ×3=3 t iii ．当8＜t ＜11时，点P 在CD 上运动，此时OA =2t ， AB +BC +CP = t ∴DP = (AB +BC +CD )-(AB +BC +CP )=11t - ∴S =
2
1×2t ×(11-t )=-t 2+11t 综上所述，S 与t 之间的函数关系式是：
当03t <≤时，S = t 2；当38t <≤时，S =3 t ；当8＜t ＜11时，S =-t 2
+11 t
题型一 由动点产生的特殊图形 巩固练习
复习巩固
x 【练习1】如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为()()
4,00,2
A C
、，D为OA的中点．设点P是AOC
∠平分线上的一个动点（不与点O重合）．
⑴试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
⑵当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；
⑶已知E（1，－1），当点P运动到何处时，PDE
△的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE
△的周长； (四中期中)
【解析】⑴可证△OPC≌△OPD．
⑵()
3,3
P
⑶由()
0,2
C、()
11
E-
，可知，直线CE的解析式
为32
y x
=-+与直线y x
=相交于点
P（
1
2
，
1
2
）
．
则
PDE
C CE ED
=+==
△
【练习2】平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M．N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向
终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC
交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．请你探索：
若P点坐标为（3-x，
4
3
x）当x为何值时，△MP A是一个
等腰三角形？有几种情况？写出研究成果并证明．
【解析】当x=1，或
54
43
=
x，或
9
8
=
x时，△MP A是一个等腰三角形
延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP=P A∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x
∴32x x
-=，∴x=1
②若MP=MA，则MQ=32x
-，PQ=
4
3
x，PM=MA=3x
-
在Rt△PMQ中，∴222
=+
PM MQ PQ，
∴222
4
(3)(32)()
3
-=-+
x x x∴
54
43
=
x
③若P A=AM，∴P A=
5
3
x，AM=3x
-
∴
5
3
3
=-
x x∴
9
8
=
x
综上所述，x=1，或
54
43
=
x，或
9
8
=
x
【练习3】如图，在直角梯形COAB中，OC//AB，以O为原点建立平面直角坐
标系，A、B、C三点的坐标分别为(80)(810)(04)
A B C
，，，，，，点D
线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1
14
OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． ⑴求直线BC 的解析式；
⑵若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是 梯形COAB 面积的
27
． 【解析】 ⑴直线BC 的解析式为y =
34
x +4 ⑵过点D 作DM ⊥y 轴，垂足为M
在Rt △CDM 中，15432====CD CB DM CM ，，
∴117
4478222
=+=
⨯⨯+⨯=+OCD OPD OPDC S S S t t △△四边形 梯形COAB 的面积1
4108562
=+⨯=S 梯形COAB （） 解方程7285627+=⨯t 解得16
7
=t
因此，当167=t 时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 的面积的2
7
．
题型二 由动点产生的函数关系 巩固练习
【练习4】 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF ，一动点P 从点A 出发沿着
A →
B →
C →
D →
E 方向匀速运动，最后到达点E ．运动过程中△PE
F 的面积（s ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）
【解析】 B
【练习5】 P
是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），
点E 在射线BC 上，且PE=PB ．
⑴求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
⑵设AP =x ， △PBE 的面积为y ． 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的 取值范围；
【解析】 ⑴① ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线，
∴ BC=DC ， ∠BCP =∠DCP=45°． ∵ PC =PC ， ∴ △PBC ≌△PDC （SAS ）． ∴ PB = PD ， ∠PBC =∠PDC ． 又∵ PB = PE ，
A B
C
P D
E
A ．。

B D
C A B C D
E .
F . P
.
·
15
∴ PE =PD ．
②（i ）当点E 在线段BC 上(E 与B 、C 不重合)时， ∵ PB =PE ，
∴ ∠PBE =∠PEB ， ∴ ∠PEB =∠PDC ，
∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°，
∴ ∠DPE =360°-(∠BCD +∠PDC +∠PEC )=90°，
∴ PE ⊥PD ．
（ii ）当点E 与点C 重合时，点P 恰好在AC 中点处，此时，PE ⊥PD ．
（iii ）当点E 在BC 的延长线上时，如图．
∵ ∠PEC =∠PDC ，∠1=∠2， ∴ ∠DPE =∠DCE =90°，
∴ PE ⊥PD ． 综合（i ）（ii ）（iii ）， PE ⊥PD ．
⑵ 过点P 作PF ⊥BC ，垂足为F ，则BF =FE ．
∵ AP =x ，AC =2，
∴ PC =2- x ，PF =FC =x x 2
2
1)2(22-=-．
BF =FE =1-FC =1-(x 2
2
1-
)=x 22． ∴ S △PBE =BF ·PF =x 22(x 2
2
1-)x x 22212+
-=． 即 x x y 2
2
212+-= (0＜x ＜2)．
A B
C
P
D E F A B C D P
E 1 2 H。