高考数学(文)真题精校精析纯word可编辑-陕西卷.DOC

2014·陕西卷(文科数学)
1．[2014·陕西卷] 设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2＜1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )
A ．[0，1]
B ．(0，1)
C ．(0，1]
D ．[0，1)
1．D [解析] 由M ＝{x |x ≥0}，N ＝{x |x 2<1}＝{x |－1<x <1}，得M ∩N ＝[0，1)． 2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的最小正周期是( )
A.π
2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π
2
＝π.
3．[2014·陕西卷] 已知复数z ＝2－i ，则z ·z －
的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3 D. 3
3．A [解析] ∵z ＝2－i ，∴z －＝2＋i ，∴z ·z －
＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.
4．[2014·陕西卷] 根据图1-1所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )
图1-1
A ．a n ＝2n
B ．a n ＝2(n －1)
C ．a n ＝2n
D ．a n ＝2n －
1
4．C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知输出的数列为2，22＝22，222＝23，223＝
24，…，22N －
1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .
5．[2014·陕西卷] 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A ．4π
B ．3π
C ．2π
D ．π
5．C [解析] 由题意可知，旋转体是一个底面半径为1，高为1的圆柱，故其侧面积为2π11＝2π.
6．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
6．B [解析] 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的
距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P ＝410＝2
5.
7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3 B ．f (x )＝3x C ．f (x )＝x 12
D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫
12x
为单调递减函数，所以排除选项D.
8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆
命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A ．真，真，真
B ．假，假，真
C ．真，真，假
D ．假，假，假
8．A [解析] 由a n ＋a n ＋1
2<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命
题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．
9．[2014·陕西卷] 某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －
和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A.x －，s 2＋1002
B.x －
＋100，s 2＋1002 C.x －，s 2 D.x －
＋100，s 2
9．D [解析] 由题目中所给的数据可知x x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10
10
，
不妨设这10位员工下月工资的均值为y －，则y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋100010＝x －
＋
100，易知方差没发生变化．
10．[2014·陕西卷] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )
图1-2
A ．y ＝12x 3－1
2x 2－x
B ．y ＝12x 3＋1
2
x 2－3x
C ．y ＝1
4x 3－x
D ．y ＝14x 3＋1
2
x 2－2x
10．A [解析] 由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为0，不妨设其解
析式为y ＝f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝－1，f ′(2)＝3，可得c ＝－1，3a ＋b ＝1.又y ＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(2，0)，∴4a ＋2b ＝1，∴a ＝12，b ＝－1
2，c ＝－1，∴y ＝f (x )
＝12x 3－1
2
x 2－x . 11．[2014·陕西卷] 抛物线y 2＝4x 的准线方程为________． 11．x ＝－1 [解析] 易知抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－p
2＝－1.
12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．
12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝101
2＝10.
13．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π
2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b
＝0，则tan θ＝______.
13.1
2 [解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝1
2
.
14．[2014·陕西卷] 已知f (x )＝x
1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则
f 2014(x )的表达式为________．
14.x 1＋2014x [解析] 由题意，得f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ， f 2(x )＝x
1＋x 1＋x 1＋x ＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x
1＋3x ，…，
由此归纳推理可得f 2014(x )＝
x
1＋2014x
.
15．[2014·陕西卷] A.(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________． B.(几何证明选做题)如图1-3所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，
AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．
图1-3
C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π
6到直线ρ sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．
15．A.5 B ．3 C ．1 [解析] A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，所以m 2＋n 2 ≥ 5.
B ．由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AE A
C ＝EF
BC
.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.
C ．易知点⎝⎛⎭⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π
6＝1的直角坐标方程为x －
3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝
|3－3＋2|12
＋（－3）
2
＝1.
16．、、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .
(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．
16．解： (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b ＝2a .
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝3
4
.
17．、[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面
分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .
图1-4
(1)求四面体ABCD 的体积；
(2)证明：四边形EFGH 是矩形．
17．解：(1)由该四面体的三视图可知，
BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ， ∴四面体ABCD 的体积V ＝
1312221＝23
. (2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC
＝EH ，
∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH .
同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形．
又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． 18．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R )．
(1)若m ＝n ＝23
，求|OP →
|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →
＝(2，1)，
∴OP →＝2
3(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，
∴|OP →
|＝22＋22＝2 2.
(2)∵OP →
＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
19．[2014·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
19．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝120
1000
＝0.12.
由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为 P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.11000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2120＝
24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24
100＝0.24.由频率估计概率
得P (C )＝0.24.
20．、[2014·陕西卷] 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为1
2，左、右
焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l ：y ＝－1
2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，
且满足|AB ||CD |＝53
4
，求直线l 的方程．
图1-5
20．解： (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，
c a ＝12
，b 2
＝a 2
－c 2
，解得⎩⎪
⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，
∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，
∴圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝2|m |
5.
由d <1，得|m |<
5
2
，(*) ∴|CD |＝21－d 2＝2
1－45m 2＝25
5－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧y ＝－1
2x ＋m ，
x 2
4＋y 2
3＝1
得x 2
－mx ＋m 2
－3＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3， ∴|AB |＝
⎣⎡⎦
⎤1＋⎝⎛⎭⎫－122
[]m 2－4（m 2－3）＝1524－m 2.
由|AB ||CD |＝53
4
，得4－m 2
5－4m 2
＝1，
解得m ＝±3
3
，满足(*)．
∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋3
3或
y ＝－12x －3
3
.
21．、、[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m ∈R .
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x
3
零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
21．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e
x ，则f ′(x )＝x －e x 2，
∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；
当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e
e ＝2，
∴f (x )的极小值为2.
(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x
3(x >0)，
令g (x )＝0，得m ＝－1
3x 3＋x (x >0)，
设φ(x )＝－1
3
x 3＋x (x ≥0)，
则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；
当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．
∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝2
3
.
又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知
①当m >2
3
时，函数g (x )无零点；
②当m ＝2
3时，函数g (x )有且只有一个零点；
③当0<m <2
3时，函数g (x )有两个零点；
④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．
综上所述，当m >2
3
时，函数g (x )无零点；
当m ＝2
3或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；
当0<m <2
3
时，函数g (x )有两个零点．
(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）
b －a <1恒成立，
等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m
x －x (x >0)，
∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －m
x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m ≥－x 2
＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122
＋1
4
(x >0)恒成立， ∴m ≥1
4⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.。