2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷(文科)

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合M ={−1,0，1}，N ={x|x 2≤x}，则M ∩N =
A. {0}
B. {0,1}
C. {−1,1}
D. {−1,0，1} 2. 如图，若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ，则复数z +4z 为( ) A. 3+i B. −3−i C. 3−i
D. 1+3i
3. 在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该
点取自阴影部分内的概率为( )
A. π16
B. π12
C. 4−π
4
D. 14
4. 已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则a 7−a 9
a 6−a 7的值为( ) A. 30 B. 25 C. 15 D. 10
5. 设向量a ⃗ =(−2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(m,−3)，c ⃗ =(3,1)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥c ⃗ ，设a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=( )
A. −35
B. 35
C. √
55 D. −2√
55
6. 若函数f(x)=e x (sinx +a)在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( )
A. [√2,+∞)
B. (1,+∞)
C. [−1,+∞)
D. (√2,+∞)
7. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)，已知函数y =|f(x)|的图象如图，则( )
A. f(x)=2sin(4x +π3)
B. f(x)=2sin(4x −π
3) C. f(x)=2sin(43x −8π9) D. f(x)=2sin(43x +8π9)
8.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，在△BCD中∠BCD=90°且BC=3.将△ABC沿
BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=3
2
，那么()
A. 平面ABD⊥平面BCD
B. 平面ABC⊥平面ABD
C. AB⊥CD
D. AC⊥BD
9.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是()
A. 2
B. √10−1
C. √11−1
D. 2√3−1
10.已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1与圆x2+y2−5x+4=0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点(−2,0)，
则双曲线的离心率为()
A. √14+√2
B. √14+√2
3C. √2 D. 2√3+√2
3
11.将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两
平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有()
(1)曲线Γ不是等宽曲线；
(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；
(3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；
(4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12. 已知函数f(x)=ax 2−2x +lnx 有两个极值点x 1，x 2，若不等式f(x 1)+f(x 2)<x 1+x 2+t 恒成立，那么t 的
取值范围是( )
A. [−1,+∞)
B. [−2−2ln2,+∞)
C. [−3−ln2,+∞)
D. [−5,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知f(x)={−x −3x +3,x <1−lg(11x 2+1),x ≥1
，则f[f(3)]=______． 14. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =2n −1，则数列{S
n n }的前n 项和为______． 15. 某车间每天能生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且
两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为______万元．
16. 已知点M(3
2,−1)，直线l 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点交抛物线C 于A 、B 两点，且AM 恰与抛物线C 相切，那
么直线l 的斜率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个
容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100,110)，第二组[110,120)，…，第五组[140,150]，得到频率分布直方图．
(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；
(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．
18.在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2，bsinC=√3
a.
2
(1)求△ABC的面积；
(2)若b：c=√3：1，求A．
19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P−
ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四
棱锥P−ABCD和四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高相等．
(1)证明：PB//平面ADO1；
(2)若AB=BD=BB1=2，求几何体P−AB1C1的体积．
20.巳知函数f(x)=ax−2lnx−2，g(x)=axe x−4x．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)当a=2时，证明：g(x)+f(x)≥0．
21.已知动点Q到点F(1,0)的距离和到直线l：x=4的距离之比为1
2
．
(1)求动点Q的轨迹方程C；
(2)已知点P(1,3
2
)，过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x=4于M、N、H．
(i)证明：H恰为线段MN的中点；
(ii)是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐
标方程为ρ=4sinθ．
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；
(2)射线OP：θ=α(α∈(0,π
2
))交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．
23.已知函数f(x)=√x2+2x+1+√x2−6x+9−m≥0恒成立．
(1)求m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足2
3a+b +1
a+2b
=n时，求7a+4b的最小值．
答案和解析1.【答案】B
【解析】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0，1}，所以M∩N={0,1}．
故选B．
求出集合N，然后直接求解M∩N即可．
本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意，得z=1−i，
则z+4
z =1−i+4
1−i
=1−i+4(1+i)
(1−i)(1+i)
=1−i+2+2i=3+i．
故选：A．
由已知求得z，代入z+4
z
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D
【解析】解：由对称性可得，阴影部分的面积等于△AOB的面积；
而△AOB的面积占整个正方形面积的1
4
；
故所求概率为：1
4
．
故选：D．
根据对称性得到阴影部分的面积等于△AOB的面积；再结合面积比即可求解结论．
本题主要考查几何概型的应用，属于基础题目．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，
若a5=3，a4a7=45，则a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，则q=5，
则a7−a9
a6−a7=q−q3
1−q
=q(1+q)=30；
故选：A．
根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，解可得q的值，结合等比
数列的通项公式有a7−a9
a6−a7=q−q3
1−q
=q(1+q)，计算即可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】D
【解析】解：∵a⃗+b⃗ =(m,−3)，c⃗=(3,1)，(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，
∴3m−3=0，可得m=1，可得a⃗+b⃗ =(1,−3)，
∵a⃗=(−2,1)，
∴b⃗ =(3,−4)，可得|a⃗|=√5，|b⃗ |=5，
∴a⃗⋅b⃗ =−6−4=−10，
∴设a⃗、b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ ||b⃗|=
5×5
=−2√5
5
．
故选：D．
由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=e x(sinx+a)，所以f′(x)=e x(sinx+a+cosx)．
要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立．
即sinx+a+cosx≥0恒成立．
所以a≥−sinx−cosx，
因为−sinx−cosx=−√2sin(x+π
4
)
所以−√2≤−sinx−cosx≤√2，
所以a≥√2．
故选：A．
求函数的导数，要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立，然后求出实数a的取值范围．
本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由于函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，
根据函数的图象函数y=f(x)的周期T，满足3
4T=2π
3
−7π
24
=9π
24
，
解得T=8π，所以ω=4．
当x=7π
24时，f(7π
24
)=±2，
整理得4×7π
24+φ=kπ+π
2
(k∈Z)，解得φ=kπ−2π
3
(k∈Z)，
当k=1时，φ=π
3
．
故选：A．
直接利用函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数
f(7π
24
)=±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．
本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BC=3，
点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=3
2
，
由AM=1
2
BC，可得M为BC的中点，
AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，
又CD⊥BC，AM，BC为相交直线，
可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，
故选：C．
由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．
本题考查线面垂直的判定和垂直，考查推理能力，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
N=10，S=0，k=1
S=
√2+1
，
满足条件k<10，k=2，S=
√2+1√3+√2
，
满足条件k<10，k=3，S=
√2+1√3+√2√4+√3
，
…
满足条件k<10，k=10，S=
√2+1+
√3+√2√4+√3
⋯+
√10+√9√11+√10
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+
√11=√11−1，
不满足条件k<10，退出循环，输出S的值为√11−1．故选：C．
模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=
√2+1√3+√2√4+√3+⋯
√10+√9√11+√10
的值，用裂项法即可
得解．
本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．10.【答案】C
【解析】解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y=k(x+2)，
可得kx−y+2k=0，圆x2+y2−5x+4=0的圆心(5
2,0)，半径为：3
2
，
所以|5
2
k+2k|
√k2+1=3
2
，解得k=±√2
4
，
不妨取切线方程y=√2
4(x+2)代入圆的方程可得：(1+1
8
)x2−5x+1
2
x+4+1
2
=0，解得x=2，
此时y=√2，所以P(2,√2)代入双曲线方程可得：4
a2−2
b2
=1，并且4=a2+b2，
解得a=b=√2，
所以双曲线的离心率为：e=c
a
=√2．
故选：C．
设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11.【答案】B
【解析】解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为1
2
，
(1)根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；
(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长，正确；
(3)根据(2)得(3)错误；
(4)曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确．
综上，正确的有2个．
故选：B ．
若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为12，根据定义逐一判断即可得出结论． 本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题． 12.【答案】D
【解析】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=2ax 2−2x+1x (x >0)，
因为函数f(x)=ax 2−2x +lnx 有两个极值点x 1，x 2，
所以方程2ax 2−2x +1=0在(0,+∞)上有两个不相等的正实数根，
则{△=4−8a >0x 1+x 2=1a
>0x 1x 2=12a >0，解得0<a <12
． 因为f(x 1)+f(x 2)−(x 1+x 2)=ax 12−2x 1+lnx 1+ax 22−2x 2+lnx 2−x 1−x 2=a[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−3(x 1+
x 2)+ln(x 1x 2)=−2a −1−ln2a ，
设ℎ(a)=−2a −1−ln2a ，
ℎ′(a)=2−a
a 2，易知ℎ′(a)>0在(0,12)上恒成立，
故ℎ(a)在(0,12)上单调递增，
故ℎ(a)<ℎ(12)=−5，
所以t ≥−5，
所以t 的取值范围是[−5,+∞)．
故选：D ．
由题意可得f′(x)=2ax 2−2x+1x (x >0)，由函数f(x)=ax 2−2x +lnx 有两个极值点x 1，x 2，可得方程2ax 2−2x +1=
0在(0,+∞)上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得a 的取值范围，由f(x 1)+f(x 2)−(x 1+x 2)═−2a
−1−ln2a ，令ℎ(a)=−2a −1−ln2a ，利用导数研究其最大值即可． 本题考查利用导数研究函数的极值及恒成立问题，考查降元思维及化简变形，运算求解能力，属于中档题． 13.【答案】132
【解析】解：∵f(x)={−x −3x +3,x <1−lg(11x 2+1),x ≥1，
∴f(3)=−lg100=−2；
∴f[f(3)]=f(−2)=−(−2)−
3−2+3=132．
故答案为：132．
直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．
本题考查分段函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力． 14.【答案】
n 2+n 2．
【解析】解：∵数列{a n }的通项公式为a n =2n −1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，
S n =n +
n(n−1)2×2=n 2， 所以S n n
=n ， 可得数列{S n n }的前n 项和为1+2+3+⋯+n =n 2+n 2．
故答案为：n 2+n 2．
通过数列{a n }的通项公式为a n =2n −1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简S n n 的表达式，然后求和即可．
本题考查等差数列的判断与数列的求和，是基本知识的考查．
15.【答案】5
【解析】解：由题意可知{1≤x +y ≤3
|x −y|≤1x ≥0y ≥0
， 设该车间每天的利润为z ，则z =2x +y ，
画出可行域，如图所示：，
由图可知，当目标函数过点A 时，取得最大值，
联立方程{x +y =3x −y =1
，解得{x =2y =1，即A(2,1)， 所以z 的最大值为2×2+1=5，
故答案为：5．
由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z ，则目标函数z =2x +y ，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．
本题主要考查了函数的实际应用，以及简单的二元线性规划问题，是中档题．
16.【答案】34
【解析】解：方法一：抛物线C 的焦点为(0,1)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =kx +1，
联立方程组{y =kx +1x 2=4y
，消去y ，整理得：x 2−4kx −4=0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，
由y =14x 2，求导y′=12x ，
因为直线AM 与抛物线相切，所以直线AM 的斜率k =12x 1，
直线AM 的斜率k =y 1−(−1)
x 1−32=x 124−(−1)x 1−32=12x 1，整理得x 12−3x 1−4=0， 解得x 1=4，或x 1=−1，
所以{x 1=4x 2=−1或{x 1=−1x 2=4
， 所以x 1+x 2=4k =3，
即k =34，
方法二：利用阿基米德三角形：点的坐标P(x 1+x 22,x 1x 22p )，底边AB 所在的直线方程为：
(x 1+x 2)x −2py −x 1x 2=0，
所以直线AB的斜率为k=x1+x2
2p
=3
4
．
故答案为：3
4
．
设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及导数的几何意义，此题的实质是考查阿基米德三角形的性质，有兴趣的同学可以自己研究，在选择及填空中，可以起到事半功倍的效果，在解答题中，可以更快的理清思路．考查转化思想，计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，
其频率为(0.032+0.008)×10=0.4，
故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀的人数为800×0.4=320人．
(2)第一小组共有0.006×10×50=3人，其中2男1女，分别记为A1，A2，B1；
第五小组共有0.008×10×50=4人，其中1男3女，分别记为A3，B2，B3，B4．
现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况有：
A1A3，A1B2，A1B3，A1B4，A2A3，A2B2，
A2B3，A2B4，A3B1，B1B2，B1B3，B1B4，共12种，
其中恰有1男1女的情况有：A1B2，A1B3，A1B4，
A2B2，A2B3，A2B4，A3B1，共7种．
故抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率为7
12
．
【解析】(1)由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，由频率/组距×组距×总体数量即可得解；
(2)由频率/组距×组距×样本容量，可分别算出第一小组由3人(记为A1，A2，B1)和第五小组有4人(记为A3，B2，B3，B4)，然后用列举法写出从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况以及恰有1男1女的情况，最后由古典概型计算概率的方式即可得解．
本题考查频率分布直方图的数字特征和古典概型，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵bcosC+ccosB=2，
∴由余弦定理可得：b⋅a2+b2−c2
2ab +c⋅a2+c2−b2
2ac
=2，
∴2a2
2a
=2，解得a=2，
∵bsinC=√3
2
a=√3，
∴S△ABC=1
2absinC=1
2
×2×√3=√3．
(2)由(1)及条件和余弦定理可得：{b =√3cb 2+c 2−2bccosA =412bcsinA =√3， 化简可得：{c 2sinA =2c 2(2−√3cosA)=2
，消去c ，可得：sinA +√3cosA =2，即sin(A +π3)=1， 因为：A ∈(0,π)，
可得：A +π3=π2，可得A =π
6．
【解析】(1)由余弦定理化简已知等式解得a =2，由已知可求bsinC =√3，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．
(2)由(1)及条件和余弦定理可得：{b =√3cb 2+c 2−2bccosA =412bcsinA =√3，化简可得sin(A +π3)=1，结合A 的范围，利用正弦函数的性质即可求解A 的值．
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：由已知可得，PO 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的
侧棱与底面垂直，
故PO 1//BB 1//DD 1，即P 、B 、O 1、D 四点共面．
由四棱锥P −ABCD 和四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的高相等，
可知，在四边形PBO 1D 中，PO 1与BD 的交点O 为PO 1的中点，也是BD 的中点．
∴四边形PBO 1D 是平行四边形，故PB//DO 1，
又PB ⊄平面ADO 1，O 1D ⊂ADO 1，
∴PB//平面ADO 1；
(2)解：∵V P−AB 1C 1=V B 1−PAC 1=13B 1O 1×S △PAC 1，
∵AB =BD =BB 1=2，∴B 1O 1=1．
连接PC 1和AC 交于点E ，由△POE≌△C 1CE ，得OE =12OC ，
则AE =34AC =3√32
． ∴S △PAC 1=S △PAE +S △C 1AE =2S △PAE =2×12AE ×PO =2×12×
3√3
2×2=3√3．
∴几何体P −AB 1C 1 的体积为13×1×3√3=√3．
【解析】(1)四边形PBO 1D 中，由已知证明PO 1与BD 的交点O 为PO 1的中点，也是BD 的中点，可得四边形PBO 1D 是平行四边形，故PB//DO 1，再由直线与平面平行的判定可得PB//平面ADO 1；
(2)连接PC1和AC交于点E，求出三角形PAE的面积，可得三角形PAC1的面积，再由等体积法求几何体P−AB1C1的体积．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
20.【答案】(1)解：∵f(x)=ax−2lnx−2，∴f′(x)=a−2
x =ax−2
x
，定义域为(0,+∞)，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，无极值；
当a>0时，令f′(x)=0，得x=2
a ，f(x)在(0,2
a
)上单调递减，在(2
a
,+∞)上单调递增，
∴极小值为f(2
a
)=2(lna−ln2)，无极大值．
综上所述，
当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)的极小值为2(lna−ln2)，无极大值．
(2)证明：当a=2时，g(x)+f(x)=2x−2lnx−2+2xe x−4x=2xe x−2x−2lnx−2=2xe x−2ln(xe x)−2，要证g(x)+f(x)≥0，即证2xe x−2ln(xe x)−2≥0，需证f(xe x)≥0．
由(1)知，当a=2时，极小值为f(2
a
)=f(1)=2(ln2−ln2)=0，这也是f(x)的最小值，
∴f(x)≥0恒成立，即f(xe x)≥0也成立，
故当a=2时，有g(x)+f(x)≥0．
【解析】(1)求导得f′(x)=ax−2
x
，定义域为(0,+∞)，再分a≤0和a>0两类讨论f′(x)与0的大小关系，即可得f(x)的单调性，从而求极值；
(2)可将g(x)+f(x)化简为2xe x−2ln(xe x)−2，要证g(x)+f(x)≥0，需证f(xe x)≥0；利用(1)中的结论可知
f(x)≥0恒成立，故而得证．
本题考查利用导数研究函数的极值、证明不等式，发现函数之间的联系，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】(1)解：设Q(x,y)，由题意得：√(x−1)2+(y−0)2
|x−4|=1
2
，
化简可得动点Q的轨迹方程为：x2
4+y2
3
=1；
(2)(i)证明：当直线AB的斜率为0时，直线PA：y=1
2
(x+2)，得M(4,3)．
直线PB：y=−3
2
(x−2)，得N(4,−3)．
AB为x轴，故H(4,0)恰为线段MN的中点．
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x=ty+1(t≠0)，A(x1,y1)，
B(x 2,y 2)，H(4,3t ).
由{x =ty +1x 24+y 23=1，得(3t 2+4)y 2+6ty −9=0． ∴y 1+y 2=−6t 3t 2+4
，y 1y 2=−93t 2+4． 直线PA 的方程为y −32=y 1−
32x
1−1(x −1)，得M(4,−92ty 1+3t +32)， 同理可得N(4,−92ty 2+3t +32).
∵−92ty 1+3t +32−92ty 2+3t +32=6t +3−92t ⋅y 1+y 2y 1y 2=6t +3−92t ⋅−6t
3t 2+4−9
3t 2+4=6t ， ∴线段MN 的中点坐标为(4,3t )，即为H 点．
综上，H 恰为线段MN 的中点；
(ii)解：当直线AB 的斜率不等于0时，|MN|=|92ty 1−92ty 2|=|92t (1y 1−1
y 2)|. 故以MN 为直径的圆的方程为(x −4)2+(y −3t )2=8116t (1y 1−1
y 2)2． 若存在定点G ，使得以MN 为直径的圆过点G ，由对称性可知，G 一定在x 轴上．
故令y =0，代入圆的方程得：(x −4)2+9t 2=8116t 2⋅(y 1−y 2y
1y 2)2． 则(x −4)2=−9t 2+8116t 2⋅
(y 1+y 2)2−4y 1y 2(y 1y 2)2=−9t 2+8116t 2⋅(−6t 3t 2+4)2+363t 2+4(−93t 2+4)2 =−9t 2+8116t 2⋅144(t 2+1)81=9．
解得x =1或x =7．
故以MN 为直径的圆过定点G ，其坐标为(1,0)或(7,0)．
当直线AB 的斜率等于0时，M(4,3)，N(4,−3)，H(4,0)，
以MN 为直径的圆为(x −4)2+y 2=9，也过(1,0)和(7,0)．
综上，存在定点G(1,0)或(7,0)，使得以MN 为直径的圆过G ．
【解析】(1)设Q(x,y)，由题意列式，化简得答案；
(2)(i)证明AB 的斜率为0时，H 恰为线段MN 的中点．当AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x =ty +1(t ≠0)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN 中点的纵坐标，即可验证H 恰为线段MN 的中点；
(ii)当AB 的斜率不为0时，求出以MN 为直径的圆的方程，取y =0可得圆过定点(1,0)或(7,0)，验证AB 的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G(1,0)或(7,0)，使得以MN 为直径的圆过G ．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属难题．
22.【答案】解：(1)已知直线l ：x =4，转换为极坐标方程为ρcosθ=4．
圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ.整理得ρ2=4ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ
转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0．
(2)射线OP ：θ=α(α∈(0,π2))交圆C 于O 、A ，
得到A(4sinα,α)，B(4cosα,α)，若A ，B 两点在x 轴上投影分别为M 、N ，
所以|MN|=|(4cosα−4sinα)cosα|=|4−4sinαcosα|=|4−2sin2α|，α∈(0,π2)，
当α=π4时，|MN|min =2，即最小值为2．
由于α=π4，
所以点A(2√2,π4)，B(4√2,π4).
【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．
(2)利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A 和B 的极坐标． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 23.【答案】解：(1)f(x)=√x 2+2x +1+√x 2−6x +9−m =|x +1|+|x −3|−m ≥0⇔m ≤|x +1|+|x −3|恒成立，
因为|x +1|+|x −3|≥|x +1−x +3|=4，当且仅当−1≤≤3时取得等号．
所以m ≤4，即m 的取值范围是(−∞,4]；
(2)由(1)可得n =4，即23a+b +1a+2b =4，(a >0,b >0)，
可令3a +b =s ，a +2b =t ，①
即有2s +1t =4，
由①解得a =2s−t 5，b =
3t−s 5， 所以7a +4b =7(2s−t)5+4(3t−s)5=2s +t
=14(2s +1t )(2s +t)=14(4+1+
2s t +2t s )≥14(5+2√2s t ⋅2t s )=94， 当且仅当s =t ，即b =2a =310时取得等号．
所以7a +4b 的最小值为94．
【解析】(1)由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；
(2)可令3a+b=s，a+2b=t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．
本题考查函数恒成立问题解法，以及基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和换元法、化简运算能力和推理能力，属于中档题．。