高三数学三模试题理含解析试题

HY2021届高三数学三模试题 理〔含解析〕
一、选择题〔一共12小题〕. 1. 计算复数41i
i
+得( ) A. 22i +
B. 22i -
C. 22i -+
D.
22i --
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法和乘法运算求解.
【详解】
()()()41444221112
i i i i i i i i -+===+++- 应选：A
【点睛】此题主要考察复数的运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 2. 集合()(){}
220A x x x =-+≤，{}2,1,0,1,2,3B =--，那么A B =〔 〕
A ∅ B. {}0,1,2 C. {}1,0,1- D. {}2,1,0,1,2--
【答案】D 【解析】 【分析】
求出集合A ，利用交集的定义可求得集合A B .
【详解】集合()(){}{
}
22022A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}2,1,0,1,2,3B =--，
因此，{}2,1,0,1,2A
B =--.
应选：D ．
【点评】此题考察交集的求法，考察交集的定义及运算法那么等根底知识，同时也考察了一元二次不等式的求解，考察运算求解才能，是根底题． 3. 命题:P x R ∀∈，211x +≥，那么P ⌝是〔 〕 A x R ∀∈，211x +<
B. x R ∀∈，211x +≥
C. 0x R ∃∈，2
011x +<
D. 0x R ∃∈，2
011x +≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否认是特称命题，写出其特称命题可得答案．
【详解】命题的否认是：0x R ∃∈，2
011x +<，
应选：C ．
【点睛】此题考察命题的否认，考察全称命题和特称命题，属于根底题． 4. 等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，35730a a a ++=，那么246a a a ++=( )
A. 20
B. 24
C. 26
D. 28
【答案】B 【解析】 【分析】
直接根据等差数列的性质求解即可．
【详解】解：∵等差数列{}n a 满足13518a a a ++=，357
30a a a ++=，
∴35351748a a a a a a +++=++，即()()()33571548a a a a a a +++=++， ∴24622482a a a ++=，
∴24624a a a ++=， 应选：B ．
【点睛】此题主要考察等差数列的性质，属于根底题． 5. 假设角α的终边过点()3,4P -，那么sin 2α的值是( )
A.
1225
B. 1225
-
C.
2425
D. 2425
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义求出sin ,cos αα，即可求出结论. 【详解】
角α的终边过点()3,4,||5P OP -∴
=， 43
sin ,cos 55
αα∴=-=，
24
sin 22sin cos 25
ααα==-
. 应选：D.
【点睛】此题考察三角函数定义以及二倍角公式求三角函数值，考察计算求解才能，属于根底题.
6. 某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，那么这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( ) A. 85 B. 85.5
【答案】A 【解析】
【分析】
此题是一个加权平均数的问题，求出甲和乙两个班的总分数，再除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩．
【详解】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081
854050
⨯+⨯=+，
应选：A ．
【点睛】此题主要考察加权平均数的求法，属于根底题．
7. 正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，那么异面直线1B M 与CN 所成角的大小为〔 〕 A. 0︒ B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒
【答案】D 【解析】 【分析】
利用异面直线所成的角的定义，取1A A 的中点为E ，那么直线1B M 与CN 所成角就是直线
1B M 与BE 成的角．
【详解】取1A A 的中点为E ，连接BE ，那么直线1B M 与CN 所成角就是直线1B M 与BE 成的角，
由题意得1B M BE ⊥，故异面直线1B M 与CN 所成角的大小为90︒. 应选：D ．
【点睛】此题考察空间角的计算，考察棱柱的性质，考察学生逻辑思维才能和计算才能，属于中档题．
8. 在Rt ABC 中，1AB AC ==，点D 满足2BD CD =，那么AB AD ⋅=( ) A. -1 B. 13
-
C.
13
D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可知A ∠为直角，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，设
(),D x y ，利用向量一共线求出点D ，从而再根据向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】在Rt ABC 中，1AB AC ==， 所以A ∠为直角，
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，
那么()10
B ,，()0,1
C ，设(),
D x y ，()1,BD x y =-，(),1CD x y =-， 由2BD CD =，可得()1,x y -()2,1x y =-， 即1222
x x
y y -=⎧⎨
=-⎩，解得1x =-，2y =，
所以()1,2D -，
由()1,0AB = ，()1,2AD =- 所以()11021AB AD ⋅=⨯-+⨯=-. 应选：A
【点睛】此题考察了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，属于根底题.
9. 直线2y x =-与抛物线()2
20y px p =>交于A ，B 两点，假设OA OB ⊥，那么p 的
值是( ) A.
12
B. 1
C.
32
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x y px
=-⎧⎨=⎩并消元得，()2
2440x p x -++=，得韦达定
理结论，由题意得0OA OB ⋅=，由此根据数量积的坐标表示求解即可． 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立222y x y px
=-⎧⎨=⎩并消元得，()2
2440x p x -++=，
∴1224x x p +=+，124x x =， 又OA OB ⊥，
∴1212OA OB x x y y ⋅=+()()121222x x x x =+--()1212224
x x x x =-++()82244p =-++440p =-=，
∴1p =， 应选：B ．
【点睛】此题主要考察直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理的应用，属于根底题． 10. 在四面体ABCD 中，2AB =，1DA DB CA CB ====，那么四面体ABCD 的外
接球的外表积为( ) A. π B. 2π
C. 3π
D. 4π
【答案】B 【解析】 【分析】
取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，由题意可得O 为外接球的球心，利用球的外表积公式即可求解. 【详解】由2AB =
，1DA DB CA CB ====，
所以222CA CB AB +=，222AD BD AB +=
可得90ACB ADB ∠=∠=，
所以2OA OB OC OD ====
即O 为外接球的球心，球的半径2R =
所以四面体ABCD 的外接球的外表积为：
21
4422
S R πππ==⨯
=. 应选：B
【点睛】此题考察了多面体的外接球的外表积，需熟记球的外表积公式，属于根底题.
11. M 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>上位于第二象限的一点，1F ，2F 分别是左、
右焦点，112MF F F ⊥.x 轴上的一点N 使得290NMF ∠=︒，A ，B 两点满足MA AN =，
12MB BF =，且A ，B ，2F 三点一共线，那么双曲线C 的离心率为( )
A. 21+
B. 31+
C. 22+
D.
32+
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意，先求出2,b M c a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，再根据290NMF ∠=︒，求出442
,02a c N a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，再求出()22222,42a c b A a c a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，再求出2
,3b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据A ，B ，2F 三点一共线，利用向量平行，找到,a c 的关系即可求解. 【详解】解：如图，
()1,0F c -，()2,0F c
把x c =-代入()222210,0x y a b a b -=>>，得2b
y a =±，2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
设(),0N n ，222+,,2,b b MN n c MF c a a ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
因为290NMF ∠=︒，所以20MN MF ⋅=，所以()422+0b c n c a += ，44
2
2a c n a c
--=， 即442
,02a c N a c ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 因为MA AN =，所以是A 线段MN 的中点，所以44222,22a c c b a c A a ⎛⎫
--- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 即()22222
,42a c b A a c a ⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭
， 设(),B x y ，那么2,b MB x c y a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，()1,BF c x y =---
因为1
2MB BF =，所以2222x c c x b y y a +=--⎧⎪⎨-=-⎪⎩，23x c b y a =-⎧⎪⎨=
⎪⎩
，所以2
,3b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2
22,3b BF c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2222442222226,,4242a c b a c a c b AF c a c a a c a ⎛⎫+⎛⎫++ ⎪=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
因为A ，B ，2F 三点一共线，所以22//BF AF ，
所以2442222
6243b a c a c b c a a c a ⎛⎫⎛⎫
++⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 442260a c a c +-=，42610e e -+=
，23e =±
因为1e >
，所以)
2
231e =+=
，
所以e =，
应选：A.
【点睛】结合向量考察用解析法求双曲线的离心率，对于学生的运算求解才能是挑战，计算量大，容易出错；中档题.
12. 定义在R 上的函数()y f x =，当[]
0,2x ∈时，()21
4
4x f x --=-，且对任意实数
1
22,22(,2)k k x k N k +⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，
都有1
()12
2x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，假设()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，那么实数a 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由()()log 0a g x f x x =-=，可得()log a f x x =，分别作出函数()f x 和log a y x =的图
像，利用数形结合即可得出结果. 【详解】当[]
0,2x ∈时，()21
44x f x --=-，
当2k =时，[]2,6x ∈，此时[]10,22
x
-∈， 那么1()12
2x f x f ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
211
222211444422x x
-----⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
当3k =时，[]6,14x ∈，此时 []12,62
x
-∈，
那么1()12
2x f x f ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
12225224211444422x
x -----⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
，
当4k =时，[]14,30x ∈，此时 []16,142
x
-∈，
那么1()12
2x f x f ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
152211
42284
11444422x
x -----⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭
，
由()()log 0a g x f x x =-=，可得 ()log a f x x =， 分别作出函数()f x 和log a
y x =的图像：
假设01a <<时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件； 假设1a >时，当对数函数经过点A 时，两个图像有4个交点， 经过点时B 有6个交点，
那么要使两个函数有有且仅有5个零点，
那么对数函数图像必须在点A 以下，在点B 以上，
()103f =，()3222
f =
， ()10,3A ∴，322,2B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
即满足log 1033log 222a a <⎧⎪
⎨>⎪⎩
，解得33
210
22a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩
a <<. 应选：C
【点睛】此题考察了由函数的零点个数求参数的取值范围，考察了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.
13. 定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()3log 1f x x =-，那么
()8f =______.
【答案】-2 【解析】 【分析】
根据()f x 定义在R 上的奇函数，那么()()88f f =--，然后再由0x <时，
()()3log 1f x x =-求解.
【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()()3log 1f x x =-， 所以()()2
33log 9lo 8g 328f f =---===--.
故答案为：-2
【点睛】此题主要考察函数的奇偶性的应用以及对数运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题.
14. 如图，在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，
那么此点恰好取自曲线y =
与正方形OABC 所围成阴影局部的概率为______.
【答案】
23
【解析】 【分析】
先求得正方形的面积，再用定积分求得阴影局部的面积，代入几何概型的概率公式求解. 【详解】正方形的面积为：11=1⨯，
阴影局部的面积为
32
122033
xdx x ==，
所以此点恰好取自曲线y x =OABC 所围成阴影局部的概率为
2
2313
p ==
. 故答案为：2
3
【点睛】此题主要考察几何概型的概率求法以及定积分的几何意义，还考察了运算求解的才能，属于根底题.
15. f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的2，那么ω＝________. 【答案】
3
4
【解析】
【详解】函数f (x )的周期T ＝
2π
ω
，
因此f (x )＝2sin ωx 在0,
πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的子集，
∴f (x )在0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数， ∴3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
2sin 3πω⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴
3π
ω＝4
π， ∴ω＝
34，故答案为3
4
. 16. 黎曼猜测由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜测涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜测的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客那么埋伏敲着键盘蓄势待发〞.黎曼猜测研究的是无穷级数
1
111
()123
s
s n s s s n ξ∞
-===
+++∑，我们经常从无穷级数的局部和
1111123s s s
s
n ++++
入手.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
，那么12
100111S S S ⎡⎤
++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______〔其中[]x 表示不超过x 的最大整数〕.
【答案】18 【解析】 【分析】
根据结合前n 项和与通项关系，可得2
{}n S
为等差数列，进而求出=
n S ，再利用
22n S
-<
，以及当1
n >时，22n S <-，求出12100
111
S S S +
+⋅⋅⋅+
的范围，即可求出结论. 【详解】当1n =时，1
11111111,2a S a a a a ⎛⎫==
+= ⎪⎝⎭， 21111,0,1n a a a S =>∴==，
当2n ≥时，11
1,21
n n n n n n n n S S a S S S S S ---=--+
-∴=，
22
111
1,1n n n n n n S S S S S S ---+=
∴-=-，
2
{}n S ∴是以1为首项，公差为1的等差数列，2n S n ∴=，
0,0,n n n a S S >∴>=
2
2n
S =
<，
又1n >
时，
22n S << 令12100
111S S S S =
++⋅⋅⋅+，
(21)]1)18
S >+
++-=-
>，
(21)]11)119S <++
+-+=+<，
即1819S <<，从而[]18S =. 故答案为：18.
【点睛】此题以数学文化为背景，考察数列的前n 项和与通项的关系、数列前n 项和的范围，构造新的等差数列2
{}n S 以及用放缩法求数列和是解题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于较难题.
三、解答题：第17～21题每一小题12分，解容许在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
17. 在ABC 中，a ，b ，c 是A ∠，B ，C ∠所对的边，a =
1c =，
cos 0A A +=.
〔Ⅰ〕求b ；
〔Ⅱ〕假设D 为BC 边上一点，且AD AB ⊥，求ACD △的面积.
【答案】；【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕由题意求得150A =︒，再根据余弦定理即可求出答案；
〔Ⅱ〕根据正弦定理可得sin B =
，从而求得tan B =，那么AD =，再根据三
角形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：cos 0A A +=，得tan A =， ∴150A =︒，
又∵a =
1c =，
又2222cos a b c bc A =+-，即260b +-=，
解得b =
(负值舍去)；
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得
sin sin a b A B =，
∴
1
si sin
14n B a
b A
=
==，
∴co 1s 4
B ==
，
∴tan B =
，
∵AD AB ⊥，
∴3
tan 5
AD c B ==
，且60=︒∠DAC ， ∴ACD △的面积133
sin 60220
ACD S AD AC ︒=
⋅⋅=
△． 【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理的应用，考察三角形的面积公式的应用，属于根底题．
18. 在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学〞的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进展了摸底考试，某校数学老师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进展调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：
〔Ⅰ〕是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关〞；
〔Ⅱ〕将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望和方差.
()20P K k ≥
0k
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 【答案】〔Ⅰ〕没有；〔Ⅱ〕()6E X =，() 2.4D X =. 【解析】 【分析】
〔1〕根据条形图提供的数据完成列联表，然后再将数据代入公式
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，求得2K ，与临界表比照下结论. 〔2〕由列联表得到数学成绩超过120分的学生每天在线学习时长超过1小时的概率，然后用二项分布的期望和方差公式求解. 【详解】〔Ⅰ〕依题意，得22⨯列联表
数学成绩 在线学习时长
120≤分
120>分
合计
1≤小时
15 10 25 1>小时
5 15 20 合计 20
25
45
∵22
45(1515510)441
5.5125
6.6352025252080
K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯
∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关〞； 〔Ⅱ〕从上述22⨯列联表中可以看出：
这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为15
0.625
=， 那么()~10,0.6X B ，
∴()100,66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=.
【点睛】此题主要考察HY 性检验和二项分布的期望与方差，还考察了运算求解的才能，属于中档题.
19. 如图，将等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 翻折，使二面角B AD C --的大小为
3
π
，翻折后BC 的中点为M .
〔Ⅰ〕证明BC ⊥平面ADM ； 〔Ⅱ〕求二面角D AB C --的余弦值.
【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；7
. 【解析】 【分析】
〔Ⅰ〕根据等腰直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 翻折，那么AB AC =， BD CD =，
又M 是BC 的中点，易得DM BC ⊥，AM BC ⊥，再利用线面垂直的断定定理证明. 〔Ⅱ〕建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，易知二面角B AD C --的平面角是BDC ∠，那么1BD BC CD AD ====，然后分别求得平面ABD 的一个法向量1n ，平面ABC 的一个法向量2n ，代入公式121212
cos ,n n n n n n ⋅=
求解..
【详解】〔Ⅰ〕∵折叠前AB AC =，AD 是斜边上的高， ∴D 是BC 的中点，
∴BD CD =，又因为折叠后M 是BC 的中点， ∴DM BC ⊥，折叠后AB AC =， ∴AM BC ⊥，AM
DM M =，
∴BC ⊥平面ADM ；
〔Ⅱ〕建立如图空间直角坐标系，
不妨设1AD =，易知二面角B AD C --的平面角是BDC ∠， 那么1BD BC CD AD ====，
∴()0,0,1A
，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭
，()0,1,0C ，()0,0,0D ， 设平面ABD 的一个法向量为()1,,n x y z =，
得1100n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即0102z x y =⎧+=，令1x =, 得()
11,n =-，
设平面ABC 的一个法向量()2,,n x y z =, 得2200n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即10220x y z y z +-=⎪⎨⎪-=⎩
，令1z =， 得233n ⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭
∴12121233c 2os
3,n n n n n n -=⨯⋅==. 所以二面角D AB C --的余弦值是
7. 【点睛】此题主要考察线面垂直的断定定理，二面角的向量求法，还考察了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的才能，属于中档题.
20. 椭圆C ：(
)22
2210x y a b a b
+=>>右焦点为()2,0F ，P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的一点，且PAB △面积的最大值为.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的HY 方程；
〔Ⅱ〕假设直线AP 与直线x a =交于点Q ，线段BQ 的中点为M ，证明直线FM 平分PFB ∠.
【答案】〔Ⅰ〕22
195
x y +=；〔Ⅱ〕证明见解析. 【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕由题意得2222
ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解出即可； 〔Ⅱ〕设直线AP 的方程为3x my =-，与椭圆方程联立求得点222152730,5959m m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，求出点63,Q m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，从而得中点33,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，利用斜率的计算公式与正切的定义即可证明结论．
【详解】解：〔Ⅰ〕由题意得2222ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩
，解得2295a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的HY 方程为22
195
x y +=； 〔Ⅱ〕设直线AP 的方程为3x my =-，代入22
195
x y +=， 得()2259300m y my +-=，
解得0y =，或者23059
m y m =+， ∴222230152735959
P m m x m m -=-=++， ∴222152730,5959m m P m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 易知直线AP 与3x =的交点63,Q m ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， ∴线段BQ 的中点33,M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 设MFB α∠=，那么3
3tan 1m m
α==，
∴223
26tan 2991m m m m
α⨯
==--， 222223030659tan 152********PF m
m m m PFB k m m m m +∠====----+， ∵()20,απ∈，()0,PFB π∠∈，tan 2tan PFB α=∠，
∴2PFB α∠=，即直线FM 平分PFB ∠．
【点睛】此题主要考察直线与椭圆的位置关系，考察计算才能，考察转化与化归思想，属于中档题．
21. 函数()()
22x f x ax x a e -=++，()()ln 1g x b x =+. 〔Ⅰ〕当0a >时，求()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕当0a =时，()()f x g x ≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，务实数b 的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕当102a <<时，()f x
在12,2a a ⎛⎫-+-∞ ⎪ ⎪-⎝⎭
，12,2a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪-⎝⎭
上单调递减，
在⎝⎭
上单调递增；当12a ≥时，()f x 在R 上单调递减〔Ⅱ〕1b ≥.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕求出导函数()()2212x f x e ax ax x a -'=-+-+-，令()0f x '=，只需2(21)120ax a x a -+-+-=，由241a ∆=-+，讨论a 的取值范围，根据导数与函数单调性的关系即可求解.
〔Ⅱ〕将不等式转化为ln(1)0x xe b x --+≤在[)0,+∞上恒成立，令
()ln(1)x h x xe b x -=-+，求出()h x '，讨论b 的取值范围，当0b >时，令
()2()1x m x e x b -=--，利用导数研究()m x 的单调性，确定()m x 的符号，进而可到()h x 的单调性，根据单调性即可求解.
【详解】〔Ⅰ〕()2()(21)2x x f x a e ax x a e --'=+-++()
2212x e ax ax x a -=-+-+-， 令()0f x '=，即2(21)120ax a x a -+-+-=，241a ∆=-+，
∵0a >， ①当102a <<时，>0∆
，1122a x a --=-
，2122a x a
-=-， ∴()f x
在⎛-∞ ⎝⎭
，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递减，
在⎝⎭
上单调递增； ②当12
a ≥时，0∆≤，()f x 在R 上单调递减； 〔Ⅱ〕当0a =时，ln(1)x xe
b x -≤+在[)0,+∞上恒成立， 即ln(1)0x xe b x --+≤在[)0,+∞上恒成立，
令()ln(1)x h x xe b x -=-+，那么()2
1()11
x
x x e x b b h x e xe x x -----'=--=++， 当0b ≤时，在[)0,+∞上，都有0x xe ≥，()ln 10b x +≤，
即ln(1)x xe b x -+≥恒成立，与题意矛盾；
当0b >时，令()2()1x m x e x b -=--，()2()21x m x e x x -'=--，
当[)1,x ∈+∞时，()0m x ≤恒成立，
当[)0,1x ∈时，()0m x '
<，()m x 在[)0,1上单调递减，()01m b =-， ①假设()010m b =-≤，即1b ≥，[)0,1x ∈时，()()00m x m ≤=，
∴()0h x '≤，()h x 在[)0,+∞上单调递减，∴()()00h x h ≤=成立，
②当()010m b =->，即01b <<，()10m b =-<，
∴存在()00,1x ∈使得()00m x =，()00,x x ∈，()0m x >，()0,1x x ∈，()0m x <， ()h x 在()00,x 单调递增，∴存在()00,k x ∈使得()0h k >与题意矛盾，
综上所述1b ≥.
【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立，考察了分类讨论的思想，属于难题.
选考题：一共10分，请考生在两题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分，答题时用28鉛笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．
22. 曲线1C
的参数方程为23x t y t
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.
〔Ⅰ〕求曲线1C 的极坐标方程；
〔Ⅱ〕设1C 与2C 交点为A ，B ，求AOB 的面积.
【答案】〔Ⅰ〕24cos 6sin 80ρρθρθ--+=；〔Ⅱ〕1.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕先根据曲线1C 的参数方程，消去参数t 化为直角坐标方程，然后将 cos ,sin x y ρθρθ==代入求解.
〔Ⅱ〕先把曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后与曲线1C 的直角坐标方程联立，求得A ，B 的坐标，再求面积.
【详解】〔Ⅰ〕因为曲线1C
的参数方程为23x t y t
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩〔t 为参数〕，
消去参数t 得：()()22
235x y -+-=，
即：224680x y x y +--+=，
又因为cos ,sin x y ρθρθ==，
代入上式得曲线1C ：24cos 6sin 80ρρθρθ--+=；
〔Ⅱ〕因为曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，
所以22sin ρρθ=，
所以22
20x y y +-=， 联立方程2222468020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩
， 解得02
x y =⎧⎨=⎩或者11x y =⎧⎨=⎩， ∴()0,2A ，()1,1B ， ∴12112
AOB S =⨯⨯=. 【点睛】此题主要考察参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考察了运算求解的才能，属于中档题.
23. 设a ，b 均为正数，且222a b +=，证明：
〔Ⅰ〕()33()4a b a b ++≥；
2.
【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕证明见解析.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕利用分析法、作差法即可证明不等式.
〔Ⅱ〕将不等式两边平方，利用分析法即可证明.
【详解】〔Ⅰ〕∵222a b +=，要证()33()4a b a b
++≥， 只需要证明，()2443322a b ab ba a b +++≥+，
也就是要证明4433442220a b ab ba a b a b +++---≥，即证()20ab a b -≥， ∵a ，b 均为正数，∴()20ab a b -≥，∴()33()4a b a b ++≥；
〔Ⅱ〕∵a ，b 均为正数，∴a b +≥，
∴2
2()a b +≥，
≤≤，
又∵222a b +=2≤.
【点睛】此题考考察了分析法、作差法、根本不等式证明不等式，属于根底题.
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

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翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。