上海民办文绮中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．25︒
2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24
3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在AC 边上且AD BD =，M 是BD 的中点．若16AC =，8BC =，则CM 等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
4．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①②④ 5．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 6．如图，AB
E 、BC
F 、CD
G 、DA
H 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝
13，则EG 的长是（ ）
A ．72
B ．62
C ．7
D ．73 7．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）
A ．2020
B ．2019(5)
C ．2020(5)
D ．20205 8．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，
E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB C
F ==，2BC CE ==，则EH =（ ）
A 2
B ．2
C 3
D 59．如图，点
E 为矩形ABCD 的边BC 上的点，D
F AE ⊥于点F ，且DF AB =，下列
结论不正确的是（ ）
A ．DE 平分AEC ∠
B ．ADE ∆为等腰三角形
C ．AF AB =
D ．A
E BE E
F =+ 10．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（ ）
A ．240+
B ．213+
C ．13
D ．6
11．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）
A ．5
B ．8
C ．11或5
D ．11或14
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．
14．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．
15．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为63，则它的面积为__________． 16．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．
17．如图，B ，E ，F ，D 四点在一条直线上，菱形ABCD 的面积为2120cm ，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．
18．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．
19．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．
20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A '，折痕为DE ．若将∠B 沿EA '向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B '，则AB ＝_______．
三、解答题
21．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OD 的中点，连接AM 并延长至点E ，使EM AM =，连接CE ，CN ．
（1）求证：ABM CDN ≌；
（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形MECN 是矩形？请说明理由；
（3）连接AN ，EN ．当ANE 满足什么条件时，四边形MECN 是正方形？请说明理由．
22．如图，将长方形ABCD 边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，求DE 的长．
23．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥． （1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数；
（2）求证：=+BA BC AD ；
（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．
24．已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠，//EF BC 交CD 于点O ．
（1）求证：OE OF =；
（2）若点O 为CD 的中点，求证：四边形DECF 是矩形．
25．如图，点B 、E 分别在AC 、DF 上，AF 分别交BD 、CE 于点M 、N ，A F ∠=∠，12∠=∠．
（1）求证：BC DE =．
（2）已知2DE =，连接BN ，若N 平分DBC ∠，求CN 的长．
26．如图，在长方形ABCD 中，DC ＝6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为24cm 2，那么折叠的△ADE 的面积为多少？
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【详解】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出
1
2
CM BD
=，设CM x
=，则
2BD AD x ==，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．
【详解】 解：90ACB ∠=︒，M 是BD 的中点，
12
CM BD ∴= 设CM x =，则2BD AD x ==
16AC =
162CD AC AD x ∴=-=-
在Rt BCD △中，根据勾股定理得
222BC CD BD +=
即()()22281622x x +-=
解得：5x =，
故选A ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM ＝EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．
【详解】
解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠M ＝∠EFC ，
∵E 是CD 的中点，
∴DE ＝CE ，
在△DEM 和△CEF 中，
M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEM ≌△CEF （AAS ），
∴EM ＝EF ，
∵AE 平分∠FAD ，
∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．
即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．
∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，
∴AB 不一定等于BF ，故①错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．A
解析：A
【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．
【详解】
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；
B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理求出BE ，证明四边形EFGH 为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：在Rt △ABE 中，AE ＝5，AB ＝13，
由勾股定理得，BE 22AB AE -22135-12，
∵△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 是四个全等的直角三角形，
∴∠AEB ＝∠BFC ＝∠CGD ＝90°，BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝5，
∴∠FEB ＝∠EFC ＝∠FGD ＝90°，EF ＝EH ＝12﹣5＝7，
∴四边形EFGH 为正方形，
∴EG 2277+2，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解
【详解】
解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012A A
∵1212B A A A =
∴112A B =
∴第2个正方形
1234B B B B
由题意，以此类推，21C B =22C B =
∴第3个正方形
1234C C C C 25==
…
∴第n 个正方形的边长为1n -
∴第2020个正方形的边长为2019
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】
延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出
RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出AG =，利用
1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出5
EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．
【详解】
如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，
∴
AG ===，
∵H 是AG 中点，
∴，
∵1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，
∴21204EN ⨯=，
∴2105
EN =， 在Rt △ENG 中，22610EG EN NG =
-= ， ∴10NH NG HG =-=
， ∴222NH EH EN +=
=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据矩形的性质及HL 定理证明Rt △DEF ≌Rt △DEC ，然后利用全等三角形的性质进行推理判断
【详解】
解：在矩形ABCD 中，∠C=90°，AB=CD
∵DF AE ⊥于点F ，且DF AB =
∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD
在Rt △DEF 和Rt △DEC 中DF DC DE DE
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴∠FDE=∠CDE ，即DE 平分AEC ∠，故A 选项不符合题意；
∵Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴∠FED=∠CED
又∵矩形ABCD 中，AD ∥BC
∴∠ADE=∠CED
∴∠FED=∠ADE
∴AD=AE ，即ADE ∆为等腰三角形，故B 选项不符合题意
∵Rt △DEF ≌Rt △DEC
∴EF=EC
在矩形ABCD 中，AD=BC ，又∵AD=AE
∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF ，故D 选项不符合题意
由于AB=CD=DF ，但在Rt △ADF 中，无法证得AF=DF ，故无法证得AB=AF ，故C 选项符合题意
故选：C ．
【点睛】
本题考查矩形的性质及三角形全等的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．
【详解】
解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小
∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，
∴DF=
12
BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，
∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，
∵DF//BC ，90B ∠=︒，
∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，
∴四边形DBMF 为矩形，
∴BD=FM=1.5，
∴FF′=3，
在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF +=+='
∴△DEF周长的最小值
故选：B
【点睛】
本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F关于BC 的对称点，将DE+EF转化为DF′的长是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
根据翻折的性质，可得当Q与D重合时，A1B最小，根据勾股定理，可得A1C，从而可得答案．
【详解】
解：由折叠可知：
当Q与D重合时，A1B最小，
A1D=AD=10，
由勾股定理，得：
A1=8，
∴A1B=10-8=2，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q与D重合时，A1B最小是解题的关键．12．C
解析：C
【分析】
△与AOB的周长相差3，可分情况得根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD
出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=AO，
△与AOB的周长相差3，
∵AOD
∴AB-AD=3，或AD-AB=3，
∵AB=8，
∴AD的长为5或11，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
二、填空题
13．12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据
两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图
解析：12
【分析】
连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．
【详解】
如图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=1
2AC=
1
2
×6=3，
∵AB＝5，由勾股定理得：224
AB OA
-=，
∴BD=2OB=8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB和△ECD的面积和=1
2×ABCD
S
菱形
＝
1
2
×
1
2
×AC×BD=
1
68=12
4
⨯⨯．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离是解题的关键．
14．【分析】首先利用勾股定理计算出BD的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B的长再设AE=x则A′E=xBE=12-x再在Rt△A′EB中利用勾股定理得出关于x的方程解出x的值可得答案【详解】
解析：10 3
【分析】
首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．
【详解】
解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD=22125+=13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，
在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，
解得：x=103
． 故答案为：
103． 【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．
15．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【 解析：183
【分析】
由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得
160,2
BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =，在Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．
【详解】
解：如图，
菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，
160,2
BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥ 30ABO ∴∠=︒
6BD =
BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，
222(2)x x ∴+=
22274x x +=
解得3x =
3AO ∴=
6AC ∴=
∴菱形的面积62S =÷=
故答案为：
【点睛】
本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD
解析：858
【分析】
根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．
【详解】
解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDB ＝∠DBC ；
由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∴EB ＝ED ＝x ；
由勾股定理得：
BE 2＝AB 2+AE 2，
即x 2＝52+（20﹣x ）2，
解得：x ＝858
，
∴ED＝85
．
8
【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
17．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD交于点O∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO∵正方形AECF的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1
解析：13
【分析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
解：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵正方形AECF的面积为50cm2，
∴1
AC2=50，
2
∴AC=10cm，
∴AO=CO=5cm，
∵菱形ABCD的面积为120cm2，
∴1
×AC×BD=120，
2
∴BD=24cm，
∴BO=DO=12cm，
∴22
+，
AB AO BO
+25144
故答案为13．
【点睛】
本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．18．5cm或cm或cm【分析】利用勾股定理列式求出AB然后分①点P与点C 在AB的两侧时AP与BC是对应边时四边形ACBP是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP与AC是对应边时根据对称性可知AB⊥P
解析：5cm 或245cm 或75cm ． 【分析】 利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．
【详解】
解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，
由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =
+=+=，
如图，
①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，
若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，
∴AB ⊥PC
设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =
12×5•CD=12×3×4， 解得CD=125
， ∴P 2C=2CD=2×
125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，
由勾股定理得，22221293()55
BD BC CD =-=-=， 过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，
则有12×5•P 3E=12
×3×4， ∴P 3E=125
∴P 3E=CD
又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，
∴P 3E//CD ，
∴四边形P 3CDE 是平行四边形，
又∠CDE=90°
∴四边形P 3CDE 是矩形，
∴P 3C=DE
∵3P AB △≌ABC
∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA
又∠P 3EA=∠CDB=90°
∴△P 3AE ≌△CBD
∴AE=BD
∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75
， 综上所述，PC 的长为5cm 或
245cm 或75cm ． 故答案为：5cm 或
245
cm 或75cm ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
19．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF
【分析】
过D 作DF ⊥AC 于F ，得到AB ∥DF ，求得AF ＝CF ，根据三角形中位线定理得到DF =12AB ＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DF ⊥AC 于F ，
∴∠DFC ＝∠A ＝90°，
∴AB ∥DF ，
∵点D 是BC 边的中点，
∴BD ＝DC ，
∴AF ＝CF ，
∴DF =12
AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=2DF=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
20．【分析】利用矩形和折叠的性质证明
∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA≌△DCA那么DC=DB设AB=DC=x在Rt△ADE中通过勾股定理可求出AB的长度【详解】解：3
【分析】
利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出
△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，
∴∠AED=∠A'ED，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E，
∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=1
3
×180°=60°，
∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，
∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，
又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC=DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE=30°，AD=2，
∴
3
23
设AB=DC=x，则BE=B'E=x-
3 3
∵AE2+AD2=DE2，
∴222233
x x +=+-（（ 解得，x 1
（负值舍去），x 2
，
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明
∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）AC=2AB ，理由见解析；（3）当AN=EN 且∠ENA=90°时，四边形MECN 是正方形．
【分析】
（1）根据SAS 证明三角形全等即可．
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠NMA=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出MN=EM ，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，
∴∠ABM=∠CDN ，
∵点M ，N 分别为OB ，OD 的中点， ∴11,22
=
=BM OB DN OD ∴BM=DN ，
在△ABM 和△CDN 中， AB CD ABM CDN BM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABM ≌△CDN ．
（2）当AC=2AB 时，四边形MECN 是矩形，
理由如下：∵△ABM ≌△CDN ，
∴AM=CN ，∠AMB=∠CND ，
∴∠AMN=∠CNM ，
∴AM ∥CN ，
∵EM AM =，
∴EM CN =，
∴四边形EMNC是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，
∵AC=2AB，
∴AB=OA，
∵M是OB的中点，
∴AM⊥OB，
∴∠NMA=90°，
∴∠NME=90°，
∴平行四边形MECN是矩形．
（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形；
理由如下：连接AN、EN
∵△ABM≌△CDN，
∴AM=CN，∠AMB=∠CND，
∴∠AMN=∠CNM，
∴AM∥CN，
∵EM AM
=，
∴EM CN
=，
∴四边形EMNC是平行四边形，
∵EM AM
=，∠ENA=90°
∴MN=EM，
∴平行四边形EMNC是菱形，
∵AN=EN，AM=EM
∴∠NME=90°，
∴四边形EMNC是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．10 3
【分析】
先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和
矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC 中，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：∵S △ABF =24， ∴12AB•BF ＝24，即12
×6×BF ＝24． 解得：BF=8．
在Rt △ABF 中由勾股定理得：=10． 由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE ． ∴FC=10-8=2．
设DE=x ，则EC=6-x ．
在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，x 2=4+（6-x ）2．
解得：x=
103， ∴DE=103
． 【点睛】
本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．
23．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）
52a 或3910a 【分析】
（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；
（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；
（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，
=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段
的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，
同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75
AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．
【详解】
（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥，
∴11804022
BAP DAP BAD ∠=∠=
∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒； （2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠， ∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，
在ABP △和AGP 中，
BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠，
∴ABP AGP ≌， ∴BA GA =，BP GP =， ∵//BC AD ，
∴CBP DGP ∠=∠，
在BCP 和GDP △中，
CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，
∴BCP GDP △≌△，
∴=BC GD ，
∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；
（3）分两种情况讨论，
①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，
∴AE BF =，
∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，
∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，
由（2）可知，ABP AGP ≌，
∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，
由（2）可知，BCP GDP △≌△，
∴=CP DP ，=BC GD ，
∵//BC AD ，
∴BFP GEP ∠=∠，
在CFP 和DEP 中，
CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，
∴CFP ≌DEP ， ∴
CF DE =， ∵
=BC GD ， ∴
BC CF GD DE +=+, ∴BF EG =，
又∵四边形ABFE 是平行四边形，
∴BF AE =,
∴BF AE EG ==,
∴25AG AE a ==， ∴52
AE a =；
图2
②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，
同①可得PFC PED △≌△，
∴CF DE =，
∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，
∴5BF AE BC AD AB a +=+==，
在Rt ABP 中，2162
ABP S BP AP a =⋅=△， 由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，
梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=
⨯=， 解得，245
BH a =， 在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =
-=， ∵//BC AD ，
∴BH FI =，BF HI =，
∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，
BH FI =，AB EF =，
∴Rt BHA △≌Rt FIE △，
∴75AH EI a ==
， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+， ∴2()BF AE BF AH +=+，
∴1110
BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=
．
图3
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠，得OE OC =，OF OC =，即可得出结论；
（2）先证得四边形DECF 是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得90ECF ∠=︒，则可证得四边形DECF 为矩形．
【详解】
证明：（1）∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠
∴BCE DCE ∠=∠，DCF GCF ∠=∠
∵EF ∥BC ，
∴BCE FEC ∠=∠，EFC GCF ∠=∠
∴DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠
∴OE OC =，OF OC =，
∴OE OF =．
（2）∵点O 为CD 的中点，
∴OD OC =，又OE OF =，
∴四边形DECF 是平行四边形
∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠，
∴1
2DCE BCD ∠=∠，12
DCF DCG ∠=∠ ∴()11=9022
DCE DCF BCD DCG BCG ∠+∠=
∠+∠∠=︒ ∵DCE DCF ECF ∠+∠=∠， ∴90ECF ∠=︒
∵四边形DECF 是平行四边形，
∴平行四边形DECF 是矩形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
25．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB 与EC 平行，再由内错角相等两直线平行得到DE 与BC 平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC ，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【详解】
解：（1）证明：∵∠A=∠F ，
∴DE ∥BC ，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF ，
∴∠DMF=∠2，
∴DB ∥EC ，
则四边形BCED 为平行四边形；
（2）解：∵BN 平分∠DBC ，
∴∠DBN=∠CBN ，
∵EC ∥DB ，
∴∠CNB=∠DBN ，
∴∠CNB=∠CBN ，
∴CN=BC=DE=2．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
26．
503
cm 2 【分析】 由面积法可求BF 的长，由勾股定理可求AF 的长，即可求CF 的长，由勾股定理可求DE 的长，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD，
∵S△ABF＝1
2
AB×BF＝24cm2，
∴BF＝8cm，
在Rt△ABF中，AF=10（cm），
∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF，
∴BC＝10cm，
∴FC＝BC﹣BF＝2cm，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，
∴DE2＝（6﹣DE）2＋4，
∴DE＝10
3
（cm），
∴S△ADE＝1
2×AD×DE＝
110
10
23
⨯⨯＝
50
3
（cm2），
答：折叠的△ADE的面积为50
3
cm2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．。