2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 必做题之平面向量的概念与线性运算

第1讲 平面向量的概念与线性运算
1．已知下列各式：①AB
→＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋
CO
→；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为________． 解析 由题知结果为零向量的是①④. 答案 2
2．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为
始点和终点的向量中，与向量OA
→相等的向量有________个．
解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量
有CB →，DO →，EF →，共3个． 答案 3
3．(必修4P62练习4)点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC
→＝________AB →，BC →＝
________AB →.
答案 57 －2
7
4．设a 是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：
①a 与λa 的方向相反；②a 与λ2a 的方向相同；③|－λa |≥|a |；④|－λa |≥|λ|·a .其中正确的是________(填序号)．
解析 对于①，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；②正确；对于③，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于④，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小． 答案 ②
5．如图，在正六边形ABCDEF 中，BA
→＋CD →＋EF →＝________.
解析 由题干图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.
答案 CF
→
6．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；
②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是________．
解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 答案 3
7．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内
任意一点，则OA
→＋OB →＋OC →＋OD →＝________(用OM →表示)．
解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.
答案 4OM
→
8．在△ABC 中，AB
→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b ，
c 表示)．
解析 ∵BD
→＝2DC →，
∴AD
→－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD
→＝2AC →＋AB →， ∴AD
→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 23b ＋1
3c
9．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2
，给出下列结
论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．
解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，
D 共线，且B 不在此直线上． 答案 ④
10．(2017·镇江期末)设a ，b 不共线，AB
→＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BC
→＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，
∴BD
→＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，
∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 －1
11．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB
→
＝a ，A C →＝b ，则A D →＝________(用a ，b 表示)．
解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD
→＝12AB →＝12
a ， 所以AD
→＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 答案 1
2a ＋b
12．(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM
→＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →
＋yAC
→，则x ＝________；y ＝________.
解析 由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →
)＝ 12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －16
13．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP
→＝2OA →＋
BA
→，则下列结论： ①点P 在线段AB 上；
②点P 在线段AB 的反向延长线上； ③点P 在线段AB 的延长线上； ④点P 不在直线AB 上． 其中正确的是________(填序号)．
解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向
延长线上． 答案 ②
14．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →
＝
OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的________(从“外心”“内心”“重心”“垂心”中选填一个)． 解析 作∠BAC 的平分线AD . ∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| ＝λ′·AD
→|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，
∴AP
→＝λ′|AD →|
·AD →
，
∴AP →∥AD →
.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 答案 内心
15．已知△ABC 和点M 满足MA
→＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝
mAM →成立，则m ＝________. 解析
由已知条件得MB
→＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为
BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM
→＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，
即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.
答案 3
16．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB
→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，
则△ABC 的形状为________．
解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝
AB
→－AC →， ∴|AB
→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形。