数学试卷201907年高考.浙数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理工类）
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）“1x >”是“2
x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ
<）的最小正周期是π，
且(0)f =则（ ）
A ．126ωϕπ=
=，
B ．123
ωϕπ
==， C ．26ωϕπ==， D ．23
ωϕπ
==，
（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ）
Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-= Ｄ．230x y +-=
（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3 Ｂ．4 Ｃ．5 Ｄ．6
（5）已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ，0.84
（6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面
（7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ）
Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b
Ｄ． 22<+b a b
（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
（9）已知双曲线
22
22
1(00)
x y
a b
a b
-=>>
，的左、右焦点分别为
1
F，
2
F
，P是准线上一点，且12
PF PF
⊥
，
12
4
PF PF ab
=，则双曲线的离心率是（）
Ｃ．2Ｄ．3
（10）设
21
()
1
x x
f x
x x
⎧⎪
=⎨
<
⎪⎩
，≥，
，，
()
g x是二次函数，若(())
f g x的值域是[)
0+，∞，则()
g x的值域是（）
A．(][)
11
--+
∞，，∞B．(][)
10
--+
∞，，∞
C．[)
0+，∞D．[)
1+，∞
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
（11）已知复数
1
1i
z=-，
12
1i
z z=+，则复数
2
z=．
（12）已知
1
sin cos
5
θθ
+=，且
3
24
θ
ππ
≤≤，则cos2θ的值是．
（13）不等式211
x x
--<的解集是．
（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）
．
（15）随机变量ξ的分布列如下：
其中a b c
，，成等差数列，若
3
Eξ=，则Dξ的值是．
（16）已知点O在二面角AB
αβ
--的棱上，点P在α内，且45
POB
∠=．若对于β内异于O的任意一点Q，都有45
POQ
∠≥，则二面角AB
αβ
--的大小是．
（17）设m为实数，若{}
22
250
()30()25
x y
x y x x y x y
mx y
⎧⎫
-+
⎧
⎪⎪
⎪
-⊆+
⎨⎨⎬
⎪⎪⎪
+
⎩
⎩⎭
≥
，≥，≤
≥
，则m的取值范围
是
．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（18）（本题14分）已知ABC
△1，且sin sin
A B C
+=．
（I）求边AB的长；
（II）若ABC
△的面积为
1
sin
6
C，求角C的度数．
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；
（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．
（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程2(32)320
k k
x k x k -++=的两个根，且212(1
23)k k a a k -=≤，，，． （I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；
（Ⅲ）记sin 1()32sin n
f n n ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
， (2)(3)(4)(1)
123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++
…， 求证：15()624
n T n ∈*N ≤≤．
（22）（本题15分）设3
()3
x f x =，对任意实数t ，记2
32()3t g x t x t =-．
（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间； （II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
E
D C M A
（第19题） B
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理工类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）1 （12）725
- （13）{}
02x x << （14）266
（15）
59
（16）90
（17）403
m ≤≤
三、解答题
（18）解：（I
）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=
，
BC AC +=， 两式相减，得1AB =．
（II ）由ABC △的面积
11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222
cos 2AC BC AB C AC BC
+-=
22()21
22
AC BC AC BC AB AC BC +--=
=， 所以60C =．
（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：
（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．
（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ． FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角． 因为MH ⊥平面CDE ，
所以MH ED ⊥，
又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，
则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥． 设EA a =，2BD BC AC a ==
=， 在直角梯形ABDE 中，
AB =，M 是AB 的中点，
所以3DE a =
，EM =，MD =， 得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以2EM MD
MF a DE
=
=．
在Rt CMF △中，tan 1MF
FCM MC
==∠， 所以45FCM =∠，
E D
C M
A
E H
故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：
如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，
(0)M a a ，，．
（I ）证明：因为()EM a a a =--，，
，(0)CM a a =，，， 所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．
（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ， 即0CE =n ，0CD =n ．
因为(20)CE a a =，
，，(022)CD a a =，，， 所以02y =，02x =-， 即(122)=-，，n ，
2
cos 2
CM CM CM =
=
，n n n
， 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM
所以45θ=，
因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45． （20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，
由2214
x b +=，解得12x =±， 所以121
2
S b x x =-
221b b =-
2211b b +-=≤．
当且仅当b =S 取到最大值1．
（Ⅱ）解：由22
14
y kx b x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，，
得222
12104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝
⎭，
2241k b ∆=-+，
11||||AB x x =-222424
k b k -==+． ②
设O 到AB 的距离为d ，则
21||
S
d AB =
=，
x
又因为d =
，
所以22
1b k =+，代入②式并整理，得
421
04k k -+=，
解得212k =，2
32
b =，代入①式检验，0∆>，
故直线AB 的方程是
y x =
或y x =
y x =+
，或y x =-
21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
（I ）解：方程2(32)320k k
x k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，
当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；
当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；
当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；
当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．
（II ）解：2122n n S a a a =++
+
2(363)(222)n n =++
++++
+
2133222
n n n ++=+-．
（III ）证明：(1)
123456212111(1)f n n n n
T a a a a a a a a +--=+-++
， 所以112116T a a =
=， 2123411524T a a a a =+=．
当3n ≥时，
(1)
3456212111(1)6f n n n n
T a a a a a a +--=+-++
， 34562121111
6n n a a a a a a -⎛⎫+-++
⎪⎝⎭≥
2
311111662622n ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭
≥ 111
6626
n =+>
，
同时，(1)
5678212511
(1)24f n n n n
T a a a a a a +--=--+
+
5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫
-+++ ⎪⎝⎭≤
31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭≤ 515
249224
n =-<
． 综上，当n ∈N*时，15
624
n T ≤≤．
22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分
析和解决问题的能力．满分15分．
（I ）解：316433x y x =-+． 由2
40y x '=-=，得 2x =±．
因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，
故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，．
（II ）证明：（i ）方法一：
令2332
()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 22
3
()h x x t '=-，
当0t >时，由()0h x '=，得1
3
x t =，
当13
()x x ∈+∞，
时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13
()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：
对任意固定的0x >，令232
()()(0)3
t h t g x t x t t ==-
>，则 1
1332()()3
h t t x t -'=-，
由()0h t '=，得3
t x =．
当3
0t x <<时，()0h t '>．
当3
t x >时，()0h t '<，
所以当3
t x =时，()h t 取得最大值3
3
1()3
h x x =
． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．
（ii ）方法一：
8
(2)(2)3
t f g =
=． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立． 即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，
300()3x f x =，0016
()43
x g x x =-，
由（i ）得，30016433
x x >-， 再取3
0t x =，得30
300()3
x x g x =，
所以30
3
000016()4()33
x x x g x x g x =-
<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立．
故有且仅有一个正实数02x =，
使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43
x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是
3
013
x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：
3
00161433x x -
≥， 即2
00(2)(4)0x x -+≤， ①
又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =， 所以有且仅有一个正实数02x =，
使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。

我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。

学习知识要善于思考，思考，再思考。

——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。

——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。

—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。

——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。

——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。

——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。

——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。

学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。

希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。