第3章自校正算法

结论：通过改变加权系数的值一定可以使 闭环系统稳定（因为C和A稳定）。
3.3 广义最小方差自校正控制器（续）
2. 带有辅助变量的最小方差控制器 （1）问题
广义最小方差尚需解决稳态偏差问题，因为采用广义 最小方差性能指标中含有 u2 (k ) 项，稳态时必将使 y 2(k + d ) 产生某一数值，来补偿 u2 (k ) 的值，而在稳态时 y(k d ) 0 产生了稳态偏差；而且不便于处理设定值问题。
进行控制； ⑤使k—k+1重复进行上面4个步骤，直到达到 最小方差控制为止，即 y (k ) = w(k )
（5 ）仿真例
y(k ) - 1.5y(k - 1) + 0.7y(k - 2) = u(k - 1) + 0.5u(k - 2) + e(k )
T ˆ g0 , g1 ,, g ng , f1 ,, f n f
若
A(z - 1 ) = 1 - 1.7 z - 1 + 0.7 z - 2
B (z - 1 ) = 1 + 0.5z - 1
C (z - 1 ) = 1 + 1.5 z - 1 + 0.9 z - 2
又设 t = 1, {w(t ) } 高斯白噪声序列N(0,1)。
求最小方差控制律 u * (t ) 和输出量的最小方差。
1 J E{x 2 ( k d )} E{ D ( z ) w(k d ) } 2 1 1 B( z ) E(z ) 1 E y ( k ) D ( z ) u ( k ) u ( k ) y ( k ) r 1 1 C( z ) C( z )
（3）算法推导
B( z 1 ) E ( z 1 ) 1 y ( k d ) D( z ) w( k d ) D ( z )u ( k ) y (k ) 1 1 C( z ) C( z )
1
1 J D ( z )w(k d )

2

2 B( z 1 ) D( z 1 ) E ( z 1 ) 2 y ( k ) u ( k ) u (k ) 1 1 C( z ) C( z )
1 T ˆ u * (k ) (k ) b0
ˆ ( z 1 ) G u * (k ) y (k ) 1 ˆ F(z )
（4）自校正调节算法步骤 ①通过采样获取新的观测输出y(k); ②组成观测数据向量(k)、（k-d)； ③用递推最小二乘估计式计算最新参数向量ˆ
* u ④计算出当时所需的自校正控制策略 (k )
3.1 最小方差自校正调节器（续）
3. 自校正调节算法 （1）估计模型
- 1 G ( z ) - 1 由 u(k ) = 和 y ( k + d ) = D ( z )w(k + d ) y ( k ) - 1 F (z )
y(k d ) ( g0 g1z
1
gng z
ng
) y(k )
( f0 f1z 1 fn f z n f )u(k ) w(k d )
y(k d ) G( z 1 ) y(k ) F ( z 1 )u(k ) w(k d )
deg G( z 1 ) ng na 1 1 deg F ( z ) n f nb d 1
B( z 1 ) B( z 1 ) E ( z 1 ) d A( z 1 ) A( z 1 )C ( z 1 ) z
1 B( z 1 ) C ( z 1 ) d E ( z ) u(k ) C ( z 1 ) A( z 1 ) z A( z 1 ) u(k )
闭环的特征方程 z d E ( z 1 ) B( z 1 ) 1 0 B( z 1 ) D( z 1 ) C ( z 1 ) A( z 1 ) b0
1 C( z ) B( z ) A( z 1 ) 0 b0
1
1
E ( z 1 ) B( z 1 ) 1 x(k d ) D( z ) w(k d ) y ( k ) D ( z )u(k ) u(k ) y r (k ) 1 1 C( z ) C( z )
1
E ( z 1 ) y ( k ) C ( z 1 ) yr ( k ) u(k ) B( z 1 ) D( z 1 ) C ( z 1 )
J B( z 1 ) D( z 1 ) E ( z 1 ) 0 2 y(k ) u( k ) b0 2u(k ) 0 1 1 u( k ) C( z ) C( z )
u(k )
E ( z 1 ) B( z ) D( z ) C ( z 1 ) b0
1 1
y (k )
（4）控制算法框图
w( k )
C( z 1 ) A( z 1 )
r (k )
E( z 1 ) B( z )D( z ) C( z 1 ) b0
1 1
+
z d B( z 1 ) A( z1 )
+
+ y (k )
广义最小方差控制系统框图
（5）稳定特性分析
第三章 自校正控制算法
主要内容
1.最小方差自校正调节器 2.广义最小方差控制器
3.极点配置的自校正调节器
3.1 最小方差自校正调节器
1. 系统结构
u(k )
扰动 被控对象 参数估计器
y (k )
ˆ
自适应律
c
控制器
3.1 最小方差自校正调节器（续）
2. 最小方差控制算法 （1）模型描述 B (z - 1 ) C (z - 1 ) y(k ) = - 1 u(k - d ) + - 1 w(k ) A(z ) A(z ) （2）假设条件 ①被控对象的纯迟延时间d以及多项式A、 B、C的阶次和系数都是已知的； ②被控对象模型是最小相位系统，即多项 式B的所有零点位于单位圆内； ③多项式C的所有零点位于单位圆内； ④{w(k)}是均值为零，方差为2。
2 1 1 1 E ( z ) B ( z ) D ( z ) 2 1 E y (k d ) E D ( z ) w ( k d ) E y ( k ) u ( k ) 1 1 C( z ) C( z ) 1 1 1 E ( z ) B ( z ) D ( z ) 1 2 E D( z ) w( k d ) y (k ) u( k ) 1 1 C( z ) C( z )
B (z - 1 ) - 1 = D ( z )u(k ) - 1 C (z )
- 1 - 1 B ( z ) E ( z ) - 1 - 1 y(k + d ) = D(z )w(k + d ) + - 1 D(z )u(k ) + - 1 y(k ) C (z ) C (z )
（4）算法推导（续）
3.1 最小方差自校正调节器（续）
2. 最小方差控制算法 （3）目标函数
J = E {y 2(k + d ) }
（4）算法推导（线性控制律） B (z - 1 ) C (z - 1 ) y(k + d ) = - 1 u(k ) + - 1 w(k + d ) A(z ) A (z )
-d - 1 C (z - 1 ) z E ( z ) - 1 )+ - 1 = D (z A (z ) A (z - 1 )
1.对控制量加以约束的最小方差调节器 （1）设计思想 为了克服非最小相位系统对自校正调节器带来的 不稳定，也为了克服自校正调节器可能出现的过大的 控制信号。解决办法：通过在性能指标加入控制量的 罚函数，限制过大的控制输出。 （2）性能指标
J = E {y 2(k + d ) + L u 2(k ) } = min

2

1 E y 2 (k d ) E D ( z )w(k d )

2

- 1 E ( z ) * u (k ) = - 1 - 1 y(k ) B (z )D(z )
2
2 1 1 1 B( z ) D( z ) E( z ) E y ( k ) u ( k ) 1 1 C ( z ) C ( z )
y(k ) b0u(k d ) T (k d ) w(k )
1 T u * (k ) (k ) b0
（3）递推公式及自校正策略
T ˆ g0 , g1 ,, g n , f1 ,, f n g f
T ˆ (k ) (k 1) K ( k )[ y ( k ) b0u( k d ) ( k d ) ( k 1)] P(k 1) (k d ) K (k ) T (k d ) P(k 1) (k d ) 1 T I K ( k ) (k d ) P(k 1) P( k )
1 1 1 B ( z ) B ( z ) E ( z ) d y (k d ) D( z 1 ) w(k d ) z 1 1 1 A( z ) A( z )C ( z )
E ( z 1 ) u(k ) C ( z 1 ) y (k )
E y (k d ) E D( z ) w(k d )
1

2

(k d ) y(k d ) D( z 1 )w(k d ) y
u * (t )
（5）例题 例3-1 已知某动态系统可用以下方程描述
A(z - 1 )y (t ) = B (z - 1 )u(t - t ) + C (z - 1 )w(t )
b0 = 1, y(1) = 1
b = 0.99
n g = 1, n f = 1
（6）应注意的问题 ①控制信号可能过大。
1 T u * (k ) (k ) b0
②对于非最小相位系统，采用自校正调节器还 会带来控制系统的不稳定，即上述自校正调节 器不适用于非最小相位系统。
3.3 广义最小方差自校正控制器
带有辅助变量的自校正控制算法1最小二乘格式极点配置自校正调节系统基本原理1自校正调节系统的一般形式极点配置自校正调节器的算法1被控系统的模型极点配置自校正调节器的算法3递推算法极点配置自校正调节器的算法5控制策略6假设说明对于的被控系统当采用上述极点配置的条件下导出的的闭环特自校正算法时虽然该算法是在但只要算法收敛就必定收敛于性这时拟合误差将等于系统的噪声
（2）辅助变量定义和性能指标
x(k ) y (k ) yr (k d ) u(k d )
J x2 (k d ) min
（3）算法推导
B( z 1 ) E ( z 1 ) 1 y ( k d ) D( z ) w( k d ) D ( z )u ( k ) y (k ) 1 1 C( z ) C( z )
- 1 - 1 E ( z ) B ( z ) - 1 y(k + d ) = D(z )w(k + d ) + - 1 w(k ) + - 1 u(k ) A(z ) A(z )
（4）算法推导（续）
A(z - 1 ) B (z - 1 ) - d w(k ) = - 1 y(k ) - 1 z u(k ) C (z ) C (z )
（2）最小二乘格式
g0 , g1 ,, g ng , f1 ,, f n f
T
பைடு நூலகம்
T (k ) y(k ),, y(k ng ), u(k 1),u(k n f )
y(k d ) b0u(k ) T (k ) w(k d )