广东省梅州市龙北中学2018-2019学年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市龙北中学2018-2019学年高三数学理联考
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设复数则在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
2. 已知函数，（e是自然对数的底数），若关于x的方程
恰有两个不等实根、，且，则的最小值为A．B．C．D．
参考答案：
D
3. 函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当时，都有f（x1）≤ f （x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满
足以下三个条件：①f（0）=0；② ；③f（l－x）=1－f（x），则等于（）
A． B． C．1
D．
参考答案：
A
略
4. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0,且在[3，4]上是增函数，A、B是锐角三角形的两个内角，则( )
A. f(sinA)<f(cosB)
B.f(sinA)>f(cosB)
C. f(sinA)>f(sinB)
D.f(cosA)>f(cosB)
参考答案：
A
5. 已知双曲线，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．B．(1,2) C．D．(2,+∞)
参考答案：
B
由题意得，选B.
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知；该几何体为三棱柱．
【解答】解：由三视图可知；该几何体为三棱柱．
该几何体的表面积S=2×4+22++×2
=20+4．
故选：A．
7. 已知方程的解为，则下列说法正确的是（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
8. 在中,,则此三角形解的情况是（）
A.一解
B.两解
C.一解或两
解 D.无解
参考答案：
B
9. 定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
C
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】由不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，得到函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，
再由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数得到h（x）=xf（x）为偶函数，
结合f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，作出两个函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象，即可得出答案．
【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：
f（0）=0=f（3）=f（﹣3），
且f（﹣x）=﹣f（x），
又x＞0时，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，
∴[xf（x）]'＞0，函数h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，
又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数；
∴x＜0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，
可得函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图所示，
∴由图象知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．
故选：C．
10. 设集合，集合，则（）A．[1,2) B．(1,2] C．[2,+∞) D．[1,+∞)
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望
．
参考答案：
答案：
解析：ξ的取值有0，1，2，
，所以
Eξ=
12. 函数f（x）＝的定义域为＿＿＿＿（用区间表示）
参考答案：
13. 设f（x）=，则f[f（﹣8）]= ．
参考答案：
-2
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，从而f[f（﹣8）]=f（2），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，
f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣2．
故答案为：﹣2．
14. 已知在△ABC中，角的对边分别为，，，
，则= .
参考答案：
【知识点】正弦定理.C8
【答案解析】或120°解析：解：
【思路点拨】根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角B的正弦值，依据边的关系可求角的大小.
15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则___________．
参考答案：
2
【分析】
根据抛物线定义可构造方程求得结果.
【详解】由抛物线定义可知：，又，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.
16. 已知函数为（）的反函数，若，则
参考答案：
2
略
17. 设集合，则_______.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知函数，
(Ⅰ) 若a =1，求函数的图像在点处的切线方程；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)如果当且时，恒成立，求实数的取值范围。

参考答案：
解：由题，
(Ⅰ)当 a =1时，，，
函数的图像在点处的切线方程为；
(Ⅱ)设
①当时，故增区间为；
若设设两根分别为，
②当时，，所以增区间为；
③当时，，所以增区间为，增区间为；
综上，当时，增区间为；
当时，增区间为，增区间为；
(Ⅲ) 可化为，设由(Ⅱ)可知：
①若有，由单调性，对，此时，，
同理，对，此时，，
所以符合题意；
②若有，可知则对，此时，，不符合题意；
综上，符合题意的
略
19. 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
（Ⅰ）要从
高于90分的概率；
（Ⅱ）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程= bx+a．
参考答案：
解：（1）从名学生中任取名学生的所有情况为:、、、、、、、、、共种情况.………3分
其中至少有一人物理成绩高于分的情况有：、、、、、、共种情况，
故上述抽取的人中选人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于分的概率. ………………………5分
（2）散点图如右所示. ……………………6分
可求得：
====，………………8分
==40，
=0.75，
，……………………………………………11分故关于的线性回归方程是：
.
略
20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA＝PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO＝AD＝2BC＝2CD．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求二面角A-PC-O的余弦值．
参考答案：
(1)因为平面，平面，所以平面平面，
又， O是的中点，则，且平面
，
所以平面．
(2)
21. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始作边两个锐角、，它们的终边分别
与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为、．（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
解：（Ⅰ）∵在单位圆中，
，，
，，
∴，
，
．
（Ⅱ）∵，
，
为钝角，故，
，
∴
，
为钝角，
∴．
22. （本小题满分12分）在中,角的对边分别为,已知
(1) 求证：
(2) 若,求△ABC的面积.
参考答案：
解:(1)证明:由及正弦定理得:
,
即
整理得:,所以,又
所以
(2) 由(1)及可得,又
所以, 所以三角形ABC的面积
略。