4.5.3 函数模型的应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案

§4.5.3 函数模型的应用
导学目标：
（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它
们的增长差异；
（2）通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数 （3）了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.
（预习教材P 130~ P 135，回答下列问题） x
0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
2x y = 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.595 6.063 8 10.556 … 2y x =
0.04
0.36
1
1.96 3.24 4.84 6.76
9
11.56 …
2log y x = –2.322 –0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766 …
（1）函数2x y =与2
y x =的交点横坐标所在区间大概为
（2）在同一坐标系下作出函数2log ,2x
y x y ==的图像，说一说它们在[)1,+∞上的增
长情况；
由此可知，在区间[)1,+∞上，
指数函数y ＝2x 随着x 的增长函数值的增长速度快， 而对数函数y ＝log 2x 的增长速度缓慢．
【知识点一】几类函数模型的增长差异
第四章 指数函数与对数函数
- 2 -
在区间(0,)+∞上，尽管(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)n
y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，
随着x 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度， 而 的增长速度则越来越慢．
因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有 ． 三种函数模型的性质如下：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)
“对勾”函数模型 y ＝x ＋
a
x
(a >0)
题型一 函数模型的选择与应用
【例1-1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年. （1）求森林面积的年增长率；
（22倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
【例1-2】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利
第四章 指数函数与对数函数
- 4 -
润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？
所以，当x ∈[10,1 000]时，y ≤0.25x ，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．
题型二 几类函数模型的增长差异 【例2】判断方程2
2x
x 有几个实根．
1．如图所示给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A ．指数函数：2t
y =
B ．对数函数：2log y t =
C ．幂函数：3
y t = D ．二次函数：22y t =
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A ．310元
B ．300元
C ．390元
D ．280元
3．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足(
)
A ．y ＝a (1＋5%x )
B ．y ＝a ＋5%
C ．y ＝a (1＋5%)x －
1 D ．y ＝a (1＋5%)x
4．如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法不正确的是( ) A ．浮萍每月的增长率为1
B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2
C ．浮萍每月增加的面积都相等
D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的
次数是________(lg 2≈0.301 0)．
§4.5.3 函数模型的应用
导学目标：
第四章 指数函数与对数函数
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（1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它
们的增长差异；
（2）通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数 （3）了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用.
（预习教材P 130~ P 135，回答下列问题） x
0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 …
2x y = 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.595 6.063 8 10.556 … 2y x =
0.04
0.36
1
1.96 3.24 4.84 6.76
9
11.56 …
2log y x = –2.322 –0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766 …
（1）函数2x y =与2
y x =的交点横坐标所在区间大概为
（2）在同一坐标系下作出函数2log ,2x
y x y ==的图像，说一说它们在[)1,+∞上的增
长情况；
由此可知，在区间[)1,+∞上，
指数函数y ＝2x 随着x 的增长函数值的增长速度快， 而对数函数y ＝log 2x 的增长速度缓慢．
【知识点一】几类函数模型的增长差异
在区间(0,)+∞上，尽管(1)x
y a a =>，log (1)a y x a =>和(0)n
y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，
随着x 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度， 而 的增长速度则越来越慢．
因此，总会存在一个0x ，当0x x 时，就有 ． 三种函数模型的性质如下：
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二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)
“对勾”函数模型 y ＝x ＋
a
x
(a >0)
题型一 函数模型的选择与应用
【例1-1】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年. （1）求森林面积的年增长率；
（22倍，则该地已经植树造林多少年？ （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
【答案】（1）设增长率为x ，依题意可得()10
12a x a += 所以()1
11010
10
12x ⎡⎤
+=⎣⎦
即11012x +=，解得1
1021x =-
（2）设已经植树造林n 年，则1
101212n
a a ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
即
1
110
2
2
2
n =
解得5n =，故已经植树造林5年.
（3）设至少还需要m 年，则1
101216m
a a ⎛⎫
+-≥ ⎪⎝⎭
即1
1026m ≥即
2221
log 6log 2log 310
m ≥=+解得lg 3
101025.8lg 2m ≥+≈ 故至少还需要26年
【例1-2】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？
【答案】借助信息技术画出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图象(图1)．观察图象发现，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．
图1
下面通过计算确认上述判断．
先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．
对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y ＝1.002x ，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]
第四章 指数函数与对数函数
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时，是否有y ≤0.25x ，即log 7x ＋1≤0.25x 成立．
令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．
图2
由图象可知函数f (x )在区间[10,1 000]上单调递减，因此f (x )≤f (10)≈－0.316 7＜0， 即log 7x ＋1＜0.25x .
所以，当x ∈[10,1 000]时，y ≤0.25x ，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求． 题型二 几类函数模型的增长差异 【例2】判断方程2
2x
x =有几个实根．
【答案】 设y 1＝x 2，y 2＝2x ，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x ＞0时，开始y 1＝x 2在y 2＝2x 图象的下方，但此时由于y 1＝x 2比y 2＝2x 增长的速度快，所以存在x 0当x ＞x 0时，y 1＝x 2的图象就会在y 2＝2x 的上方，故此时产生一个实根x 0，但最终还是y 2＝2x 比y 1＝x 2增长得快，故存在x 1，当x ＞x 1时，y 2＝2x 的图象又在y 1＝x 2的上方，故又产生一个实根x 1，以后就永远是y 2＝2x 比y 1＝x 2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根．
1．如图所示给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A ．指数函数：2t
y =
B ．对数函数：2log y t =
C ．幂函数：3
y t =
D ．二次函数：22y t =
【答案】A
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A ．310元
B ．300元
C ．390元
D ．280元 【答案】B
3．某种产品今年的产量是a ，如果保持5%的年增长率，那么经过x 年(x ∈N *)，该产品的产量y 满足( )
A ．y ＝a (1＋5%x )
B ．y ＝a ＋5%
C ．y ＝a (1＋5%)x －
1
D ．y ＝a (1＋5%)x 【答案】D 4．如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法不正确的是( )
A ．浮萍每月的增长率为1
B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2
C ．浮萍每月增加的面积都相等
D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3
【答案】C
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34
，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．
【答案】4。