矩阵3-2
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所以我们只需证明 A 可逆的必要条件. 我们先来看下面命题.
【命题3.4】设 A, B 为 n阶方阵, 则 | AB | | A| | B |.
【证明】 为了清晰, 我们在 n 2时给出证明.
由命题1.4 知, 若 A [aij ]22 , B [bij ]22 , 则
a11 a12 b11 | A|| B | a21 a22 b21 a11 a12 0 0 b12 a21 a22 0 0 b22 1 0 b11 b12 0 1 b21 b22
2Байду номын сангаас
(1)2 | AB | | (1) E | (1)4 | AB| | AB|.
所以由命题 3.4 知,若 A 可逆, 则有方阵 B 满足 AB E ; 由此得到
| AB || A| | B | 1,
从而 | A| 0 . 定理 3.1 成立.
【例2】 求下列方阵的逆阵: 3 2 0 A 1 1 1 . 1 2 0 【解】 由于 | A| 5 0 , 故 A 可逆;
A11 A A A12
A21 a11 A22 a21
a12 a22
a11 A11 a21 A21 a11 A12 a21 A22
a12 A11 a22 A21 a12 A12 a22 A22
| A| 0 | A| E . 0 | A|
§2
本节主要内容:
逆阵
概念的引入
逆矩阵的概念和性质 逆矩阵求法
1. 概念的引入
在数的运算中, 当 a 0时, 有
aa 1 a 1a 1,
a 算中, 单位矩阵相当于数的乘法运算中的 1. 那
么对于方阵 A 在什么条件下, 存在方阵 B 满足 AB BA E
其中a
1
1
为a的倒数,(或称a的逆); 在矩阵的运
逆阵运算的基本性质: 若 A、B 为同阶可逆方阵,则
(1) A1亦可逆, 且( A1 )1 A;
(2) AB亦可逆, 且( AB)1 B1 A1 ;
(3) | A1 | | A|1;
(4) AT 亦可逆,且 ( AT )1 ( A1 )T ;
(5) A亦可逆, 且( A )1 ( A1 ) .
【命题3.5】若方阵 A 可逆, 且 AB AC , 则 B C .
1 【证明】 在 AB AC 的两边左乘 A 得到 A1( AB ) A1( AC ) ( A1 A) B ( A1 A)C
EB EC B C.
【命题3.6】若 A, B 为同阶方阵, 则 AB E BA E .
b11 c1 c3 a21 a22 a21b11 a21b12 b12 c1 c4 1 0 0 1 0 b21 0 b22
a11 a12 a11b11 a11b12
b21 c2 c3 a21 a22 a21b11 a22b21 a11b12 a22b22 b22 c2 c4 1 0 0 1
1 A ) ( 1 A ) A E . A( |A| |A|
1 即存在矩阵 B |A| A 满足等式 AB BA E .
我们说满足等式 AB BA E 的矩阵 B 是唯一的.
事实上, 设矩阵 B , C 都满足此式, 即
AB BA E , AC CA E
则
B BE B( AC ) ( BA)C EC C .
下面我们引入逆阵.
【定义2】对于 n阶方阵 A , 若存在 n阶方阵 B 满足
AB BA E ,
则称 A可逆, 并将这个唯一的 B 称为 A 的逆阵,
记为 A1 = B .
【评注】 定义中 A与 B 的地位是等同的, 即若 A 可逆,
【证明】 我们只需在 AB E 时, 推出 BA E .
1 当 AB E 时, 有 | A| 0 , 由定理 3. 知 A 可逆. 同时,
有
A( BA) ( AB ) A EA AE ;
再由命题3.5得到
【评注】
BA E .
此命题简化了逆阵的定义, 即为了说明 B A1 , 我们 只要说明 AB E 和 BA E 之一成立即可.
B]n2 n ,
则 A可逆, 且 B A1 .
2 【例3】 求方阵 A 1 3 【解】 2 1 1 1 A E 3 2
1 1 1 1 的逆阵 A1 . 2 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 3 2 2r3 r1 0 1 0 2 5 3 3r3 r2 0 0 1 1 1 1 A–1
1 3 2 1 5 3 所以 A 2 1 1 1
c1 c3
a12 a12 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 0 0 0 0
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11 a12 a21b11 a22b21 a11b12 a22b22 a21 a22 ( 1) 0 0 1 0 c 2 c4 0 0 0 1
则 B 也可逆,并且 B 1 A .
【问题】
(1)那么方阵 A 在什么条件下可逆？ (2)当方阵 A 满足这个条件时, 如何求 A1 ?
【定理3.1】 A 为方阵, 则 设
(1) A 可逆 | A| 0;
1 (2) 当 | A| 0 时, A1 |A| A .
【证明】由命题 3.3 的推论知, 若 | A| 0 , 则 A 可逆, 并且 A1 1 A . |A|
A11
1
1
1 2
0 3 1 2
1, A12
3 , A22
1
1
3
0 2
2 , A13
1 1 0 1
2 0
1;
A21
2
4, A23 0 1 2 0 2
3 2 0 A 1 1 1 . 1 2 0
第 i 列元素的代数余子式.
【评注】
(1) A是将A中的各个元素分别换成对应的代数 余子式，然后取转置后得到的矩阵.
(2) ( A ) ( A ) .
T
T
a b 的伴随矩阵A 【练习】求A c d 【解】
A11 ( 1)11 d d ;
A12 ( 1)1 2 c c;
3. 求逆阵的另一方法
1 用公式 A1 |A| A 计算一个具体矩阵的逆阵
虽然计算量较大, 但在理论推导上, 此公式是重 要的. 对于具体的矩阵, 下面我们给出一个更有 效的方法来计算逆阵.
【命题3.8】 设 A 为 n阶方阵. 若
行初等变化 [ A E]n2 n [ E
例1具有一般性, 我们将其写为下面的重要命题.
【命题3.3】
设 A 为 n阶方阵, A 为其伴随阵, 则
AA A A | A|E .
【推论】
若 A 为 n阶方阵, 且 | A| 0 , 则
1 A( A A ) ( 1 A ) A E . | | |A|
【证明】 由于 | A| 0 , 我们可以在 AA A A | A|E 1 的两边左乘 | A| 得到 1 ( AA ) 1 ( A A) E ; B |A| |A|
1 1 1 0 1 0 r1 r2 2 1 1 1 0 0 3 2 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 2r1 r2 0 1 3 1 2 0 3r1 r3 0 1 2 0 3 1 1 0 2 1 1 0 r2 r1 0 1 3 1 2 0 r2 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 2 1 1 0 r2 0 1 3 1 2 0 0 0 1 1 1 1
【解】
A31
于是
0 3 1 1
3 , A32
2 1
3 1
1, A33
2
0
1 1
2 .
3 3 A11 A21 A31 1 5 5 5 1 2 1 . A1 |A| A 1 A12 A22 A32 5 4 5 5 5 1 2 2 A13 A23 A33 5 5 5
A21 ( 1)21 b b； A22 ( 1)2 2 a a .
于是 d b A . c a
a11 【例1】 对矩阵 A a21
a12 , 计算 AA 和 A A . a22
a11 【解】 AA a21
a12 A11 A a22 12
A21 A22
a11 A11 a12 A12 a21 A11 a22 A12
a11 A21 a12 A22 a21 A21 a22 A22
| A| 0 | A| E ; 0 | A|
我们称矩阵 B 为 A 的可逆阵或逆阵.
2. 逆矩阵的概念和性质
【定义1】 设 A [aij ]nn 为 n 阶方阵, Aij 为行列式 | A| 中 a ij 对应的代数余子式, 则方阵
A11 A21 An1 A A A 22 n2 A 12 A1n A2 n Ann 称为矩阵 A 的伴随阵, 其第 i 行元素为行列式 |aij |n 中
【命题3.4】设 A, B 为 n阶方阵, 则 | AB | | A| | B |.
【证明】 为了清晰, 我们在 n 2时给出证明.
由命题1.4 知, 若 A [aij ]22 , B [bij ]22 , 则
a11 a12 b11 | A|| B | a21 a22 b21 a11 a12 0 0 b12 a21 a22 0 0 b22 1 0 b11 b12 0 1 b21 b22
2Байду номын сангаас
(1)2 | AB | | (1) E | (1)4 | AB| | AB|.
所以由命题 3.4 知,若 A 可逆, 则有方阵 B 满足 AB E ; 由此得到
| AB || A| | B | 1,
从而 | A| 0 . 定理 3.1 成立.
【例2】 求下列方阵的逆阵: 3 2 0 A 1 1 1 . 1 2 0 【解】 由于 | A| 5 0 , 故 A 可逆;
A11 A A A12
A21 a11 A22 a21
a12 a22
a11 A11 a21 A21 a11 A12 a21 A22
a12 A11 a22 A21 a12 A12 a22 A22
| A| 0 | A| E . 0 | A|
§2
本节主要内容:
逆阵
概念的引入
逆矩阵的概念和性质 逆矩阵求法
1. 概念的引入
在数的运算中, 当 a 0时, 有
aa 1 a 1a 1,
a 算中, 单位矩阵相当于数的乘法运算中的 1. 那
么对于方阵 A 在什么条件下, 存在方阵 B 满足 AB BA E
其中a
1
1
为a的倒数,(或称a的逆); 在矩阵的运
逆阵运算的基本性质: 若 A、B 为同阶可逆方阵,则
(1) A1亦可逆, 且( A1 )1 A;
(2) AB亦可逆, 且( AB)1 B1 A1 ;
(3) | A1 | | A|1;
(4) AT 亦可逆,且 ( AT )1 ( A1 )T ;
(5) A亦可逆, 且( A )1 ( A1 ) .
【命题3.5】若方阵 A 可逆, 且 AB AC , 则 B C .
1 【证明】 在 AB AC 的两边左乘 A 得到 A1( AB ) A1( AC ) ( A1 A) B ( A1 A)C
EB EC B C.
【命题3.6】若 A, B 为同阶方阵, 则 AB E BA E .
b11 c1 c3 a21 a22 a21b11 a21b12 b12 c1 c4 1 0 0 1 0 b21 0 b22
a11 a12 a11b11 a11b12
b21 c2 c3 a21 a22 a21b11 a22b21 a11b12 a22b22 b22 c2 c4 1 0 0 1
1 A ) ( 1 A ) A E . A( |A| |A|
1 即存在矩阵 B |A| A 满足等式 AB BA E .
我们说满足等式 AB BA E 的矩阵 B 是唯一的.
事实上, 设矩阵 B , C 都满足此式, 即
AB BA E , AC CA E
则
B BE B( AC ) ( BA)C EC C .
下面我们引入逆阵.
【定义2】对于 n阶方阵 A , 若存在 n阶方阵 B 满足
AB BA E ,
则称 A可逆, 并将这个唯一的 B 称为 A 的逆阵,
记为 A1 = B .
【评注】 定义中 A与 B 的地位是等同的, 即若 A 可逆,
【证明】 我们只需在 AB E 时, 推出 BA E .
1 当 AB E 时, 有 | A| 0 , 由定理 3. 知 A 可逆. 同时,
有
A( BA) ( AB ) A EA AE ;
再由命题3.5得到
【评注】
BA E .
此命题简化了逆阵的定义, 即为了说明 B A1 , 我们 只要说明 AB E 和 BA E 之一成立即可.
B]n2 n ,
则 A可逆, 且 B A1 .
2 【例3】 求方阵 A 1 3 【解】 2 1 1 1 A E 3 2
1 1 1 1 的逆阵 A1 . 2 1
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 3 2 2r3 r1 0 1 0 2 5 3 3r3 r2 0 0 1 1 1 1 A–1
1 3 2 1 5 3 所以 A 2 1 1 1
c1 c3
a12 a12 a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 0 0 0 0
a11b11 a12b21 a11b12 a12b22 a11 a12 a21b11 a22b21 a11b12 a22b22 a21 a22 ( 1) 0 0 1 0 c 2 c4 0 0 0 1
则 B 也可逆,并且 B 1 A .
【问题】
(1)那么方阵 A 在什么条件下可逆？ (2)当方阵 A 满足这个条件时, 如何求 A1 ?
【定理3.1】 A 为方阵, 则 设
(1) A 可逆 | A| 0;
1 (2) 当 | A| 0 时, A1 |A| A .
【证明】由命题 3.3 的推论知, 若 | A| 0 , 则 A 可逆, 并且 A1 1 A . |A|
A11
1
1
1 2
0 3 1 2
1, A12
3 , A22
1
1
3
0 2
2 , A13
1 1 0 1
2 0
1;
A21
2
4, A23 0 1 2 0 2
3 2 0 A 1 1 1 . 1 2 0
第 i 列元素的代数余子式.
【评注】
(1) A是将A中的各个元素分别换成对应的代数 余子式，然后取转置后得到的矩阵.
(2) ( A ) ( A ) .
T
T
a b 的伴随矩阵A 【练习】求A c d 【解】
A11 ( 1)11 d d ;
A12 ( 1)1 2 c c;
3. 求逆阵的另一方法
1 用公式 A1 |A| A 计算一个具体矩阵的逆阵
虽然计算量较大, 但在理论推导上, 此公式是重 要的. 对于具体的矩阵, 下面我们给出一个更有 效的方法来计算逆阵.
【命题3.8】 设 A 为 n阶方阵. 若
行初等变化 [ A E]n2 n [ E
例1具有一般性, 我们将其写为下面的重要命题.
【命题3.3】
设 A 为 n阶方阵, A 为其伴随阵, 则
AA A A | A|E .
【推论】
若 A 为 n阶方阵, 且 | A| 0 , 则
1 A( A A ) ( 1 A ) A E . | | |A|
【证明】 由于 | A| 0 , 我们可以在 AA A A | A|E 1 的两边左乘 | A| 得到 1 ( AA ) 1 ( A A) E ; B |A| |A|
1 1 1 0 1 0 r1 r2 2 1 1 1 0 0 3 2 1 0 0 1
1 1 1 0 1 0 2r1 r2 0 1 3 1 2 0 3r1 r3 0 1 2 0 3 1 1 0 2 1 1 0 r2 r1 0 1 3 1 2 0 r2 r3 0 0 1 1 1 1 1 0 2 1 1 0 r2 0 1 3 1 2 0 0 0 1 1 1 1
【解】
A31
于是
0 3 1 1
3 , A32
2 1
3 1
1, A33
2
0
1 1
2 .
3 3 A11 A21 A31 1 5 5 5 1 2 1 . A1 |A| A 1 A12 A22 A32 5 4 5 5 5 1 2 2 A13 A23 A33 5 5 5
A21 ( 1)21 b b； A22 ( 1)2 2 a a .
于是 d b A . c a
a11 【例1】 对矩阵 A a21
a12 , 计算 AA 和 A A . a22
a11 【解】 AA a21
a12 A11 A a22 12
A21 A22
a11 A11 a12 A12 a21 A11 a22 A12
a11 A21 a12 A22 a21 A21 a22 A22
| A| 0 | A| E ; 0 | A|
我们称矩阵 B 为 A 的可逆阵或逆阵.
2. 逆矩阵的概念和性质
【定义1】 设 A [aij ]nn 为 n 阶方阵, Aij 为行列式 | A| 中 a ij 对应的代数余子式, 则方阵
A11 A21 An1 A A A 22 n2 A 12 A1n A2 n Ann 称为矩阵 A 的伴随阵, 其第 i 行元素为行列式 |aij |n 中