2019年河南省郑州实验外国语中学中考数学模拟试卷（3月份）

2019年河南省郑州实验外国语中学中考数学模拟试卷（3月份） 一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）
1．（4分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14159 B． C．0 D．
2．（4分）使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ） A．x≥ B．x＞﹣ C．x≥﹣ D．x＞
3．（4分）如图，在坡度为1：2的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是（ ）
A．4米 B．2米 C．4米 D．2米
4．（4分）已知一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＝0 C．b2﹣4ac＜0 D．b2﹣4ac≤0 6．（4分）随机抽取某城市30天的空气质量状况统计如下
污染指数（w） 40 70 90 110 120 140 天数（t） 3 5 10 7 4 1 其中，w≤50时，空气质量最优；50＜w≤100时，空气质量为良；100＜w≤150时，空气质量为轻微污染，估计该城市一年（以365天计）中空气质量达到良好以上的天数为（ ）
A． B． C．18×12 D． 7．（4分）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
8．（4分）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•AD
C．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB
11．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，如果AE＝4，EF＝3，AF＝5，那么正方形ABCD的面积等于（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）
13．（5分）方程的解是 ．
14．（5分）若x2+2x+m＝0的两个根的差的平方是6，则m＝ ．
15．（5分）函数y＝kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴的交点的个数是 ．
16．（5分）某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次．设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是 ．
17．（5分）
如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，则AB的长是 ． 分）如图，
18．（5分）一组按规律排列的数：，..，请你推断第11个数是 ．
三、解答题（共72分）
19．（6分）计算：cos30°+2﹣1×（1﹣）0
20．（6分）化简：•（x2﹣16）
21．（10分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示： 根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，
①求排水时y与x之间的关系式．
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．
22．（8分）如图所示，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好．站在完好的桥头A测得路边的小树D在
它的北偏西30°，前进32米到断口B处，又测得小树D在它的北偏西45°，请计算小桥断裂部分的长．（结果用根号表示）
23．（10分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A、B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值．
24．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．
（1）求证：△ACD∽△EAD；
（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．
25．（10分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．
考虑了所有因素后该零售店每个面
个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）． （1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与每天卖出的面包个数；每个面包的利润为 角，每天卖出的面包个数为
（2）求y与x之间的函数关系式；
该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为（3）当面包单价定为多少时，
多少？
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5）．点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B，C两点，且tan∠OCB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线l的解析式；
（3）过O，B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q．问：是否存在点P，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△OBC 相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2019年河南省郑州实验外国语中学中考数学模拟试卷（3
月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）
1．（4分）在下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14159 B． C．0 D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A．3.14159是有限小数，属于有理数；
B．﹣是分数，属于有理数；
C．0是整数，属于有理数；
D．是无理数；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（4分）使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥ B．x＞﹣ C．x≥﹣ D．x＞
【分析】直接利用二次根式的性质得出答案．
【解答】解：使二次根式有意义，
则2x+1＞0，
解得：x＞﹣．
故选：B．
正确把握二次根式的定义是解题关键． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，
3．（4分）如图，在坡度为1：2的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是（ ）
A ．4
米
B ．2
米
C ．4米
D ．2
米
【分析】根据坡度的概念求出BC ，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：如图，在Rt △ABC 中，＝
∵AC ＝4， ∴BC ＝2，
由勾股定理得，AB ＝＝2（米），
故选：B ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．（4分）已知一次函数y ＝ax +c 与二次函数y ＝ax 2
+bx +c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a 、c 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A 、由一次函数y ＝ax +c 图象，得a ＞0，c ＜0，由二次函数y ＝ax 2
+bx +c 图
象，得a ＜0，c ＞0，故A 错误；
B 、由一次函数y ＝ax +c 图象，得a ＞0，c ＞0，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象，得a ＞0，c ＜0，故B 错误；
C 、由一次函数y ＝ax +c 图象，得a ＜0，c ＞0，由二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象，得a ＜0，
c＞0，故C正确；
D、由一次函数y＝ax+c图象，得a＜0，c＞0，由二次函数y＝ax2+bx+c图象，得a＞0，
c＞0，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
5．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（ ）
A．b 2
﹣4ac＞0 B．b
2
﹣4ac＝0 C．b
2
﹣4ac＜0 D．b
2
﹣4ac≤0
【分析】由a＜0可以得到抛物线的开口向下，又a﹣b+c＞0，所以当x＝﹣1时，y＝a ﹣b+c＞0，画草图可以推出抛物线与x轴有两个交点，由此可以得到b2﹣4ac＞0． 【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵a﹣b+c＞0，
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选：A．
【点评】此题考查了二次函数的性质和图象、点与函数的对应关系，也考查了b2﹣4ac 与抛物线与x轴交点的个数的关系．
6．（4分）随机抽取某城市30天的空气质量状况统计如下
污染指数（w） 40 70 90 110 120 140 天数（t） 3 5 10 7 4 1 其中，w≤50时，空气质量最优；50＜w≤100时，空气质量为良；100＜w≤150时，空气质量为轻微污染，估计该城市一年（以365天计）中空气质量达到良好以上的天数为（ ）
A． B． C．18×12 D． 【分析】根据题意，随机抽取的30天中，空气质量达到良以上的天数即可求出，随机抽取的30天中，空气质量达到良以上的概率也就随之求得，最后乘以365即可．
【解答】解：根据题意：随机抽取的30天中，空气质量达到良以上的天数为：3+5+10＝18（天），
估计全年365天中空气质量达到良以上的天数为365×（天）．
故选：B．
【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
7．（4分）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．
【解答】解：A、y＝kx+b，是一次函数，错误；
B、t＝，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝．是二次函数，正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 8．（4分）下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0
【分析】根据根与系数的关系，要使一元二次方程中，两实数根之和为2，必有△≥0且x1+x2＝﹣＝2，分别计算即可判断
【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；
C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；
D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2＝﹣，x1x2＝． 9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
易得阴影部
个小正方形组成的，易得阴影部【分析】观察图象利用割补法可得阴影部分的面积是10个小正方形组成的，
分面积与正方形ABCD的面积比．或根据相似多边形面积的比等于相似比的平方来计算． 【解答】解：方法1：利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的， 所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10：16＝5：8；
方法2：＝，（）2：42＝10：16＝5：8．
故选：A．
【点评】在有网格的图中，一般是利用割补法把不规则的图形整理成规则的图形，通过数方格的形式可得出阴影部分的面积，从而求出面积比．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（ ）
A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•AD
C．AD•BC＝AC•CD D．BC2＝BD•AB
【分析】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角
边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．根据射影定理以及相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB
∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，
故A、D选项正确；
∵△ACD∽△CBD，
∴＝＝，
∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；
AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
11．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，如果AE＝4，EF＝3，AF＝5，那么正方形ABCD的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为AE＝4，EF＝3，AF＝5，AE2+EF2＝AF2，所以∠AEF＝90°，可证△ABE ∽△ECF，从而可得AB：EC＝AE：EF＝4：3，即EC＝＝BC，BE＝＝，在直角三角形ABE中，AB2+BE2＝AE2，AB2+＝16，AB2＝，所以正方形ABCD 面积＝AB2＝．
【解答】解：∵AE＝4，EF＝3，AF＝5
∴AE 2
+EF
2
＝AF
2
，∴∠AEF＝90°
∴∠AEB+∠FEC＝90°
∵正方形ABCD
∴∠ABE＝∠FCE＝90°
∵∠CFE+∠CEF＝∠EAB+∠AEB＝90°
∴∠FEC＝∠EAB
∴△ABE∽△ECF
∴EC：AB＝EF：AE＝3：4，即EC＝＝BC
∴BE＝＝
∵AB2+BE2＝AE2，∴AB2+＝16，AB2＝
∴正方形ABCD面积＝AB2＝
故选：C．
【点评】本题综合考查了正方形的性质和勾股定理的应用，本题中利用勾股定理得出△
AEF是直角三角形是解题的关键．
12．（4分）已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【分析】先求出过P点的弦长的取值范围，然后判断出弦长为整数的弦有几条．
【解答】解：如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA， Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，
根据勾股定理，得AP＝＝4，
即由垂径定理得：AB＝2AP＝8，
故过点P的弦的长度都在8～10之间，
因此弦长为8、9、10，
当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；
当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；
故弦长为整数的弦共有4条，
故选：A．
【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．需注意的是当弦长为9时，根据圆的对称性可得出两个符合条件的弦，不要漏解．
二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）
13．（5分）方程的解是 x＝﹣1 ．
【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．
【解答】解：把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
14．（5分）若x2+2x+m＝0的两个根的差的平方是6，则m＝ ． 【分析】根据方程有两个根，得判别式△＞0，得到关于m的一元一次不等式，解之，根据根与系数的关系，设原方程的两个根分别为x1，x2，得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，结合原方程两个根的差的平方是6，得到关于m的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：∵原方程有两个根，
∴△＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
设原方程的两个根分别为x
1，x
2
，
则x1+x2＝﹣2，x1x2＝m，
＝﹣2x1x2+
＝﹣4x1x2
＝4﹣4m
＝6，
解得：m ＝﹣，（符合题意）， 故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系和判别式公式是解题的关键．
15．（5分）函数y ＝kx 2+（2k +1）x +1的图象与x 轴的交点的个数是 1或2 ．
【分析】函数可能是二次函数，也可能不是，应分两种情况进行讨论；当是二次函数时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x 轴有两个交点；方程有两个相等的实数根，二次函数的图象与x 轴有1个交点；方程没有实数根，二次函数的图象与x 轴没有交点．
【解答】解：当k ＝0时，函数是一次函数，函数是y ＝3x +1，与x 轴有一个交点；
当k ≠0时，因为△＝（2k +1）2
﹣4k ＝4k 2
+1＞0，
故方程kx 2
+（2k +1）x +1＝0有两个不等的实数根，
所以函数图象与x 轴有2个交点，若k 为0，一次函数与x 轴有一个交点； 故答案是：1或2．
【点评】主要考查抛物线与x 轴的交点，注意二次函数和一元二次方程的转化关系，渗透分类讨论思想．
16．（5分）某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次．设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x ，根据题意列出的方程是 20+20（1+x ）+20（1+x ）2
＝95 ．
【分析】本题可根据原有人数×（1+增长率）2＝增长后的人数，再将三年的所有人数加起来，令其等于95即可列出方程．
【解答】解：依题意得第二年培训的人数为20（1+x ）， 第三年培训的人数为20（1+x ）2
，
则三年的总人数为20+20（1+x ）+20（1+x ）2
＝95．
故填空答案：20+20（1+x ）+20（1+x ）2
＝95．
【点评】本题本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常根据原有人数×（1+增长率）2
＝增长后的人数来列方程．
17．（5分）如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝
，AC ＝2
，则AB 的长是 5 ．
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD＝，AD＝3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，
在Rt△BCD中，tan B＝，
∴＝，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
18．（5分）一组按规律排列的数：，..，请你推断第11个数是
．
【分析】观察这一组分数可以发现分母是按照2，3，4，5，6的平方规律变化的，而分子后一项减前一项为2，4，6，8连续的偶数．根据这个规律就可以推断第11个数的结果．
【解答】解：通过对这一组分数的观察，原分数可表达为：
，，，，，…，
∴第11个数＝
＝．
∴第11个数为：．
【点评】本题考查学生对分数分子、分母连续变化规律的分析能力，这种题型肯定是有
规律可循的，注意平时多总结归纳．
三、解答题（共72分）
19．（6分）计算：cos30°+2﹣1×（1﹣）0
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：cos30°+2﹣1×（1﹣）0
＝×+×1
＝+
＝．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决
此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式
等考点的运算．
20．（6分）化简：•（x2﹣16）
【分析】先因式分解，再约分即可得．
【解答】解：原式＝•（x+4）（x﹣4）＝x+4．
本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则．
解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则． 【点评】本题主要考查分式的乘除法，
21．（10分）某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中
进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升，
①求排水时y与x之间的关系式．
②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．
【分析】（1）根据函数图象可以确定洗衣机的进水时间，清洗时洗衣机中的水量；
（2）①由于洗衣机的排水速度为每分钟19升，并且从第15分钟开始排水，排水量为40升，由此即可确定排水时y与x之间的关系式；
②根据①中的结论代入已知数值即可求解．
【解答】解：（1）依题意得洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；
（2）①∵洗衣机的排水速度为每分钟19升，从第15分钟开始排水，排水量为40升， ∴y＝40﹣19（x﹣15）＝﹣19x+325，
②∵排水时间为2分钟，
∴y＝﹣19×（15+2）+325＝2升．
∴排水结束时洗衣机中剩下的水量2升．
【点评】此题主要考查了一次函数应用，解题的关键首先正确理解题意，然后利用数形结合的思想和待定系数法即可求解．
22．（8分）如图所示，一人工湖的对岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好．站在完好的桥头A测得路边的小树D在它的北偏西30°，前进32米到断口B处，又测得小树D在它的北偏西45°，请计算小桥断裂部分的长．（结果用根号表示）
【分析】延长AB交小路于C，在Rt△ADC和Rt△DBC中，根据三角函数AC、BC就可以DC表示出来，在直角△DAC中，根据三角函数，就得到一个关于DC的方程，求得DC．
【解答】解：延长AB交小路于C，设BC＝x
∵∠CBD＝45°AC⊥DC
∴BC＝CD＝x
在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，AC＝x+32
∴tan30°＝
∴3x＝（x+32）
x＝＝16（+1）米
答：断裂部分长16（+1）米．
注：依照不同的计算式也可得．
【点评】本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）若抛物线过A、B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），求此抛物线的顶点坐标；
（2）如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值．
【分析】（1）由于抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标；
（2）先设出过A，B两点抛物线的解析式，作MD⊥x轴于D，再分别求出A、B、C、M 各点的坐标，再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系△ACM的面
积进行计算；
【解答】解：（1）设过抛物线A，B两点，且与y轴交于点（0，﹣3），的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（3，0），点（0，﹣3）代入
得，
解得，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）由题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），M（1，﹣4a），
∴S△ACB＝×4×|﹣3a|＝6|a|，
而a＞0，
∴S△ACB＝6a．
作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO+S OCMD﹣S△AMD＝•1•3a+（3a+4a）﹣•2•4a＝a，
∴S△ACM：S△ACB＝1：6；
【点评】考查的是二次函数图象上点的坐标特点，及三角形的面积，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解．
24．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．
（1）求证：△ACD∽△EAD；
（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．
【分析】（1）证明∠DCA＝∠DAB和∠ADC＝∠EDA即可；
（2）在Rt△AFO中，求解DF，在Rt△DEF中，求解DE长，再求解AE长，说明DE ＝AE，证明弧AC＝弧BD，则AC＝BD，借助AD＝BD，证明AC＝AD．
【解答】解：（1）∵DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，
∴DF垂直平分AB．
∴弧AD＝弧BD，
∴∠DCA＝∠DAB．
又∵∠ADC＝∠EDA，
∴△ACD∽△EAD；
（2）连结OA，在Rt△AFO中，OF＝3，DF＝8，
在Rt△DEF中，EF＝6，
∴DE＝10．
∵AE＝10，
∴DE＝AE．
∴∠ADE＝∠DAE．
∴弧AC＝弧BD．
∴AC＝BD．
又弧AD＝弧BD，
∴AD＝BD．
∴AC＝AD．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及圆周角定理．
25．（10分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的
考虑了所有因素后该零售店每个面
个．考虑了所有因素后该零售店每个面单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．
包的成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与每天卖出的面包个数；每个面包的利润为 （x﹣5） 角，每天卖出的面包个数为 [160﹣（x﹣7）×20]）
（2）求y与x之间的函数关系式；
当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为
该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为（3）当面包单价定为多少时，
多少？
【分析】（1）设每个面包的利润为（x﹣5）角，卖出的面包个数为[160﹣（x﹣7）×20]）． （2）依题意可知y与x的函数关系式．
（3）把函数关系式用配方法可解出x＝10时y有最大值．
【解答】解：（1）每个面包的利润为（x﹣5）角
卖出的面包个数为[160﹣（x﹣7）×20]），
故答案为：（x﹣5），[160﹣（x﹣7）×20]）；
（2）y＝（300﹣20x）（x﹣5）＝﹣20x2+400x﹣1500
即y＝﹣20x2+400x﹣1500；
（3）y＝﹣20x2+400x﹣1500＝﹣20（x﹣10）2+500（10分）
∴当x＝10时，y的最大值为500．
∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角． 【点评】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．本题难度一般．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点O（0，0），A（4，0），B（5，5）．点C是y轴负半轴上一点，直线l经过B，C两点，且tan∠OCB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线l的解析式；
（3）过O，B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q．问：是否存在点P，使得以P，Q，B为顶点的三角形与△OBC
相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）依题意设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式． （2）过点B作BD⊥y轴于点D，求出点C的坐标．设直线l的解析式为y＝kx﹣4，把点B的坐标代入求出k值之后可求出直线l的解析式．
（3）首先证明△PBQ∽△OBC根据线段比求出P2，然后可知抛物线y＝x2﹣4x与直线l 的交点就是满足题意的点Q，令x2﹣4x＝x﹣4求出P1的坐标．然后分情况讨论点P的坐标的位置．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，0），（4，0），
可设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把B（5，5）代入，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x．（4分）
（2）过点B作BD⊥y轴于点D．
∵点B的坐标为（5，5），
∴BD＝5，OD＝5．
∵tan∠OCB＝＝，
∴CD＝9，
∴OC＝CD﹣OD＝4．
∴点C坐标为（0，﹣4）．（2分）
设直线l的解析式为y＝kx﹣4，
把B（5，5）代入，得5＝5k﹣4，
解得k ＝．
∴直线l 的解析式为y ＝x ﹣4．（2分）
（3）当点P 在线段OB 上（即0＜x ＜5时），
∵PQ ∥y 轴，
∴∠BPQ ＝∠BOC ＝135度．
当＝时，△PBQ ∽△OBC ．
这时，抛物线y ＝x 2﹣4x 与直线l 的交点就是满足题意的点Q ，
那么x 2﹣4x ＝x ﹣4，
解得x 1＝5（舍去），x 2＝，
∴P 1（，）；（2分）
又当
＝时，△PQB ∽△OBC ． ∵PB ＝
（5﹣x ），PQ ＝x ﹣（x 2﹣4x ）＝5x ﹣x 2，OC ＝4，OB ＝5，
∴， 整理得2x 2﹣15x +25＝0，
解得x 1＝5（舍去），x 2＝，
∴P 2（，）．（2分）
当点P 在点O 左侧（即x ＜0＝时），
∵PQ ∥y 轴，
∴∠BPQ ＝45°，△BPQ 中不可能出现135°的角，这时以P ，Q ，B 为顶点的三角形不可能与△OBC 相似．
当点P 在点B 右侧（即x ＞5）时，
∵∠BPQ ＝135°，
∴符合条件的点Q 即在抛物线上，同时又在直线l 上；
或者即在抛物线上，同时又在Q 2，B 所在直线上（Q 2为上面求得的P 2所对应）． ∵直线l （或直线Q 2B ）与抛物线的交点均在0＜x ≤5内，而直线与抛物线交点不可能多
于两个，
∴x＞5时，以P，Q，B为顶点的三角形也不可能与△OBC相似．
综上所述，符合条件的点P的坐标只有两个：P1（，），P2（，）．（2分）
【点评】本题考查的是二次函数的有关知识，特别要注意的是考生需全面分析讨论从而求解．。