中考数学辅导：解析灵活的圆中角

2019中考数学辅导：解析灵活的圆中角
资料图1
资料图2
资料图3
角是几何图形中最重要的元素，是判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的旋转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。

下面主要介绍圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角与内对角之间的相互转化问题。

特别指出在理解圆中角时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用。

基本图形如下：（1）一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（3）直径所对的圆周角是90°；
（4）圆内接四边形外角等于内对角；
（5）圆内接四边形，一条边所对的两个圆周角相等；（6）如图，像∠APB这样顶点在圆内，两边都与圆相交的角我们定义为圆内角，由三角形外角的性质可以得到
∠APB=∠ADB+∠CBD，即圆内角可以通过圆周角进行转换，实质上∠APB=■（弧AB的度数+弧CD的度数）；（7）如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边都与圆相交的
角我们定义为圆外角，由三角形外角的性质可以得到
∠APB=∠ADB-∠CBD，即圆外角可以通过圆周角进行转换，实质上∠APB=■（弧AB的度数弧-CD的度数）。

例1.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为（）
A.28°
B.56°
C.60°
D.62°
此题为2009年天津市中考题数学选择第9题，具体解法为连结OB，△OAB为以圆心为顶点的等腰三角形，则
∠OAB=∠OBA=28°，所以∠AOB=124°，结合基本图形（1），所以∠C=62°。

例2.已知，O是△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A的度数。

解：分两种情况讨论：
（1）当O在△ABC内部时：
∠A=■∠BOC=■×130°=65°
（2）当O在△ABC外部时：由∠BOC=130°，得劣弧■的度数130°，则■的度数=360°-130°=230°
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中
也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

∴∠A=115°
要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文
水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语
文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

综上所述∠A=65°或115°
此题意在考查基本图形（1）及圆中一条弦所对的圆周角有两种情况，提醒同学们特别注意由圆的特性导致的双解题型。