大学物理授课教案第二章牛顿运动定律

第二章 牛顿运动定律
§2-1牛顿运动定律 力
一、牛顿运动定律 1、第一定律
（2-1）
说明：⑴反映物体的惯性，故叫做惯性定律。

⑵给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。

2、第二定律
（2-2）
说明：⑴F 为合力 ⑵a m F =为瞬时关系
⑶矢量关系 ⑷只适应于质点 ⑸解题时常写成
⎪⎩⎪⎨⎧===⇒=z
z y y
x
x
ma F ma F ma F a m F （直角坐标系） （2-3） ⎪⎩
⎪⎨
⎧
====⇒=（切向）
（法向）
dt
dv
m ma F r v m ma F a m F t t n n 2
（自然坐标系） （2-4） 3、第三定律
（2-5）
说明：⑴1F 、2F
在同一直线上，但作用在不同物体上。

⑵1F
、2F 同有同无互不抵消。

二、几种常见的力 1、力
力是指物体间的相互作用。

2、力学中常见的力 （1）万有引力
（2-6） 即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量1m 、2m 的乘积成正比，和它们距离r 的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。

说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。

（2）弹性力
弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。

（3）摩擦力
当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。

3、两种质量
由惯
引
称为惯性质量，确定的质量称为引力质量，确定的质量m m ma f m m r GmM f ==2/
可证明：
const m m =惯
引，
适选单位可有 惯引m m =。

∴以后不区别二者，统称为质量。

§
2-2
力学单位制和量纲（自学） §2-3惯性系 力学相对性原理
一、惯性参照系
在运动学中，参照系可任选，在应用牛顿定律时，参照系不能任选，因为牛顿运动定律不是对所有的参照系都适用。

如图2-1，假设火车车厢的桌面是水平光滑的，在桌
面上放一小球，显然小球受合外力=0，当火车以加速度a 向前开时，车上人看见小球以
加速度a
-向后运动。

而对地面上人来说，小球的加速度为零。

如果取地参系，小球的合外力等于零，故此时牛顿运动定律（第一、二定律）成立。

如果取车厢为参照系，小球的加速度0≠，而作用小球的合外力0=，故此时牛顿运动定律（第一、第二定律）不
a
图 2-1
成立。

凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。

牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。

说明：（1）一个参照系是否为惯性系，要由观察和实验来判断。

天文学方面的观察
证明，以太阳中心为原点，坐标轴的方向指向恒星的坐标轴是惯性系。

理论证明，凡是对惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。

（2）地球是否为惯性系？因为它有自转和公转，所以地球对太阳这个惯性
系不是作匀速直线运动的，严格讲地球不是惯性系。

但是，地球自转和公转的角速度都很小，故可以近似看成是惯性系。

二、力学相对性原理
在1-3中已讲过，参照系E 与M ，设E 是一惯性系，M 相对E 以ME v 做匀速直线运动，
即OM 也是一惯性系，二参照系相应坐标轴平行，在E 、M 上牛顿第二定律均成立，设一质点P 1质量为m ，相对E 、M 有
⎥⎦⎤==）相对）
相对M a m F E a m F PM M PE E ((
（2-7） 设P 相对E 、M 的速度分别为PE v 、PM v
，有
ME PM PE v v v
+= （2-8）
上式两边对t 求一阶导数有
PM PE a a
= （2-9）
可见，P 对E 和M 的加速度相同。

综上可知，对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式（见（2-7）），在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对其它惯性系是否在运动（见（2-9）），这个原理称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。

§2-4牛顿定律应用举例
例2-1: 如图2-2，水平地面上有一质量为M 的物体，
静止于地面上。

物体与地面间的静摩擦系数为s μ， 若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？
解：⑴研究对象：M
⑵受力分析：M 受四个力，重力P
，拉力
T
，地面的正压力N ，地面对它的摩擦力f ，
见受力图2-3。

⑶牛顿第二定律：
合力：
a M f N T P f N T P F =+++⇒+++=
图 2-2
图 2-3
分量式：取直角坐标系
x 分量：Ma f F =-θcos ① y 分量：0sin =-+P N F θ ②
物体启动时，有
0cos ≥-f F θ ③
物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即N f s μ=，由②解出N ，求得f 为：
)sin (θμF P f s -= ④
④代③中：有
)sin /(cos θμθμs s Mg F +≥ ⑤
可见：)(θF F =。

min T T =时，要求分母)sin (cos θμθs +最大。

设θθμθcos sin )(+=s A
0sin cos =-=θθμθ
s d dA
s tg μθ=⇒
∵ 0cos sin 2
2<--=θθμθ
s d A
d ∴ s tg μθ=时，max A A =
min F F =⇒。

s arctg μθ=代入⑤中，
得：
2
2
22111
11/s s s s s s Mg
Mg F μμμμμμ+=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++
+≥
F
方向与水平方向夹角为s arctg μθ=时，即为所求结果。

强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标）。

例2-2：质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为KV f =，
K 为常数。

求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。

解：⑴研究对象：m
⑵受力分析：m 受两个力，重力P
及空 气阻力f
，如图2-4。

⑶牛顿第二定律：
合力：f P F
+=
a m f P =+
y 分量：dt
dV
m KV mg =--
dt KV
mg mdV -=+⇒
抛出点 y=0图 2-4
即
dt m KV mg dV 1
-=+
⎰⎰-=+t v v dt m KV mg dV 01
dt m
KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e
KV mg t m
K
+⋅=+-
mg K
e KV mg K V t m K
1
)(10-+=⇒- ①
0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为
)1ln(ln 000mg
KV K m
mg KV mg K m t +=+=
② ∵ dt
dy
V =
∴ Vdt dy =
dt mg K e KV mg K Vdt dy t
t m K t
y
⎰⎰⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+==-0000
1
)(1
mgt K
e KV mg K m y t m
K 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-
mgt K
e KV mg K m t m
K
11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=- ③ 0t t = 时，max y y =，
)1ln(11)(0)1ln(02max
0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg
KV K m
m K +
⋅-⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- )1ln(1
1)(022
002
mg KV g K m mg KV mg KV mg K m
+-⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+=
)1ln()(022
0002
mg
KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++=
)1ln(0220mg KV g K m K mV +-=
例2-3：如图2-5，长为l 的轻绳，一端系质量为m 的小球，另一端系于原点o ，开始时
小球处于最低位置，若小球获得如图所示的初速度0v
，小球将在竖直面内作圆
周运动，求:小球在任意位置的速率及绳的张力。

解：⑴研究对象：m
⑵受力分析：小球受两个力，
即重力g m
，拉力n F ，如图2-6。

⑶牛顿定律：a m g m F n
=+
n e
方向：l v m ma mg F n n 2cos ==-θ i e
方向：dt
dv m ma mg t ==-θsin
由②有： ωθθθ
θ
d dv dt d d dv dt
dv g
=
=⋅==-sin 即 θθd s i n lg vdv -= 作如下积分： ⎰
⎰-=θ
θθ0
d s i n lg vdv v v
有
)l g (c o s )v v (12
12
02-=-θ 得： )l g (c o s v v 122
-+=θ v 代①中，得：
)2cos 3(20
g g l
v m F n -+=θ
例2-4：如图2-6，一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端
各系一质量为1m 和2m 的物体，且21m m >，设滑轮的 质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加
速度0a 相对地面向上运动，试求两物体相对定滑轮 的加速度大小及绳中张力。

解：⑴研究对象：1m 、2m
⑵受力分析：1m 、2m 各受两个力，即重力 及绳拉力，如图2-7。

⑶牛顿定律
设1m 对定滑轮及地加速度为τ1a 、1a
，
2m 对定滑轮及地加速度为τ2a 、2a
，
1m ：)(0111111a a m a m T g m +==+τ 2m ：)(0222222a a m a m T g m
+==+τ
如图所选坐标，并注意τττa a a ==21，T T T ==21，有
⎩⎨
⎧+=+-=-)()
(022
011a a m T g m a a m T g m ττ 解得： )(02
12
1a g m m m m a ++-=
τ
o
v 图 2-5
a τ
2a
a 图 2-6g
1图 2-7
g
2 T x y
)(202
12
1a g m m m m T ++=
例2-5：如图2-8，质量为M 的三角形劈置于水平
光滑桌面上，另一质量为m 的木块放在M
面上，m 与M 间无摩擦。

试求M 和m 对M 的加速度。

解：⑴研究对象：m 、M
⑵受力分析：M 受三个力，重力g M
， 正压力'N ，地面支持力''N。

m 受两个力，
重力g m
，M 的支持力N ， 如图2-9所取坐
标系，设M 对地加速度为M a
，m 对M 的加速
度为mM a ，m 对地的加速度为m a
，有
M mM m a a a += 由牛顿得二定律有：
m ：)(M mM a a m N g m
+=+
x 分量： )cos (sin M mM a a m N -=θθ ① y 分量： θθsin cos mM ma N mg -=+- ②
M ： ⎩
⎨
⎧=-=-N N Ma N M
'sin 'θ ③ 由①、②、③有：
⎪⎩
⎪⎨⎧++=
+=θθθθθ22sin sin )(sin cos sin m M c g M m a m M mg a M m M
强调：相对运动公式的应用。

图 2-8
M
a x
图 2-9。