浙江省湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上学期教学质量检测数学试卷(含答案)

湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷
高三数学（2018．1）
第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
1．已知全集{}1, 2, 3, 4, 5, 6U =，集合{}1, 4P =，{}3, 5Q =，则()U P Q =U ð A ．{}2, 6
B ．{}2, 3, 5, 6
C ．{}1, 3, 4, 5
D ．{}1, 2, 3, 4, 5, 6
2．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．” 若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则“日取其半”后，木棒剩下部分的长度组成数列的通项公式是
A ．2n n a =
B ．1
2n a n = C ．12n n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
D ． 1
12n n a +⎛⎫= ⎪
⎝⎭
3．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ B ．若//l α，//l β，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
4．已知α为锐角，且7
cos 225
α=-
，则tan α= A ．35 B ．45 C ．34 D ．43
5．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该四棱锥的
体积（单位：3
cm ）是
A ．43
B ．83
C ．4
D ．8
6．若R c ∈，则“4c =”是“直线34+0x y c +=与圆2
2
+2210x y x y +-+=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
俯视图
侧（左）视图
正（主）视图
（第5题图）
7．已知实数x ，y 满足2030,x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎪
⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，
则3x y -的最大值是
A ．3
B ．5
C ． 7
D ．9
8．已知函数()11f x x x x =-+++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是 A ．
13 B ．1 C ．4
3
D ．2 9．已知等腰Rt ABC ∆内接于圆O ，点M 是下半圆弧上的动点（如图所示）．现将上半圆面沿AB 折起，使所成的二面角C AB M --为π
4
．则直线AC 与直线OM 所成角的最小值是
A ．π12
B ．π
6 C ．π4 D ．π3
10．已知,,a b c ∈R 且0a b c ++=，a b c >>
围是
A
．55⎛- ⎝⎭
，
B ．1155⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
C
．( D
．⎛ ⎝⎭
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
11．椭圆22
143
x y +=的长轴长是 ▲ ，离心率是 ▲ ． 12．在()()3
12x x +⋅-的展开式中，常数项是 ▲ ，含x 的一次项的系数是 ▲ ．
13．某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2 个球，记取出白球的个数为X ，则()0P X >= ▲ ，()E X = ▲ ．
14．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，1i z a =+，2i z b =-．若12z z ⋅是纯虚数，则
ab = ▲ ，12z z ⋅的最小值是 ▲ ．
15．在锐角ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线．若3AB =，4AC =，ABC ∆
的面积是 则AD = ▲ ．
16．设m ∈R ，若函数3
()|32|+f x x x m m =--在[0,2]x ∈上的最大值与最小值之差为3，则m = ▲ ．
17．设点P 是ABC ∆所在平面内动点，满足CP CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r
,3+42λμ=（,R λμ∈），
==PA PB PC u u u r u u u r u u u r
．若3AB =，则ABC ∆的面积最大值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本小题满分14分)
已知函数(
)22sin cos 6f x x x x π⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 当[,]44
x ππ
∈-
时，求函数()f x 的最大值和最小值．
19．(本小题满分15分)
已知函数()2
ln f x x ax x =-+（a ∈R ）．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,0P 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求()12f x x +的取值范围．
20．(本小题满分15分)
已知矩形ABCD 满足2AB =
，BC =
PAB ∆是正三角形，
平面PAB ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：PC BD ⊥；
（Ⅱ）设直线l 过点C 且l ⊥平面ABCD ，点F 是 直线l 上的一个动点，且与点P 位于平面ABCD
记直线PF 与平面PAB 所成的角为θ， 若130+≤<CF ，求tan θ的取值范围．
21．(本小题满分15分)
已知抛物线C :2
=2y px （0p >）上的点(),2M m -与其焦点的距离为2．
（Ⅰ）求实数p 与m 的值；
（Ⅱ）如图所示，动点Q 在抛物线C 上， 直线l 过点M ，点A 、B 在l 上，且满足QA l ⊥
//QB x 轴．若
2
MB
MA
为常数，求直线l 的方程．
22．(本小题满分15分)
已知数列{}n a 满足：1=1a ，()1ln 1n n a a +=+（n *∈N ），设数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ．证
明：
（Ⅰ）0n a >（n *
∈N ）；
（Ⅱ）+133
n n n a a a ≤
+（n *
∈N ）； （Ⅲ）22+5+564
n n n n n T ≤≤（n *∈N ）．
湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 11. 4,
12 12. 8,4- 13. 710，
4
5 14. 1-,2
15.
2 16. 1
2
± 17. 9
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18．(本小题满分14分) 已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛
⎫=
+- ⎪⎝
⎭．
(Ⅰ) 求函数()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 当[,]44
x ππ
∈-
时，求函数()f x 的最大值和最小值． 解：(Ⅰ) ()2cos
cos 2sin ]sin 266
f x x x x ππ
=+------------4分 1
2sin 22
x x =
+ sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭---------------------------------------6分
因此函数()f x 的最小正周期T π=---------------------------------------8分
(Ⅱ)因为44x ππ-
≤≤，所以52+636
x πππ-≤≤----------------------------10分 所以1sin 2+123x π⎛
⎫-
≤≤ ⎪⎝
⎭-----------------------------------------------12分 因此，当=
12
x π
时，()f x 的最大值为1， 当=4x π-
时，()f x 的最小值为1
2
-．---------------------------------------------14分 19．(本小题满分15分)
已知函数()2
ln f x x ax x =-+（a ∈R ）．
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点()1,0P 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，求()12f x x +的取值范围．
解：（Ⅰ）当1a =时，()2
ln f x x x x
=-+
则()1
21f x x x
'=-+
-----------------------------------------------------2分 所以()12f '=----------------------------------------------------------------4分 因此曲线()f x 在点()1,0P 处的切线方程为220x y --=．---------------6分 （Ⅱ）由题意得()1
20f x x a x
'=-+
=，------------------------------------7分 故2
210x ax -+=的两个不等的实根为1x ，2x ．
由韦达定理得21
2128002102
a a x x x x ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=>⎨⎪
⎪
⋅=>⎪⎩
，解得a > --------------9分
故()()()()
2
12121212=ln f x x x x a x x x x ++-+++2=ln 42
a a
-+．-------------11分
设()2g =ln 42
a a
a -+
（a >， 则()2
12g =022a a a a a
-'-+=
<．------------------------------------------------------------13分 故()g a
在(
)
∞单调递减， 所以(
)(
g 2a g <=-+．
因此()1
2
f x x +
的取值范围是(2ln -∞-+，
．----------------------------------------15分 20．(本小题满分15分)
已知矩形ABCD 满足2AB =
，BC =
PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：PC BD ⊥；
（Ⅱ）设直线l 过点C 且l ⊥平面ABCD ，点F 是 直线l 上的一个动点，且与点P 位于平面ABCD 的同 侧．记直线PF 与平面PAB 所成的角为θ， 若130+≤<CF ，求tan θ的取值范围．
解：(Ⅰ) 取AB 的中点E ，连接PE ，EC ．-------2分
由点E 是正PAB ∆边AB 的中点，PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面=ABCD AB ,所以PE ⊥平面ABCD ，则PE BD ⊥．----------4分
因为
,2BE BC
BC CD ===90EBC BCD ∠=∠=︒，所以EBC BCD ∆∆∽． 故ECB BDC ∠=∠，则CE BD ⊥，--------------------6分
CE PE E =I ，故BD ⊥平面PEC ，又PC ⊂平面PEC
因此PC BD ⊥．-------------------------------------------7分
（Ⅱ）在平面PAB 内过点B 作直线//m FC ,过F 作FG m ⊥于G ，连接PG 。

则GPF ∠是直线PF 与平面PAB 所成的角。

-------------------------------------9分
由直线//FC 平面PAB ，
所以点F 到平面PAB 的距离等于点C 到平面PAB
的距离为BC =
-----------11分
则因为130+≤<CF ，所以直线m 上的点与点P 的距离d 的取值范围[)1,2，13分
故tan θ=⎝． ------------------15分
解法二：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 设CF a =
（01a <≤），
则(00P ，
,()
1F a ，-----------------10分
所以(1PF a =u u u r
，
取平面PAB 的一个法向量为()010n =r
，，，则
sin PF n PF n θ⋅==
⋅u u u r r
u u u r r ，
---------------------------13分
由01a <≤
得sin θ∈⎝
⎦
，tan θ∈⎝
． ------------------15分
21．(本小题满分15分)
已知抛物线C :2
=2y px （0p >）上的点(),2M m -与其焦点的距离为2．
（Ⅰ）求实数p 与m 的值；
（Ⅱ）如图，动点Q 在抛物线C 上，直线l 过点M ， 点A 、B 在l 上，且满足QA l ⊥,//QB x 轴．
若2
MB
MA
为常数，求直线l 的方程．
解：（Ⅰ）由题意得22
p
MF m =+
=-----------------------------------------2分
又点(),2M m -在抛物线上，故24pm =------------------------------------------------4分 解得=2p ，=1m ---------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设直线l 的方程为()21t y x +=-，200,4y Q y ⎛⎫
⎪⎝⎭
-------------------------7分 则0B y y =,
所以02MB +-------------------------------------------------------------------9分
取直线l 的一个方向向量(),1e t =r ，则2001,24y MQ y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
u u u u r
=MA =
----------------------------------------------------11分
故
2
MB MA
-----------------------------------------------------------13分
则1t =，定值为l 的方程3y x =-------------------------------------15分
（Ⅱ）解法二：
设直线l 的方程为()21t y x +=-，200,4y Q y ⎛⎫
⎪⎝⎭
-------------------------7分
则0B y y =, 所以02MB +-------------------------------------------------------------------9分
又点200,4y Q y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
到直线l 的距离为
d =
MA
=
分
故
2
MB MA
-----------------------------------------------------------13分
则1t =，定值为l 的方程3y x =-．-----------------------------------15分
22．(本小题满分15分)
已知数列{}n a 满足：1=1a ，()1ln 1n n a a +=+（n *∈N ），设数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ．．
证明：当n *∈N 时， （Ⅰ）0n a >；
（Ⅱ）+133
n
n n a a a ≤
+； （Ⅲ）22+5+564
n n n n n T ≤≤． 解：（Ⅰ）①当1n =时，1=10a >，所以1n =命题成立； ②假设n k =时命题成立，即0k a >．
则由11k a +>知()1ln 10k k a a +=+>．所以+10k a >．
故对于n *
∈N 都有0n a >----------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）先利用()ln 1x x +≤（0x ≥）证明()ln 1n n a a +≤，即1n n a a +≤ 故1n a ≤，因此01n a <≤．------------------------------------------------------------6分 要证明+133
n n n a a a ≤
+，即证()3ln 13n
n n a a a +≤+
构造函数()()3ln 13
x h x x x =+-+（01x <≤）．----------------------------8分
()()()()()
2239101312x x h x x x x x -'=-=<++++，所以()h x 在(]0,1单调递减． 故()()()3ln 1003
x h x x h x =+-<=+， 因此()3ln 13
n n n a a a +≤+．----------------------------------------------------------------------10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知+11113
n n a a -≥成立， 则累加可得+213n n a ≥，故2+56
n n n T ≥．---------------------------------------------12分 构造函数()()2ln 12
x g x x x =+-+（01x ≤≤） ()()()()222
1401212x g x x x x x '=-=≥++++，所以()g x 在()0,1单调递增． 故()()()2ln 1002x g x x g x =+->=+，得()2ln 12
n n n a a a +≥+． 所以有+122n n n a a a ≥+，进一步有+11112
n n a a -≤, 则累加可得+212n n a ≤，故2+54
n n n T ≤． 因此原命题成立．---------------------------------------------------------------------------15分。