2023-2024学年浙江省杭州市高一上学期10月联考数学质量检测模拟试题(含解析)

D． x 0, x2 x 1
3．已知 a，b，c 满足 c<b<a，且 ac<0，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A．ab>ac
B．c(b－a)<0
C．cb2<ab2
D．ac(a－c)>0
4．若正数 x，y 满足 x 3 y 5xy ，则 3x 4 y 的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
此时 m 0 ，矛盾. 综上所述， m 0 时符合题意，此时 C 的所有元素之积为 0 . 故选：A 8．A 利用基本不等式求得 a b 的最小值，把问题转化为 m f (x) 恒成立的类型，求解 f (x) 的最大值即 可.
故选：B. 7．A 【分析】根据集合中元素的互异性讨论参数的取值，然后得到并集的结果，根据并集中的元素之 和求出参数，然后在求元素之积
【详解】根据集合中元素的互异性， m 1且 m 2 .由题意， B a3 a A m3 , 1,8 .
情况一：若 m3 m 时
当 m 0 时， A 0, 1, 2， B 0, 1,8 ， C A B 0, 1, 2,8 ，
ab 22．已知二次函数 y ax2 bx 2 （ a,b 为实数） (1)若 x 1时， y 1且对 x (2,5) ， y 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)若 x 1时， y 1且对 a 2, 1 ， y 0 恒成立，求实数 x 的取值范围；
(3)对 x R ， b 0 时， y 0 恒成立，求 a 2 的最小值． b
3x
4x 5x
3
3x
4
x
3 5
12 5
3
5
x
3 5
x
3 5
12
25
x
3 5
13 2 5
36 13 5 ， 25 5
当且仅当
3
x
3 5
12 25 x
3 5
，即
x
1，
y
1 2
时取等号．
故 3x 4 y 的最小值为 5．
方法二 对原条件式转化得 3 1 5 ， xy
值范围是
A．3,
B． ,3
C． ,6
D． 6,
二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9．若不等式 ax2 bx c 0 的解集是 (1, 2) ，则下列选项正确的是（ ）
因为 c 0,b a 0 ，故 c b a 0 ，故 B 错误；
若 b 0 时，显然不满足 cb2 ab2 ，故 C 错误；
因为 ac 0, a c 0 ，故 ac a c 0 ，故 D 错误.
故选. A
本题考查不等式的基本性质，属简单题.
4．D
【分析】方法一
由y
x 5x
3
，从而
5．命题 p : x {x |1 x 9} ， x2 ax 36 0 ，若 p 是真命题，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． a 37
B． a 13
C． a 12
D． a 13
6．函数 y [x] 在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中 [x] 表示不大于 x 的最大整数，如
[1.5] 1,[2.3] 3,[3] 3．那么不等式 4[x]2 12[x] 5 0 成立的充分不必要条件是（ ）
D．若不等式 x2 + ax + b < c 的解集为x | x1 x x2 x1 x2 ，且 x1 x2 4 ，则 c 4
12．设非空集合 S x m x n 满足：当 x∈S 时，有 x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若 m=1，则 S x | x 1
B．若 m 1 ，则 1 ≤n≤1 24
1．设全集U 2,3, m2 m 4 ，集合 A m, 2 ， ðU A = {3}，则 m （ ）
A． 2
B． 2
C． 2
2．命题“ x 0, x2 x 1 ”的否定是（ ）
D． 4
A． x 0, x2 x 1
B． x 0, x2 x 1
C． x 0, x2 x 1
C．若 n 1 ，则 2
2 ≤m≤0 2
D．若 n=1，则 1 m 0
三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高.当住第 n 层楼时，
上下楼造成的不满意度为 n .但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随着楼层的升高，
3x
4
y
3
x
3 5
12
25
x
3 5
13 ，利用基本不等式求解； 5
方法二
对原条件式转化得 3 x
1 y
5 ，得到 3x 4 y
1 5
9
4
12y x
3x y
，利用基本不等式求解；
【详解】解：方法一 由条件得 y x ， 5x 3
由x0，y0知x 3， 5
从而 3x 4 y
环境不满意度降低.设住第 n 层楼时，环境不满意程度为 9 .则此人应选第
n
楼，会有一个
最佳满意度.
14．对于集合 A, B ，用 card A 表示有限集合 A 中元素的个数，已知
card A M , card B N(M N) ，集合 C 满足 A C B ，则符合条件的集合 C 的个数
C 的所有元素和为 9 ，符合题意，此时 C 的所有元素之积为 0 ；
当 m 1时， A 1, 1, 2， B 1, 1,8 ， C A B 1, 1, 2,8 ，
C 的所有元素和为10 ，不符题意；
情况二：若 m3 2 时，此时 m 3 2 ， A 3 2, 1, 2 ， B 2, 1,8 ，
是
.
15．已知集合
A
{x
|
x 1 x 1
0} ，B={x|(x−b)2<a}，若“a=1”是“
A
B
”的充分条件，则实数
b
的取值范围是
．
16．已知
a
0
，
b
0
，且
a
b
1，则
a
1 2b
3ab
的最大值是
．
三､解答题
17．设全集U R ，集合 A x |1 x 5 ，集合 B x | 1 2a x a 2.
所以 m m2 m 4 ，解得 m 2 ，
但当 m 2 时，集合 A m, 2 违背了元素之间的互异性，
而当 m 2 时，集合 A 2,2 ， ðU A = {3}，U 2, 2,3 满足题意,
综上所述. m 2 故选：A. 2．D 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
D．若
x
1,
y
1 ，且满足
x
y
xy
，则
2x x 1
4y y 1
的最小值为
6
4
2
11．已知函数 y x2 ax b a 0 有且只有一个零点，则（ ）
A． a2 b2 4 B． a2 1 4
b
C．若不等式 x2 ax b 0 的解集为x | x1 x x2 x1 x2 ，则 x1x2 0
但 C A B 此时含有唯一的无理数 3 2 ，不可能元素之和为 9 ； 情况三：若 m 1， m 2 ， m 3 2 且 m 0 时，则 A, B 中只有唯一重复元素 1，
则 C A B m, 1, 2, m3 ,8 ，由题意 m 1 2 m3 8 9 ，即 m3 m 0 m(m2 1) ，
1．A
【分析】因为U ðU A A ，由集合相等的定义即可列出方程求出 m 的值，但要注意集合元素具
有互异性，所以求出 m 的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异.
【详解】由题意集合 A m, 2 ， ðU A = {3}，
又因为U ðU A A 2,3, m ，且全集U 2,3, m2 m 4 ，
案．
【详解】 命题 p : x {x |1 x 9} ，使 x2 ax 36 0 为真命题，
即
x
{x
|1
x
9}
，使
x2
ax
36
0
成立 x 36 ，则 f (x) x 36 2
x
x
x 36 x
12 ，当且仅当
x
36 x
，即
x
6
时，取等号，即
f
【详解】“ x 0, x2 x 1 ”的否定是“ x 0, x2 x 1”.
故选：D 3．A 【分析】根据已知条件，求得 c, a 的正负，再结合 b c ，则问题得解. 【详解】由 c<b<a 且 ac<0，知 c<0 且 a>0. 由 b>c，得 ab>ac 一定成立，即 A 正确；
A． a b c 0
B． a<0
C． b 0 且 c 0
D．不等式 ax2 cx b 0 的解集是 R
10．下列命题中为真命题的是（ ）
A．0x∣x2 2x 0
B．“ A B B ”的充要条件是 A B A
C．不等式 x2 7ax 12a2 0 a R 的解集为{x∣3a x 4a}
2023-2024 学年浙江省杭州市高一上学期 10 月联考数学质量检测
模拟试题
考生须知： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场､座位号及准考证号（填涂）： 3.所必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求.
21．设函数 y ax2 x ba R,b R .
(1)若 b 1，且集合x | y 0 中有且只有一个元素，求实数 a 的取值集合；
(2)解关于 x 的不等式 y a 1 x2 b 2 x 2b ；
(3)当 a 0,b 1时，记不等式 y 0 的解集为 P ，集合 Q {x | 2 t x 2 t}.若对于任意正数 t, P Q ，求 1 1 的最大值.
A．[ 1 , 5 ] 22
B．[1, 2]
C． [1, 3)
D． [1, 3]
7．设集合 A m, 1, 2，其中 m 为实数． 令 B a3 a A ，C A B ．若 C 的所有元素和为 9 ，
则 C 的所有元素之积为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．0 或 4
8．正数 a,b 满足 9a b ab ,若不等式 a b x2 2x 18 m 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取
则3x
4y
1
5
3 x
1 y
3x
4 y
1
5
9
4 12y x
3x y
1 5
13
2
12 y x
3x y
5
，
当且仅当
12 y x
3x y
，
x
3y
5xy
，即
x
1，
y
1 2
时取等号．
故 3x 4 y 的最小值为 5．
故选：D
5．C
【分析】根据特称命题的真假关系，转化为能成立问题，从而转化为最值问题进行求解即可得答
( x)min
12 ，
a 12 ，
故 a 的取值范围是 a 12 ．
故选：C．
关键点点睛：本题考查存在量词的命题的应用，根据条件利用参数分离法进行转化，结合基本不
等式求最值是解决本题的关键，属于中档题．
6．B
【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为 4[x]2 12[x] 5 0 ，则 2x 1 2 x 5 0，则 1 x 5 ，
2
2
又因为[x] 表示不大于 x 的最大整数，
所以不等式 4[x]2 12[x] 5 0 的解集为：1 x 3 ，
因为所求的时不等式 4[x]2 12[x] 5 0 成立的充分不必要条件，
所以只要求出不等式 4[x]2 12[x] 5 0 解集的一个非空真子集即可，
选项中只有[1, 2] ⫋1,3 .
(1)若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围； (2)若 B A ，求实数 a 的取值范围. 18．已知命题 p : x [1,1], x2 2x k 0 ，命题 q : x R, x2 2kx 3k 4 0 ． (1)当命题 p 为假命题时，求实数 k 的取值范围；
(2)若命题 p 和 q中有且仅有一个是假命题，求实数 k 的取值范围． 19．记不等式 ax b 0 的解集为 A，不等式 ax b x a 0 的解集为 B
（1）设 a R,b 2a ，求 A；
（2）若 A ,1 ，求 B
20．为宣传 2023 年杭州亚运会，某公益广告公司用一条长度为1m 的铁丝，首尾相连做成一个直 角三角形的海报纸，求： (1)海报纸的斜边最短是多少？ (2)若在该海报纸画一个内切圆，则直角三角形内切圆半径 r 最大值是多少？