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长郡中学高三第五次月考
数 学 试 卷（理）
时量：120分钟 满分：150分 2018.01.11-12
一、选择题（每题的答案是唯一的。

每题5分，共50分）：
1、 设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，若B ＝｛1,2｝，则A ∩B 等于（ ）
（A ）Φ （B ）｛1｝ （C ）Φ或｛2｝ （D ）Φ或｛1｝ 2、 已知关于x 的不等式
b x
a
x ≥+的解集是[-1，0）则a +b =（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．3
3、 函数c bx ax y ++=2的图象经过四个象限的充要条件是（ ）
A 、0<a 且0
2<⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b f B 、0>a 且042<-ac b C 、0≠a 且0=b D 、0<ac 4、 若奇函数)10()(≠>-=-a a a ka x f x x 且在R 上是增函数，那么
)(log )(k x x g a +=的大致图像是
（ ）
5、 若向量()())(s i n 2,1,s i n ,2c o s *N n n b n n a n n ∈==θθθ，则数列
⎭
⎬⎫
-1（ ） A 、是等差数列不是等比数列 B 、是等比数列不是等差数列 C 、是等差数列也是等比数列 D 、既不是等差数列也不是等比数列 6、 已知平面α、β都垂直于平面γ，
且.,b a =⋂=⋂γβγα给出下列四个命题：
①若βα⊥⊥则,b a ；②若βα//,//则b a ；③若b a ⊥⊥则,βα；④若
b a //,//则βα. 其中真命题的个数为 （ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
7、 若()
21
n x m ++与()
()2*
1,0n
mx n N m +∈≠的展开式中含有n
x
项的系
数相等，则实数m ∈（ ）
（A ）. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 （B ）12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
. （C ）. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）. (),0-∞
8、 △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的
值为 ( ) (A)b. (B)
2
c
b +. (C)2cosB. (D)2sinB.
9、 已知以y x ,为自变量的目标函数
)0(>+=k y kx ω的可行域如图阴影部分（含边界），若使ω取最大值时的最优解有无
穷多个，则k 的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
10、 点P 在直径为6的球面上，过P 作两两垂直的3条弦，若其中一条
弦长是另一条弦长的2倍，则这3条弦长之和的最大值是（ ）
A ．5
212 B ．5105
2
C ．
5
3
4 D ． 6
二、填空题（每题4分，共20分）
11、 如果复数
2()1bi b R i
-∈+的实部和虚部互为相反数，则b =_______
12、 已知f ( x )是可导的偶函数，且 ，则曲线y
= f ( x )在（–1，2）处的切线方程是______________
13、 由正数组成的等比数列{}n a 中，已知993=a a ，则
1132313log log log a a a +++ 等于________
14、 A 和B 分别在圆1)3(22=-+y x 和双曲线122=-y x 上运动，则|AB|的最小值为_____
15、 对于函数x x x f sin cos )(+=，给出下列四个命题： ①存在3
4)(),2
,0(=
∈απ
αf 使； ②存在)3()(),2
,
0(ααπ
α+=+∈x f x f 使恒成立；
③存在R ∈ϕ，使函数)(ϕ+x f 的图像关于y 轴对称；
④函数)(x f 的图象关于点)0,4
3(
π
对称； 其中正确命题的序号是
高三第五次月考数学试卷（理科）
学校 班次 姓名 考号
学校 班次 姓名 考号
数学（理）答案
一、选择：DCDCAABAAB 二、填空：0；y = 4x + 6.；11；12
22
-；①③④ 三、解答：
16、解：（1）∵=（sinB ，1-cosB) , 且与向量=（2，0）所成角为
,3
π ∴,3sin cos 1=-B
B ∴tan ,3
,3
2,3
2
032
ππππβ=+==∴<<=C A B B B 即又 6’
（2）：由（1）可得∴)3
sin(cos 23sin 21)3
sin(sin sin sin π
π+=+
=-+=+A A A A A C A ………8’ ∵3
0π
<<A ∴3
23
3
πππ<+<A ………………10’
∴
⎥⎥
⎦
⎤ ⎝⎛∈+∴⎥⎥⎦⎤
⎝⎛∈+1,23sin sin ,1,23)3sin(C A A π当且仅当
1s i n
s
i n ,6
=+=
=C A C A 时π
…………………………12’ 17、解：（Ⅰ）当04,2112,21111=---+=≥----n
n n n n
n n
n a a a a a a a a n 得由时…2分
两边同除以411,1
1
=---n n
n n a a a a 得，…5分即*14111
N ∈>=--n n a a n n 且对成立，
∴51}1{1
=a a n 是以为首项，d=4为公差的等差数列. …………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.1
41,,14)1(111
+=
+=-+=n a n d n a a n
n
所以 ……9分 ∴.45
191512
1
=⨯=
a
a ………10分设21a a 是数列}{n a 的第t 项，则
,45
1141=+=
t a t 解得，t=11∈N*，………13分∴21a a 是数列}{n
a 的第11项.…………14分
18、解：（1）A 中2张钱币取1张，有2种情况， B 中3张钱币取1张，有3种情况， ∴互换一次有2⨯3 = 6种情况， 其中10元
币恰是一张的情况有3种， ∴A 袋中10元钱币恰是一张的概率为P 1 =21
.
（
E ξ= 61⨯10 + 63⨯15 + 62
⨯20 = 695.答略
19、解法一：(1)∵PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，∴CD ⊥BD .在直角梯形 ABCD 中，AB =AD =3，∴BC =6.取BC 的中点F ，连结PF ，则AF ∥CD .
∴异面直线P A 和CD 所成的角就是P A 和AF 所成的角∠P AF 在Δ P AF 中，AF=P A=PF = ∴∠P AF =60°.
(2)连结AC 交BD 于G ，连结EG ， PC ∥EG.又EG 平面EBD ，PC 平面EBD ∴PC ∥平面EBD.
(3)∵PB ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PB.又∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面EAB .作AH ⊥BE ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BE ，∴∠AHD 是二面角A —BE —D 的平面角.在ΔABE 中，BE =
解法二：(1)建立如图所示的直角坐标系B —xyz .设BC=a ,则A (0,3,0), P (0,0,3),D (3,3,0) C (a,0,0),
20、解：（Ⅰ）设P 点的坐标为(x ，y )，则),(a y x +=，),(a y x -=， 又),0(),0,1(a ==，故),(a λλ=+，)2,1(2a λλ=+．
由题知向量与向量λ+平行，故λ(y + a ) = ax ． 又向量与向量
λ2+平行，故y – a = 2ax λ． 两方程联立消去参数λ，得点P (x ，y )
,23∴=∴===∴.,21,21EP
AE GC AG EP AE BC AD GC AG 又,5.
5arctan ——.5tan ,55345sin 的大小为二面角所以D BE A ，AH AD AHD BE AE AB AH ==∠∴=︒⋅⋅=PD CD a ∴⊥-=-=,),3,3,3(),0,3,3( .6
6
arccos ——.6661,cos ,),0,0,1().1,2
1,2
1(,.21,21,,033,012,
0,0),0,3,3(),1,2,0(),1,,()3(.)2(.
60.212
3239,cos ),
3,3,0(),0,3,3(.6.09)3(302121111的大小数点为
二面角
所以所以的法向量面又因为平于是所以得由
因为的法向量为设平面同解法一所成的角为与异面直线即D BE A ，n n n ABE n y x y x y n BE n BD BE y x n BED AP
CD CD PA PA CD a a ，PD =>=<=-=⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎩
⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=⋅=⋅===︒∴=⨯=<∴-=-==∴=+-=⋅
的轨迹方程是 (y + a )(y – a ) = 2a 2x 2，即y 2 – a 2 = 2a 2x 2． （6分） （Ⅱ）∵2
2
=
a ，故点P 的轨迹方程为2y 2 – 2x 2 = 1， 此时点E (0，1)为双曲线的焦点． ①若直线l 的斜率不存在，其方程为x = 0，
l 与双曲线交于
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,
0M 、
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
22 , 0N ，此时
21
211122122=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅EN EM ． （8分）
②若直线l 的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y 2 – 2x 2 = 1化简得
2(k 2 – 1) x 2 + 4kx + 1 = 0．∴直线l 与双曲线交于两点，
∴△= (4k )2 – 8 (k 2 – 1) > 0且k 2 – 1≠0．解得k ≠±1．设两交点为M (x 1，
y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1 + x 2 =122--k k
，x 1x 2 =)1(212
-k ． （10分） 此时) , () , ()1 , ()1 , (22112211kx x kx x y x y x ⋅=-⋅-=⋅= x 1x 2 + k 2x 1x 2 = (k 2 + 1) x 1x 2 =⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=-+12121)1(21222k k k ．
当– 1 < k < 1时，k 2 – 1 < 0，故)1
2
1(212-+=
⋅k ≤21-；
当k > 1或k < – 1时，k 2 – 1 > 0，故21
121212>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⋅k ．
综上所述，⋅的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21 , ∪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+ , 21． （14分）
21、(1)解: ∵
/()()21112323n n f x f x a a x a x na x -==++++ 且()()1001f f ==∴0110a ==
！,11
11a ==！
∵/()()()221232321n n f x f x a a x n n a x -==+⋅++- 且()22021f a ==∴
211
22a =
=！
∵
/()()()()3
3234324312n n f x f x a a n n n a x -==⋅+⋅++-- 且
()33061f a ==∴311
63a =
=！
…………………………
/()()!1n n n f x f x n a -==且()!01n n f n a ==∴!
1
n a n = 于是()!!!
n
x x x f x x n =+++++ 23123 (2)证
明:
()()!!!111111111
11123232422
n n f n --=++
+++<++++=- <3 (3)证明: ∵()!!!342222534n
f n =++++
当
k
≥4
时,!222212k k k ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ =
()()222222224811
1234563131k k k k k
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-- ∴
()()()()()428118118118118
25778
3333434531339
f n n n <+++-+-++-=+-<+<-。