《导与练》2016人教版高中数学人教A版必修2检测题第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距
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且|PB|-|PA|
=|AB|
=
=5.
因为直线BA的斜率
kBA==-,
所以直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0得x=,
即P.
故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,
(2)作A关于x轴的对称点A′,
则A′(4,-1),连接CA′,
则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.
又|CA′|==,
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线的交点
1、5、6、11
两点间的距离
2、3、9
对称问题
7、10、13
综合应用问题
4、8、12
基础巩固
1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点的坐标为 ( C )
(A)(-4,-3)(B)(4,3)(C)(-4,3)(D)(3,4)
解析:由方程组得即交点坐标是(-4,3),选C.
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 ( C )
(A)1(B)-5(C)1或-5(D)-1或5
解析:因为|AB|==5,
所以a=-5或a=1,故选C.
答案:
12.已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x-y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程.
解:由得一顶点为.因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为.
设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,
因为该直线过,
所以m=-16.
设与3x-y+3=0平行的对边所在直线方程为
7.(2015潍坊四校联考)点P(-3,4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标是.
解析:设对称点坐标为(a,b),则
解得即所求对称点的坐标是(5,2).
答案:(5,2)
8.(2015珠海希望之星月考)设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程.
(A)(B)
(C)(D)
解析:法一 因为a+2b=1,所以a=1-2b,代入直线方程得
(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+x+3y=0,
由得
故直线必过定点,选D.
法二 因为a+2b=1,所以a+b-=0.
所以a·+3×+b=0,所以直线ax+3y+b=0过定点,选D.
5.当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( B )
解:设所求的直线方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0,
整理得(2+3λ)x-(4λ+3)y-2λ+2=0,
由题意,得=±1,
解得λ=-1,或λ=-.
所以所求的直线方程为x-y-4=0,或x+y-24=0.
能力提升
9.设A,B是x轴上的不同两点,点P的横坐标为2,|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( A )
(A)x+y-5=0(B)2x-y-1=0
(C)2y-x-4=0(D)2x+y-7=0
解析:设P(2,y),由点P在直线x-y+1=0上得P(2,3),设A(x0,0),由点A在直线x-y+1=0上得A(-1,0),由|PA|=|PB|得B的坐标为(5,0),所以直线PB的方程为x+y-5=0.故选A.
3x-y+n=0,
同理可知过点,
得n=-13.
故所求直线的方程为x+y-16=0和3x-y-13=0.
探究创新
13.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
10.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为( C )
(A)y=2x+4(B)y=x-3
(C)x-2y-1=0(D)3x+y+1=0x,y),
则
解得即B′(1,0).
则AC的方程为=,
即x-2y-1=0.
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
解析:解方程组得两直线的交点坐标为,因为0<k<,所以<0,>0,所以交点在第二象限,故选B.
6.斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为.
解析:解方程组得交点为(0,4),所以所求的直线方程为y=-2x+4.
答案:y=-2x+4
故选C.
11.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0不能围成三角形,则a的取值集合是.
解析:因为x+y+1=0与2x-y+8=0相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由x+y+1=0与ax+3y-5=0平行得a=3,由2x-y+8=0与ax+3y-5=0平行得a=-6,由三线共点得a=,故a的取值集合是.
3.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )
(A)直角三角形(B)等腰三角形
(C)等边三角形(D)等腰直角三角形
解析:因为|AB|==,
|BC|==,
|AC|==,
所以△ABC是等腰三角形,故选B.
4.已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( D )
直线CA′的斜率kCA′==-5,
则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0得x=,
即P.
故距离之和最小值为,此时P点的坐标为.
=|AB|
=
=5.
因为直线BA的斜率
kBA==-,
所以直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0得x=,
即P.
故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,
(2)作A关于x轴的对称点A′,
则A′(4,-1),连接CA′,
则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.
又|CA′|==,
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
【选题明细表】
知识点、方法
题号
两直线的交点
1、5、6、11
两点间的距离
2、3、9
对称问题
7、10、13
综合应用问题
4、8、12
基础巩固
1.直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点的坐标为 ( C )
(A)(-4,-3)(B)(4,3)(C)(-4,3)(D)(3,4)
解析:由方程组得即交点坐标是(-4,3),选C.
2.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 ( C )
(A)1(B)-5(C)1或-5(D)-1或5
解析:因为|AB|==5,
所以a=-5或a=1,故选C.
答案:
12.已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x-y+3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程.
解:由得一顶点为.因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为.
设与x+y+2=0平行的对边所在直线方程为x+y+m=0,
因为该直线过,
所以m=-16.
设与3x-y+3=0平行的对边所在直线方程为
7.(2015潍坊四校联考)点P(-3,4)关于直线4x-y-1=0的对称点的坐标是.
解析:设对称点坐标为(a,b),则
解得即所求对称点的坐标是(5,2).
答案:(5,2)
8.(2015珠海希望之星月考)设直线l经过2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程.
(A)(B)
(C)(D)
解析:法一 因为a+2b=1,所以a=1-2b,代入直线方程得
(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+x+3y=0,
由得
故直线必过定点,选D.
法二 因为a+2b=1,所以a+b-=0.
所以a·+3×+b=0,所以直线ax+3y+b=0过定点,选D.
5.当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( B )
解:设所求的直线方程为(2x-3y+2)+λ(3x-4y-2)=0,
整理得(2+3λ)x-(4λ+3)y-2λ+2=0,
由题意,得=±1,
解得λ=-1,或λ=-.
所以所求的直线方程为x-y-4=0,或x+y-24=0.
能力提升
9.设A,B是x轴上的不同两点,点P的横坐标为2,|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是( A )
(A)x+y-5=0(B)2x-y-1=0
(C)2y-x-4=0(D)2x+y-7=0
解析:设P(2,y),由点P在直线x-y+1=0上得P(2,3),设A(x0,0),由点A在直线x-y+1=0上得A(-1,0),由|PA|=|PB|得B的坐标为(5,0),所以直线PB的方程为x+y-5=0.故选A.
3x-y+n=0,
同理可知过点,
得n=-13.
故所求直线的方程为x+y-16=0和3x-y-13=0.
探究创新
13.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解:如图,
(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
10.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为( C )
(A)y=2x+4(B)y=x-3
(C)x-2y-1=0(D)3x+y+1=0x,y),
则
解得即B′(1,0).
则AC的方程为=,
即x-2y-1=0.
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
解析:解方程组得两直线的交点坐标为,因为0<k<,所以<0,>0,所以交点在第二象限,故选B.
6.斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为.
解析:解方程组得交点为(0,4),所以所求的直线方程为y=-2x+4.
答案:y=-2x+4
故选C.
11.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0,ax+3y-5=0不能围成三角形,则a的取值集合是.
解析:因为x+y+1=0与2x-y+8=0相交,所以三条直线不能围成三角形可分为三线共点或其中有两条直线平行,由x+y+1=0与ax+3y-5=0平行得a=3,由2x-y+8=0与ax+3y-5=0平行得a=-6,由三线共点得a=,故a的取值集合是.
3.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( B )
(A)直角三角形(B)等腰三角形
(C)等边三角形(D)等腰直角三角形
解析:因为|AB|==,
|BC|==,
|AC|==,
所以△ABC是等腰三角形,故选B.
4.已知a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点( D )
直线CA′的斜率kCA′==-5,
则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0得x=,
即P.
故距离之和最小值为,此时P点的坐标为.