2021-2022学年山东省济宁市曲阜市、兖州区八年级(上)期中数学试卷-附答案详解

2021-2022学年山东省济宁市曲阜市、兖州区八年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是()
A. 1
B. 2
C. 8
D. 11
2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的
是()
A. B. C. D.
3.下列图形具有稳定性的是()
A. B.
C. D.
4.如图，在△ABC中，AC边上的高是()
A. BE
B. AD
C. CF
D. AF
5.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,−1)，则点A关于x轴的对称点的坐标是()
A. (2,1)
B. (−2,1)
C. (−2,−1)
D. (−1,2)
6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=4，
EC=2，则BC的长是()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接
AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直
角三角形，满足条件的格点C的个数是()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图，点A、B、C、D、E在同一平面内连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，
则∠A+∠B+∠D+∠E=()
A. 220°
B. 240°
C. 260°
D. 280°
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的
对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是()
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 75°
10.如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如
果小球起始时位于(1,0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是()
A. (3,4)
B. (5,4)
C. (7,0)
D. (8,1)
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边
与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是
______．
12.一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是______°.
13.如图所示的网格是正方形网格，△ABC的面积______△DEF的面积．(填“>”，“=”
或“<”)．
14.如果等腰三角形的两边长分别为5和3，那么等腰三角形的周长为______．
15.如图，AC=AD，∠1=∠2，只添加一个条件使△
ABC≌△AED，你添加的条件是______．
16.如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过点D，且EF//BC，
EF分别交AB，AC于点E，F，如果BE=2，CF=3，那么EF的长是______．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
17.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
18.如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方
向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°
方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为多少？
19.如图，在边长为1的正方形网格中有一个△ABC，完成
下列各图(用无刻度的直尺画图，保留作图痕迹)．
(1)作△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)求△ABC的面积；
(3)在直线MN上找一点P，使得PA+PB最小．
20.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分
别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证：DM=DN．
21.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．
(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹(不写作法)．
①在射线BM上作一点C，使AC=AB；
②作∠ABM的角平分线交AC于D点；
③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．
(2)在(1)所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．
22.两个大小不同的等腰直角三角形三角板，如图①所示放置，图②是由它抽象出的
几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明．(说明：结论中不得含有未标识的字
母)
(2)证明：DC⊥BE．
23.如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点(点D不与点B，C重合)，连接
AD，点E在边AC的延长线上，且DA=DE．
(1)求证：∠BAD=∠EDC：
(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7−3<x<7+3
所以4<x<10
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．4.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE，
故选：A．
根据三角形的高的定义得出即可．
本题考查了三角形的高的定义，能熟记三角形的高的定义的内容是解此题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵点A(2,−1)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标是(2,1)，
故选：A．
利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案．
此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴EB=EA=4，
∴BC=EB+EC=4+2=6，
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=4，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7.【答案】B
【解析】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
8.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°−100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°−∠CBD−∠CDB=360°−80°=280°，
故选：D．
连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和
∠CDB的和，即可得到结果．
本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
9.【答案】C
【解析】[分析]
根据直角三角形斜边上的中线的性质、轴对称的性质可得CE=CA=AE，根据等边三角形的判定和性质可得∠A=60°，再根据直角三角形的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是得到∠A=60°．
[详解]
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，
∴CE=AE，
又∵CD为AB边上的高，点A、点E关于CD所在的直线对称
∴CE=CA
∴CE=CA=AE
∴△ACE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=90°−∠A=30°．
故选C．
10.【答案】D
【解析】解：由图可得，
点(1,0)第一次碰撞后的点的坐标为(0,1)，
第二次碰撞后的点的坐标为(3,4)，
第三次碰撞后的点的坐标为(7,0)，
第四次碰撞后的点的坐标为(8,1)，
第五次碰撞后的点的坐标为(5,4)，
第六次碰撞后的点的坐标为(1,0)，
…，
∵2020÷6=336…4，
∴小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是(8,1)，
故选：D．
根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置．
本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】15°
【解析】解：如图：
∵AB//CD，
∴∠BAD=∠D=30°，
∵∠BAE=45°，
∴∠α=45°−30°=15°，
故答案为：15°．
根据平行线的性质和三角板的特殊角的度数解答即可．
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
12.【答案】1260
【解析】解：设这个多边形是n边形，则
40°×n=360°，
解得n=9．
这个多边形的内角和为(9−2)×180°=1260°．
答：这个多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260．
由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
本题考查了多边形的内角和外角，n边形的内角和定理：n边形的内角和=(n−2)⋅180°；注意熟记n边形的外角和为360°．
13.【答案】=
×2×3=3，
【解析】解：∵△ABC的面积=1
2
×2×3=3，
△DEF的面积=1
2
∴△ABC的面积=△DEF的面积．
故答案为：=．
根据三角形面积公式：S=1
2
aℎ，列出算式计算即可求解．
考查了三角形的面积，关键是熟悉正方形网格特点以及三角形面积公式．
14.【答案】11或13
【解析】解：(1)当等腰三角形的腰为3，底为5时，3，3，5能够组成三角形，此时周长为3+3+5=11．
(2)当等腰三角形的腰为5，底为3时，3，5，5能够组成三角形，此时周长为5+5+3=13．则这个等腰三角形的周长是11或13．
故答案为：11或13．
由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15.【答案】∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE
【解析】解：添加∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE．
(1)添加∠C=∠D．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，
{∠C=∠D
AC=AD
∠CAB=∠DAE
，
∴△ABC≌△AED(ASA)；
(2)添加∠B=∠E．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，∴∠CAB=∠DAE，
在△ABC与△AED中，
{∠B=∠E
∠CAB=∠DAE AC=AD
，
∴△ABC≌△AED(AAS)；
(3)添加AB=AE
∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD
∴∠CAB=∠DAE
在△ABC与△AED中，
{AC=AD
∠CAB=∠DAE AB=AE
，
∴△ABC≌△AED(SAS)
故填：∠C=∠D或∠B=∠E或AB=AE．
由已知∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，又有AC=AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件．
此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．
16.【答案】5
【解析】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠ABD=∠EDB，
∴BE=ED，
同理DF=CF，
∴EF=BE+CF=5，
故答案为：5．
根据BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CDB，再利用EF//BC，可证BE=ED和DF=CF，
然后即可证明BE+CF=EF．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等．
17.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
{CA=CD
∠ACB=∠DCE BC=EC
,
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
【解析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
18.【答案】解：由题意得，∠DAB=80°，
∵DA//EB，
∴∠EBA=180°−∠DAB=100°，又∠EBC=40°，
∴∠ABC=∠EBA−∠EBC=60°，
∵∠DAB=80°，∠DAC=50°，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=90°．
【解析】根据题意在图中标注方向角，得到有关角的度数，根据三角形内角和定理和平行线的性质解答即可．
本题考查的是方向角的知识，正确标注方向角、灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)S△ABC=2×3−2×1
2×1×2−1
2
×1×3=5
2
；
(3)如图所示，点P即为所求．
【解析】(1)分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
(2)用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案；
(3)连接AB1，与直线MN的交点即为所求．
本题主要考查作图—轴对称变换及轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质及割补法求三角形的面积．
20.【答案】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，
∴AM=AN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD与△AND中，
{AM=AN
∠MAD=∠NAD
AD=AD
,
∴△AMD≌△AND(SAS)，
∴DM=DN．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．根据等腰三角形的性质和AD是顶角的平分线，利用全等三角形进行证明即可．
21.【答案】解：(1)如图所示：
(2)BD=DE，
证明：∵BD平分∠ABC，
∠ABC．
∴∠1=1
2
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4．
∠4．
∴∠1=1
2
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3=1
∠4．
2
∴∠1=∠3．
∴BD=DE．
【解析】(1)①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM 的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；
∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC=∠4，∠2=∠3，(2)根据角平分线的性质可得∠1=1
2
然后再证明∠1=∠3，根据等角对等边可得BD=DE．
此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．
22.【答案】解：(1)△ABE≌△ACD，
证明：∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)由△ABE≌△ACD得∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【解析】根据等腰直角三角形的性质利用SAS判定△ABE≌△ACD；因为全等三角形的对应角相等，所以∠ACD=∠ABE=45°，已知∠ACB=45°，所以可得到∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，即DC⊥BE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及性质是并准确确定出全等三角形是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：延长BC至F，使CF=CE，连接EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ECF=∠ACB=60°，
∵CF=CE，
∴△CEF为等边三角形，
∴∠F=∠CEF=60°，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ADB=∠DAE+∠ACB=∠DAE+60°，
∠DEF=∠CEF+∠DEA=60°+∠DEA，
∴∠ADB=∠DEF，
在△ADB和△DEF中，
{∠B=∠F
∠ADB=∠DEF DA=DE
，
∴△ADB≌△DEF(AAS)，∴∠BAD=∠EDF，
即∠BAD=∠EDC．(2)解：AB=CD+CE．证明：∵△ADB≌△DEF，∴AB=DF，BD=EF，
∵DF=DC+CF=CD+CE，
∴AB=CD+CE．
【解析】(1)延长BC至F，使CF=CE，连接EF，证得△CEF为等边三角形，得出∠F=∠CEF=60°，证明△ADB≌△DEF(AAS)，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠EDF；
(2)全等三角形的性质得出由AB=DF，BD=EF，则可得出结论．
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．。