华师版九年级数学广角 数学素材 奇妙的坐标系

[科目]数学
[关键词]数轴/坐标/笛卡儿/几何/费马/极坐标
[标题]奇妙的坐标系
[内容]
奇妙的坐标系
在一条直线上，确定任何一点的位置，我们可以将这条直线刻成一条数轴，任何一点在这条数轴上都有惟一确定的实数作为它的坐标，不同的点有不同的坐标。

那么在一张平面上，确定任何一点的位置，该怎么办呢？
我们可以在平面上画两条互相垂直的数轴，一条水平，一条竖直，它们的交点为公共的原点，水平向右和竖直向上分别为两条数轴的正向。

那么，平面上任何一点，可以向这两条数轴作垂线，两个垂足的坐标就可以确定该点的位置，不同的点有不同的两个坐标。

我们画的这两条互相垂直的数轴，就构成了通常所称的“笛卡儿直角坐标系”。

在这种坐标系之前冠以“笛卡儿”，是为了纪念笛卡儿为此作出的贡献。

笛卡儿（ReneDescartes，1596～1650）是法国17世纪的哲学家、生理学家、数学家，近代科学方法论创始人，也是解析几何的创立者。

笛卡儿长期潜心钻研哲学问题，崇尚理性，认为科学的本质是数学的，自然界定律是预先规定的数学图景的一部分。

然而，笛卡儿对当时的几何学并不满意，他认为“它只能使人们在想像力大大疲乏的情况下，去练习理解能力”；他对当时的代数学也不满意，认为它“似乎充满混杂、晦涩、阻碍思想的东西，不像一门改进思想的科学”。

进而，笛卡儿宣称：“我想应当去寻求另外一种包括这两门科学优点而不含它们缺点的方法。

”1637年6月8日，笛卡儿匿名出版了《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》一书，书后附上仅117页的《几何学》，它标志着一个新的数学分支的诞生，这就是当时称的“坐标几何”，亦即现在的“解析几何”。

在《几何学》中，笛卡儿引用“变量”这个概念，并建立平面上的坐标系。

他是在解决作图问题时，把坐标平面上的“点”与作为坐标的有序“数对”对应起来，再把平面上的“曲线”与含有两个未知量的“方程”对应起来。

最重要的是点与坐标的对应，流动的坐标就是变量，方程既表示已知量与未知量之间的关系，又确定了变量之间的关系。

所有这些都依赖于建立平面上的坐标
系。

不过，笛卡儿当时的坐标系并不是像现在这样明确，他还没
有考虑坐标的负值，纵坐标往往不固定地标明，而是随意地沿着与横坐标轴某固定方向画出来，纵、横坐标轴也未必成直角。

并且，整个坐标系隐匿于作图方法之中。

与笛卡儿分享创立解析几何殊荣的是法国数学家费马（Fermat ，1601～1665）。

他所创建的坐标系比笛卡儿的坐标系更为明显，也更接近现代坐标系。

如图1。

费马只取一条射线作为横轴，其端点N ，即原点，从N 出发在横轴上的距离用A 表示，再从A 的末端沿固定方向计算的距离用E 表示，而常量则用B 、D 、g 表示。

费马在1629年写成的《平面和立体轨迹引论》一书中，还得出了许多重要结论，诸如：方程D ·A ＝B ·E 代表一条过原点的直线，A 2
＝D ·E 代表一条抛物线，椭圆则表示为222B A k E -=，圆的方程是B 2－A 2＝E 2等等。

可见，费马不仅掌握了坐标方法的原理，而且还掌握了运用移轴或转轴以简化曲线方程的技巧。

笛卡儿、费马创立的坐标系虽然都很不完善，但是其意义却是划时代的，它使数与形能统一起来研究。

此后人们获得了沟通几何与代数的新思路，新方法。

1655年英国数学家沃利斯首先有意识地引进负的纵、横坐标，改进了笛卡儿、费马的坐标系，并且得到完整的圆锥曲线的方程，用这些方程直接推导出圆锥曲线的几何性质，充分显示出坐标系奇妙的作用，也大大有助于笛卡儿、费马的解析几何思想的传播。

牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的
方程来描述曲线，而且提出了
建立新的坐标系的创见：如图2，用一个固定的点O和通过它的一条射线作为基准，用r和θ来确定P点的位置，只需用x=rcos θ，y＝rsinθ就可以将这种坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标来表示同一点在平面上的位置。

这就是现代所称的极坐标系。

牛顿的这项工作很晚才为世人所知，而詹姆士·伯努利于1691年最先发表了上述有关极坐标系的文章，所以一般人们都称伯努利为极坐标系的发明者。

牛顿另一项工作也是对坐标系的贡献，如图3，平面上每一点的位置取决于它到两个固定点X、Y的距离。

这被称为“双极坐标系”。

在这种意义下，笛卡儿的坐标系可以称为“双轴坐标系”。

按两个负值；当这三个重量数同乘以一个常数时，P点仍然是其重心。

可见，麦比乌斯的方案中，点的坐标可正也可负，但不是惟一的，三个坐标的有序之比才是惟一确定的。

更奇妙的是，在这个坐标系中曲线的方程写出来后，各项次数相同，所以也称之为“齐次坐标系”。

三年之后，麦比乌斯的同胞普吕克也提出了另一种新的坐标系，可谓“三轴坐标系”。

普吕克也从一个固定的三角形出发，规定平面上任意点P的坐标，取为从P到该三角形三条边的带正、负号加以区别的垂直距离。

如图4，P（x1，x2，x3）。

这种坐标也是三个距离数有序之比是唯一确定的，用它写出来的曲线的方程也是齐次的。

这种齐次坐标可以转换为笛卡儿坐标。

如图5，x ＝x1／x3，y＝x2／x3，当我们把三角形的某一边推向很远很远，以至无穷远时，另两边成直角即可。

若x3越小，则X、y就越大，若x3＝0，则P成为无穷远线上的点，而无穷线上的点都可表示成x3＝0，所以x3＝0为无穷远线的方程。

这个结论非常重要，请看一个简单的例子。

对于圆的方程（r-a）2＋（y－b）2=r2，引入普吕克坐标x＝x1／x3，y＝x2／x3，它将写成形如（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32
的齐次方程。

考虑无穷远线与圆的交点由
（x1一ax3）2＋（x2-bx3）2=r2x32（x12＋x22=0
x3=0或x3=0
确定。

这些圆上无穷远点的坐标为（l，i，O）、（1，－i，O）或正比于它们的数。

这样一来，对于很难说清楚的无穷远点、无穷远线、圆上无穷远点等等，都可以用普吕克坐标给出明确的代数表达式。