高三数学精选数列多选题 期末复习专项训练学能测试试卷

高三数学精选数列多选题 期末复习专项训练学能测试试卷
一、数列多选题
1．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ）
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．12n n a
C ．22222123
21
3
n n
a a a a -++++= D ．
122334
1
1111
1n n b b b b b b b b +++++
< 【答案】BCD 【分析】
利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】
对任意的n *∈N ，21n n S a =-.
当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，
所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11
122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B
选项正确；
()
2
211
2
4
n n n
a --==，所以，2222123
1441
143
n
n n a a a a --==
-+++
+，C 选项正确； 212log log 2n
n n b a n +===，()11111
11
n n b b n n n n +==-++， 所以，
122334
1111111111
111
11122334
11
n n b b b b b b b b n n n +++++
=-+-+-++
-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
2．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=， 故等式两边同除以()1n n +得：
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC
【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
3．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n ∈N ，下列四个命题中不正确的有（ ） A ．若0q ≠，且对于*
2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，则数列{}n a 为等比数列
B ．若n
n S Aq B =+（非零常数q ，A ，B 满足1q ≠，0A B +=），则数列{}n a 为等比数
列
C ．若数列{}n a 为等比数列，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍为等比数列
D ．设数列{}n a 是等比数列，若123a a a <<，则{}n a 为递增数列 【答案】AC 【分析】
若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，可判断A ；利用
n a 与n S 的关系，可求得数列{}n a 的通项公式，可判断B ；若数列{}n a 为等比数列，当公
比1q =-，且n 为偶数时，此时232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，可判断C ；设数列{}
n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，分类讨论10a >与10
a <两种情况，可判断D ； 【详解】
对于A ，若0n a =，满足对于*2
12,n n n n a a a ++∀∈=N ，但数列{}n a 不是等比数列，故A 错
误；
对于B ，当2n ≥时，(
)1
11(1)n
n n n n n a S S Aq B Aq
B Aq q ---=-=+-+=-且1q ≠；当
1n =时，0A B +=，则()111a S Aq B A q ==+=-符合上式，故数列{}n a 是首项为
()1A q -公比为q 的等比数列，故B 正确；
对于C ，若数列{}n a 为等比数列，当公比1q =-，且n 为偶数时，此时
232,,,
n n n n n S S S S S --均为0，不为等比数列，故C 错误；
对于D ，设数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，若123a a a <<，即12
11a a q a q <<，若
10a >，可得21q q <<，即1q >，则{}n a 为递增数列；若10a <，可得21q q >>，即01q <<，则{}n a 为递增数列；故D 正确；
故选：AC 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列通项公式及和的性质，等比数列和的性质：公比为1q ≠-的
等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,,
n n n n n S S S S S --仍成等比数列，其公比为
n q ；同理等差数列和的性质：公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列232,,,
m m m m m S S S S S --构成等差数列，公差为md ，考查学生的分析能力，属于中档
题.
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22
B ．d =－2
C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值
D ．当S n >0时，n 的最大值为20
【答案】BCD 【分析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，
由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①
由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2
111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，
化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21
(20222)212
n S n n n n =+-=-， 由221441()24
n S n =--
+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
5．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有
21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等
差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0
C ．若32n
n a =-+，则数列{}n a 是等差比数列
D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【分析】
考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】
对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，21
1n n n n
a a a a +++--无意义，所以A 选项错误；
若等差比数列的公差比为0，21
2110,0n n n n n n
a a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所
以B 选项说法正确； 若32n
n a =-+，
21
13n n n n
a a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；
若等比数列是等差比数列，则1
1,1n n q a a q -=≠，
()()
11211111111111n n n
n n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.
故选：BCD 【点睛】
易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.
6．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”
，其通项公式1122n n
n a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列
{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．10711S a =
B ．2021201920182a a a =+
C ．202120202019S S S =+
D ．201920201S a =-
【答案】AB 【分析】
选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =++++
+，
202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可判断.选项D.由
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.
【详解】
因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；
由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =++++
+，202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，
所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为
()()()()()123324354652122
n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++
+=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.
故选：AB. 【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由
202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得
202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.
7．在n n n A B C （1,2,3,
n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的
面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124
n n n a c b ++=，222
124
n n n a b c ++=，则（ ）
A ．n n n A
B
C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值
D ．{}n S 有最小值
【答案】ABD 【分析】
先结合已知条件得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系12
21875
=644
n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222
1
24n n n a c b ++=
，222
124
n n n a b c ++=得，222222
1
1
2244
n n n n n n a c a b b
c
+++++=+
()22
21122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故
()222
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，222
25=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角
三角形，A 正确；
n n n A B C 的面积为1
2
n n n S b c =，而
()
422222
222222
1124224416
n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=
， 故()
422222
2222211
1
241875161875==16
166
41n n n n n n n n n n n a b c a b b
S S c c S +++++++==
+，
故22
21
22
18751875==6446434
n n n n n S S S
S S +-+--
， 又22125=244n n n n n b c b c S +=≤
（当且仅当=n n b c 2
21
2
1875=06344
n n n S S
S +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即
212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故
BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到()22
2
211125=
252
n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判
断.
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2
n S n = B ．
122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法
求和，得到1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确；
而1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.
二、平面向量多选题
9．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（ ）
A ．若12
33
AD AB AC =
+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111
333
MG MA MB MC =++
C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=
D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】
作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，由已知12
322233
AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则
3
2
BD BD DC BC =+=，故A 错误； 对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，
MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即
111
333
MG MA MB MC =++，故B 正确；
对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即
()00
MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()
00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()
000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；
对于D ，111
()()222
PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=
+-=+- ()
2
11
22
PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=
+-，又
()
2
2
2
2
222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA
+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1
822
PQ ∴==，故
D 错误. 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于
由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
10．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→
→
=<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．当13λ=时，1233
E A A E D B →→
→=+
B ．当23
λ=时，10cos ,AE BE →→
=
C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →
→
⊥不成立 D ．AE BE →→
+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→
→
=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，
当1
3
λ=
时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →
→→=+，即可判断A 选项；当2
3
λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公
式、向量的数量积运算和模的运算，求出10
cos ,AE BE →→
=
，即可判断B 选项；若AE BE →→
⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→
→
+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.
【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→
→
=，可得()3,2E λ，
A 项，当1
3
λ=
时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-，
设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
， 故2133AD AE BE →
→→
=+，A 错误； B 项，当23λ=
时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-， 故
10cos ,225AE BE AE BE AE BE →→→→→→⋅===⨯⋅，B 正确； C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，
若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→
⋅=-+⨯=-+=，
对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<，
故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确； D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=
-+≥，
当且仅当12λ=
时等号成立，D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.。